專題04《空間向量與立體幾何》單元測試卷

一、單選題

1.（2020?山東省微山縣第二中學高二月考）空間直角坐標中A（l,2,3）,B（-l,0,,C(3,0,4),D(4,

h3）,則直線AB與CD的位置關系是（）

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.無法確定

2.（2019?四川省綿陽南山中學高二月考）如圖，在平行六面體ABC。-A旦中,M為4c與的

交點若隔=￡,麗=石，A^A=c,則下列向量中與4M相等的向量是（）

1-1-

B.—aH—br+c

2222

1-1-1-1-

C.—u,—br+cD.—a——br+c

2222

3.（2019?江蘇省高二期中）已知向量江=（0,1,1）,B=（l,-2,1）.若向量2+石與向量=（一2,租,7）平行,

則實數機的值是（）

A.2B.-2C.10D.-10

1—.-1—.

4.（2020?湖南省高二期末）如圖，已知正方體ABC。-A5C。中，E是CC的中點，a-A4',b=—AB,

22

)

1

A.x=l,y—2,z—3B.,y—1,z—I

13

C.x—\,y=2,z=2D.x=—,y=l,z=一

22

5.（2020.四川省雙流中學高二月考）正方體不在同一側面上的兩頂點A（-1,2,-1）,5（1,0,1）,則正方體外

接球體積是（）

32

A.4下＞兀B.-7TC.32乖）兀D.4萬

6.（2019?江蘇省蘇州實驗中學高二月考）已知礪=（1,2,3）,麗=（2,—2,1）,反=（1,1,2）,若點。是AC

中點，則耳麗=（）

3

A.2B.C.-3D.6

2

7.（2019.江蘇省蘇州實驗中學高二月考）平行六面體中，

A^=2MC,AM=xAB+yAD+zX\,則實數x,y,z的值分別為（）

122212221212

A。3'?3B'?3'30。§，D-丁于I

8.（2020?銀川唐葆回民中學高二月考）三棱柱ABC-A4G中，底面邊長和側棱長都相等，

N84A=NC4A=60°,則異面直線A片與BQ所成角的余弦值為（）

「V3

X-X?---

4

9.（2019?浙江省柯橋中學高二期中）如圖，在三棱柱ABC—44G中，例，底面ABC,A&=3,

A3=AC=BC=2,則AA|與平面AB.C,所成角的大小為

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

10.（2020?山西省高二期末）在一直角坐標系中，已知A（-1,6）,8（3,—8）,現沿x軸將坐標平面折成600的

二面角，則折疊后A8兩點間的距離為（）

A.2A/41B.741C.VnD.2^/17

二、多選題

11.（2019?江蘇省南京師大附中高二期中）已知點P是平行四邊形A8CD所在的平面外一點，如果

AB=（2,-l,-4）,而=（4,2,0）,AP=（-1,2,-1）,下列結論正確的有（）

A.AP1ABB.AP_LAD

C.而是平面ABCD的一個法向量D.AP//BD

12.（2020?福建省高二期末）在正方體ABC。-44GA中，E，尸分別是4A和GA的中點，則下列

結論正確的是（）

A.AG〃平面CEEB.4。，平面。￡；/

c.CE=-DA+DD\-DCD.點。與點用到平面CEF的距離相等

2

13.（2020?江蘇省啟東中學高二開學考試）在正三棱柱中，所有棱長為1,又BC與B'C交

于點。，則（）

1min1mmiuuif

A.A0=]A3+5AC+5A4，B.AOXB'C

C.三棱錐A-BB'。的體積為正D.AO與平面BBCC所成的角為巴

246

三、填空題

14.（2020?山東省微山縣第二中學高二月考）已知向量&=（-3,2,5）,5=（1,x,-1）,且灑5=8,則》

的值為.

15.（2020?河南省高二期末）若向量G=（2,-1,2）,5=（—4,2,加），且G與石的夾角為鈍角，則實數機的

取值范圍為.

16.（2019?山東省濟南一中高二期中）如圖所示，在正方體ABCO-AgCq中，M為棱CC的中點，則

異面線BR與AM所成角的余弦值為.

17.（2019?浙江省杭州高級中學高二期末）如圖，四邊形ABC。和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互

相垂直，尸分別為PQ,AB,5C的中點，則直線ME與平面ABC。所成角的正切值為；異

面直線EM與AF所成角的余弦值是

四、解答題

18.（2019?包頭市第四中學高二期中）如圖，已知三棱錐0—ABC的側棱04OB,OC兩兩垂直，且

04=1,OB=OC=2,E是0。的中點.

A

(l)求異面直線跖與AC所成角的余弦值;

(2)求直線AE和平面OBC的所成角.

19.(2020?盤錦市大洼區高級中學高二期末)如圖，在長方體ABCD中，AB=AD=1,AA

(1)證明：ACX_L平面BDE；

(2)求二面角F-BE-D的余弦值.

20.（2020?盤錦市大洼區高級中學高二期末）如下圖所示，在四棱錐S—Q4BC中，SO_L底面四邊形

OABC,四邊形QWC是直角梯形，且NCO4=NQ46=90°,QA=OS=A8=1,OC=4,點M是

棱SB的中點，N是OC上的點，且ON:NC=1:3.

（1）求異面直線MN與3c所成的角的余弦值;

（2）求MN與平面S8C所成的角的正弦值.

21.（2019?山西省長治市第二中學校高二月考）如圖，在正方體ABCD-AMGA中，瓦尸,G分別是

A3,CG，A。的中點。

（1）求異面直線瓦E與8G所成角的余弦值;

（2）棱CO上是否存在點T，使得AT//平面片Eb?請證明你的結論。

22.(2019?紹興市教育教學研究院高二期末)如圖，FAmABC,ZABC=90\

ECIIFA,FA=3,EC=1,AB=2,AC=4,8。_LAC交AC于點。.

\I/

M/^^^*****^

B一

(1)證明：FD1,BE；

(2)求直線3C與平面3砂所成角的正弦值.

23.(2019?安徽省高二期中)如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA1平面ABCD,且四邊形4BCD為直角梯

形，LABC=A.BAD=7，PA=AD=2,AB=BC=1.

BC

(1)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值；

(2)點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長.

專題04《空間向量與立體幾何》單元測試卷

一、單選題

1.(2020?山東省微山縣第二中學高二月考)空間直角坐標中A(l,2,3),B(-l,0,,C(3,0,4),D(4,

1,3),則直線AB與CD的位置關系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.無法確定

【答案】A

【解析】

?.?空間直角坐標系中，

A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),

?*-AS=<-2,-2,2),CD=(1,1,-1),

直線AB與CD平行.

故選：A.

2.(2019?四川省綿陽南山中學高二月考)如圖，在平行六面體A5CO-A耳中,“為AC與8。的

交點若4瓦=￡,A^=B,4云=",則下列向量中與麗■相等的向量是()

1-1-

B.—a+—br+c

2222

1-1-1-1-

C.-ci--0r+cD.—a----br+c

2222

【答案】A

【解析】

如圖所示，麗=踮+的，麗=^（麗+與心卜

故選：A

3.（2019?江蘇省高二期中）已知向量。=（（）,1,1）,石=（1,一2,1）.若向量3+7與向量2=（—2,私T）平行,

則實數加的值是（）

A.2B.-2C.10D.-10

【答案】A

【解析】

由己知，%+坂=（1,一1,2）,因為Z+B與"共線，所以存在實數2,使得￡+5=2",故

1=—24

2=--

(1,—1,2)=2(—2,m,—4),即<-1=癡,解得<2.

2=—4/1m=2

故選：A.

4.（2020?湖南省高二期末）如圖，已知正方體ABCQ-AbC。中，E是CC'的中點，a=-AA',b=-AB,

22

1―._

c=-AD,AE=x^+yb+zc,則（）

1

A.x=\,y=2,z=3B.x=—,y=l,z=I

2

C.x=1,y=2,z=2D.x=—,y=l,z=—

2.2

【答案】A

【解析】

AE^AC+CE^AC+-CC'^AB+AD+-CC;

22

^~AB+~AD+-AA,=2b+3c+a

2

故選：A

5.(2020?四川省雙流中學高二月考)正方體不在同一側面上的兩頂點A(—1,2,—1),5(1,0,1),則正方體外

接球體積是()

32

A.4坐)兀B.~^無C.32#>兀D.47r

【答案】A

【解析】

容易知：AB是正方體的體對角線上的兩點坐標

AB=>/22+22+22=2>/3

故正方體外接球半徑為r=-AB=y/3

2

故V=r3=4

3

故選：A.

6.(2019?江蘇省蘇州實驗中學高二月考)已知函=(1,2,3),礪=(2,-2,1),3=(1,1,2),若點。是AC

中點，則而?加=()

3

A.2B.----C.-3D.6

2

【答案】D

【解析】

V04=(1,2,3),05=(2,-2,1),反=(1,1,2),

BC^OC-OB^[-l,3,1).OD

---------/、35

BC-OD=(-l)xl+3x^+lx-=6.

故選:D.

7.（2019?江蘇省蘇州實驗中學高二月考）平行六面體ABC。-A4G。中，

\M^2MC,AM=xAB+yAD+zAA^,則實數x,y,z的值分別為（）

1222￡222]_2j_2

A.—,—?一B.c.D.

3333'3'35'3'33,2'3

【答案】C

【解析】

;=2MC,

-----2—

=—\C,

丞=衣—麗=（而+砌-麗,

____2___2__?2__??__.

：.^M=-A^C=-AB+-AD--A^,

______2___2__?i___221

：.AM=X\+^M=-AB+-Ab+-A^,.\.x=—,yZ—-

333

故選:C.

8.（2020?銀川唐稼回民中學高二月考）三棱柱ABC-4與G中，底面邊長和側棱長都相等,

NBA4=NC4A=60°,則異面直線AB,與BC,所成角的余弦值為（）

「V3

46

【答案】B

【解析】

設棱長為1，AA^=c,AB=a<AC=b

_1_11

由題意得：a,b=—,b*c——,a*c——

222

,/AB,=□+彳，BC[=BC+BB[=5-a+E

1.A31,BC、=("+[)?(b-a+=a?b—a~(1*c-\-h?c—?c+———1+—+1=1

又|阿|=J(a+守[-y!a2+2a-c+c2=73

222

|BC]|=J值-4+3-=yjb+a+c-2a-b+2b-c-2a-c=V2

,cos<AfiBC->-AB|,BC\_'_a

?.c°s…的>—一7r不

即異面直線AB「與BQ所成角的余弦值為：逅

6

本題正確選項：B

9.(2019?浙江省柯橋中學高二期中)如圖，在三棱柱ABC-AgG中，的，底面ABC,M=3,

AB=AC=BC=2,則與平面AB?所成角的大小為

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】

取AB的中點D,連接CD,以AD為x軸，以CD為y軸，以BB1為z軸，建立空間直角坐標系,

可得A(1,O,O),A(1,0,3)，故麗=(1,0,3)—(1,0,0)=(0,0,3),而

片(一1,0,3),0(0,73,3),設平面陰G的法向量為比=(a也c),根據

fh-AB}=0,tn-ACt=0?解得海=卜,一百,2),

3包，呵「普第=1.

'/網17tAi2

故AA與平面AgG所成角的大小為30°，故選A.

10.(2020?山西省高二期末)在一直角坐標系中，已知A(—1,6),8(3,-8),現沿x軸將坐標平面折成60"的

二面角，則折疊后A8兩點間的距離為()

A.2741B.741C.V17D.2717

【答案】D

【解析】

如圖為折疊后的圖形，其中作ACJ_CD,8D，C。

則AC=6,3O=8,C￡>=4,

ACCD=0,BDCD=0

???沿X軸將坐標平面折成60°的二面角

???兩異面直線CA,DB所成的角為60°.

可得：甌麗=同?回"s60"=24

故由麗=*+西+而

得|而『=|/+麗+麗『

=+^CD^+^DB^+2AC-CD+2CD-DB+2AC-DB

=\AC\+|cn|+\DB\+2AC-CD+2CD-DB-2CA-DB

=36+16+64—48

=68

.-.IAB\=2V17

故選：D.

二、多選題

11.（2019?江蘇省南京師大附中高二期中）己知點P是平行四邊形48CD所在的平面外一點，如果

通=（2,—1,一4）,通=（4,2,0）,AP=（-1,2,-1）,下列結論正確的有（）

A.AP±ABB.AP±AD

C.而是平面ABCD的一個法向量D.AP//BD

【答案】ABC

【解析】

因為麗?而=0，APAB=0＞所以A,B正確，

APAD=0

因為JQ福_0所以正是平面ABCD的一個法向量，所以C正確，

而=麗+而=（2,3,4）.擊=（—1,2,-1）不滿足麗=/1而，則D不正確

故選：ABC.

12.（2020?福建省高二期末）在正方體ABC。-AgGA中，E,R分別是4已和的中點，則下列

結論正確的是（）

A.AG//平面CEFB.BQ_L平面CM

C.CE=-DA+DD-DCD.點。與點片到平面C￡戶的距離相等

2i

【答案】AC

【解析】

對A,因為E,尸分別是A。和QD,的中點故EF//4G.故//平面CEF成立.

對B,建立如圖空間直角坐標系，設正方體ABC。-44CQ邊長為2則麗=（一2,—2,—2）,

斤=（0,1,—2）.故而?卮=（）—1+4=3。0.故而,京不互相垂直.又。尸屬于平面。防.故回。_1平

面CE尸不成立.

對C,同B空間直角坐標系有區=（1,—2,2）,；方+萬萬—反

=；（2,0,0）+（0,0,2）_（0,2,0）=（1,-2,2）.故屈=；方+歷|一反成立.

對D,點。與點用到平面CEF的距離相等則點。與點與中點0在平面CEF上.連接AC,AE易得平面

CEF即平面CAEF.又點。與點片中點。在AACG上，故點。不在平面CEF上.故D不成立.

13.（2020.江蘇省啟東中學高二開學考試）在正三棱柱ABC—A'5'C'中，所有棱長為1,又BC'與B'C交

于點O,則（）

1mm1iiiittiiLOT

A.Ad=-AB+-AC+-AArB.AOLB'C

三棱錐旗'的體積為立

C.A-0D.AO與平面B夕CC所成的角為工

246

【答案】AC

【解析】

由題意，畫出正三棱柱ABC-A'B'C如圖所示,

向量荷=福+的=通+；（而+就）=通+＜（而—麗/

iuun1ULUimnr

=濟+上+/,故選項A正確;

在△AOC中，AC=1,6>C=—?OA=1

2好2J

04?+。。2HAe2,所以A。和B'C不垂直，故選項B錯誤;

在三棱錐A-BSO中,SBB,O=；

點A到平面明。的距離即□ABC中BC邊上的高，所以力=也,

2

所以匕BB.O=LSBB，。h，△速=2,故選項C正確；

設BC中點為Q,所以ADL3C,又三棱柱是正三棱柱，

所以AOL平面83'C'C,

所以/4O。即AO與平面8SCC所成的角，

1

—7T

八八八0D1，所以/4。。=一，故選項D錯誤.

cosZAOD=---=2▲=—3

OA12

故選：AC

三、填空題

14.（2020?山東省微山縣第二中學高二月考）已知向量汗=（-3,2,5）,b=（l,x,一1）,且弧5=8,則x

的值為.

【答案】8

【解析】

a?b=(—3,2,5)■(1,x,—1)=-3+2x—5=8,解得x=8.

15.(2020?河南省高二期末)若向量日=(2,—1,2),5=(—4,2,加)，且少與5的夾角為鈍角，則實數機的

取值范圍為.

【答案】〃/<5且加。T

【解析】

由值與方的夾角為鈍角可得且。與5不共線，

n-D[C=2b-c=0

即加<5且〃z。T.

n-EC=-a+（2—x）b=0

故答案為：〃z<5且加。-4.

16.(2019.山東省濟南一中高二期中)如圖所示，在正方體—中，M為棱C￡的中點，則

異面線與AM所成角的余弦值為.

【解析】

分別以國，反，西的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1,

則A(l,0,0),8(1,1,0),M(0,1,g),。(0,0,D，可得西=(T，T，1)，麗=(T1，1)，則

________1

eeBD.AM2百百

cos<BD],AM>=盛R=----,z,即異面直線BD與AM所成角的余弦值為火.

?町府1行"1i9t9

故答案為：B

9

17.(2019?浙江省杭州高級中學高二期末)如圖，四邊形A3CO和AOPQ均為正方形，它們所在的平面互

相垂直，尸分別為的中點，則直線ME與平面A8C。所成角的正切值為；異

面直線EM與AF所成角的余弦值是

【答案】0，也

30

【解析】

山AB,AD,AQ兩兩垂直，分別以AB,AD,AQ所在的直線為x，V，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設

AB=2.則A(0,0,0),EQ,0,0),廠(2,1,0),M(0,1,2),所以兩=(—1,1,2),XF=(2,1,0),其中平面

ABC。的一個法向量為n=(0,0,1),所以ME與平面ABCO所成角的正弦值為sina

「cEM-AF

所以tana=J5；又向量麗?與而所成角的余弦值為cos。=網府?

叵,又4e(0,二］,所以異面直線與AE所成角的余弦值是叵

30230

四、解答題

18.（2019?包頭市第四中學高二期中）如圖，已知三棱錐0—ABC的側棱04OB,OC兩兩垂直，且

04=1,OB=OC=2,E是。。的中點.

（1）求異面直線跳與AC所成角的余弦值;

（2）求直線AE和平面0BC的所成角.

【答案】（1）（2）-

54

【解析】

X

建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0,0,l）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,E（O,1,O）,

（1）fi￡=（-2,l,0）,AC=（O,2,-l）,故

cosAC）=丁XT=j,Jjlf以異面直線BE與AC所成角的余弦值為|.

（2）平面OBC的法向量為3=（0,0,1）,￡4=（0,-1,1）,故

cos（工函）=三方=岑，因G，麗）w[0,句，故■，麗）=?,故4E與平面QBC所成的角為

717171

7"4-4,

19.（2020?盤錦市大洼區高級中學高二期末）如圖，在長方體A8CD—4182cmi中，AB=AD=1,4Al=

點E、F分別為月&%的中點.

（2）求二面角F—BE-D的余弦值.

【答案】（1）見證明；（2）土

14

【解析】

（1）如圖，以點A為坐標原點，分別以AB,AD.A^為x,y,z軸建立空間宜角坐標系

則A(O,O,O),B(1,O,O),D(O,1,0),E(O,O，W),Ca(1,1,g),

??ACi=(1,1,V2)，BD=(-LLO)而=㈠桔)

vAC1-BD=-1+1=0,ACL1BD,

西?芯=-1+1=0,???4Ci?LBE，

vBD與BE是平面BDE內兩條相交直線

:?Ag，平面BDE

(2)由(1)進-一步可得F(O,V2)?EF=(0,：,空)

設平面BDE的法向量為而，可取而=24cl=(1,1,V2)?

設平面FBE的法向量為五，n=(xy,z)

z

可得-X4—Z=0_

w=°,,取x=l,可得元=（1,?2,，2）

?n=0冬=0

二丘＜沆曲=露=段剖=今

由于二面角F-BE-D為銳二面角，故所求的二面角的余弦值為立

14

20.(2020?盤錦市大洼區高級中學高二期末)如下圖所示，在四棱錐S—Q4BC中，SO_L底面四邊形

OABC,四邊形Q4BC是直角梯形，且NCQ4=NOA3=90°,OA=OS=A8=1,OC=4,點〃是

棱SB的中點，N是OC上的點，且ON:NC=1:3.

AB

（1）求異面直線MN與8c所成的角的余弦值;

（2）求MN與平面SBC所成的角的正弦值.

【答案】（1）氈°；（2）逅.

153

【解析】

⑴建系以。為原點，如圖，S（0,0,l）,B（l,l,0）,M（g,g,g）,N（0,l,0）,C（0,4,0）,

所以麗=（一gg—g）,阮=（一1,3,0）

8s”際〈麗E卜舞|=^

(2)A(l,0,0)tS4=(l,O,-l),AB=(O,l,O),設為=(%,y,z)是平面SA5的法向量,

無SA=0x-z=0

則〈即〈，取乃=(1,0,1)

n?AB=0y=0

n-MN_V6

cos〈H,MN)

同畫一3

所以MN與平面SBC所成的角的正弦值

3

21.（2019?山西省長治市第二中學校高二月考）如圖，在正方體A8CD—A與GA中，2居G分別是

AB,CG，A。的中點。

（1）求異面直線片石與BG所成角的余弦值;

（2）棱CO上是否存在點T，使得AT//平面用石/？請證明你的結論。

21

【答案】（1）一；（2）存在點T，滿足DT=-DC,使得AT//平面片EF；證明見解析

54

【解析】

以O為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：

設正方體棱長為2a

則6（2a,2a,0）,（2a,2a,2a）,E（2a,a,0）,G（a,0,0）,C（0,2a,0）,￡>（0,0,0）,F（0,2a,a）,

A（2a,0,0）

（1）設異面直線B}E與BG所成角為6

,：4E=（0,-a,-2a）,BG=（-a,-2a,0）

B^EBG2a222

cos8=-7=~~D，即異面宜線gE與BG所成角的余弦值為：

75a75a557

（2）假設在棱CO上存在點T（0",0）,re[0,2a],使得AT//平面4"

則4七=（0,-a,-2a）,EF=（-2a,a,a）,AT=（-2<z,r,0）

設平面B、EF的法向量九=（x,y,z）

n=-ay-2az=0,,i(\

，令z=l,貝iJy=-2,x=--.\n=\--,-2,1

n=-2ax+ay+az=O212

/.AT-n=a-2t=0^解得：/=§?.DT=^D(

二棱CD上存在點T，滿足。T=‘OC，