2/2高頻考點：三角形一、三角形的角平分線、中線和高【高頻考點精講】1、從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．2、三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與交點間的線段叫做三角形的角平分線．3、三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．4、三角形有3條中線，3條高線，3條角平分線，它們都是線段．【熱點題型精練】1．（2021?紹興模擬）在學完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數學活動課，老師讓同學們自己談談對三角形相關知識的理解．小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3．”小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半．”對以上兩位同學的說法，你認為（）A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確 C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確2．（2021?咸陽模擬）如圖，CM是△ABC的中線，△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，BC＝8cm，則AC的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．（2021?衡水模擬）用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．4．（2021?哈爾濱模擬）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分別為AB邊上的高和中線，若∠DCE＝20°，則∠BAC的度數為．二、三角形的面積【高頻考點精講】1、三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△＝×底×高．2、三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．【熱點題型精練】5．（2021?雅安中考）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．則S△CEG的值為（）A．2 B．4 C．6 D．86．（2021?泰州中考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，設△PMN的面積為S，則S的范圍是．7．（2021?聊城中考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點D和點E，AD與CE交于點O，連接BO并延長交AC于點F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為．8．（2021?黑龍江中考）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延長CD至A1，使DA1＝CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2…按此規律，得到△A2020D2020A2021，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2…，△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021＝．三、三角形三邊關系【高頻考點精講】1、三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．2、只要兩條較短的邊長之和大于第三邊的長度就可以判定這三條線段能構成一個三角形．【熱點題型精練】9．（2021?南京中考）下列長度的三條線段與長度為5的線段首尾依次相連能組成四邊形的是（）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，210．（2021?淮安中考）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數，則第三邊的長是．11．（2021?大慶中考）三個數3，1﹣a，1﹣2a在數軸上從左到右依次排列，且以這三個數為邊長能構成三角形，則a的取值范圍為．12．（2021?十堰中考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點P是平面內一個動點，且AP＝3，Q為BP的中點，在P點運動過程中，設線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是．四、三角形的外角性質【高頻考點精講】1、三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等．2、三角形外角的性質：（1）三角形的外角和為360°．（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．（3）三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．【熱點題型精練】13．（2021?畢節中考）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數為（）A．70° B．75° C．80° D．85°14．（2021?河北中考）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．證法1：如圖，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質）．證法2：如圖，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器測量所得）又∵135°＝76°+59°（計算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．下列說法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整 B．證法1用嚴謹的推理證明了該定理 C．證法2用特殊到一般法證明了該定理 D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理15．（2020?泰州中考）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數為．16．（2021?河北中考）如圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應（填“增加”或“減少”）度．五、等腰（等邊）三角形的判定與性質【高頻考點精講】1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．2、等腰三角形的性質：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．（三線合一）3、等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．4、等邊三角形的性質：①等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°；②等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸；③等邊三角形的內角平分線垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．【熱點題型精練】17．（2021?益陽中考）如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝40°，則∠EAB等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°18．（2021?本溪中考）如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點E，點F為BC的中點，連接EF，若BE＝AC＝2，則△CEF的周長為（）A．+1 B．+3 C．+1 D．419．（2021?朝陽中考）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（5，0），點M的坐標為（0，4），過點M作MN∥x軸，點P在射線MN上，若△MAP為等腰三角形，則點P的坐標為．20．（2020?葫蘆島中考）如圖，以AB為邊，在AB的同側分別作正五邊形ABCDE和等邊△ABF，連接FE，FC，則∠EFA的度數是．21．（2021?婁底中考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，若S△ABC＝1，則PE+PF＝．22．（2021?紹興中考）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數；（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關系，并說明理由．六、全等三角形的判定與性質【高頻考點精講】1、三角形全等的判定（1）三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)．（2）有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)．（3）有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA)．（4）有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)．2、全等三角形的性質（1）全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等．（2）全等三角形的周長、面積相等．（3）全等三角形的對應邊上的高對應相等．（4）全等三角形的對應角的角平分線相等．（5）全等三角形的對應邊上的中線相等．【熱點題型精練】23．（2021?安徽中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過點B，C作∠BAC平分線的垂線，垂足分別為點D，E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME．則下列結論錯誤的是（）A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD24．（2021?威海中考）如圖，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．連接CD，連接BE并延長交AC，AD于點F，G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結論錯誤的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF?AC25．（2021?達州中考）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點E，F分別是邊AC，BC上的動點，且AE＝CF，連接BE，AF交于點P，連接CP，則CP的最小值為．26．（2021?日照中考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點P從點B出發，以2cm/s的速度沿BC邊向點C運動，到達點C停止，同時，點Q從點C出發，以vcm/s的速度沿CD邊向點D運動，到達點D停止，規定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當v為時，△ABP與△PCQ全等．27．（2021?湘潭中考）如圖，矩形ABCD中，E為邊BC上一點，將△ABE沿AE翻折后，點B恰好落在對角線AC的中點F上．（1）證明：△AEF≌△CEF；（2）若AB＝，求折痕AE的長度．28．（2021?福建中考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上．（1）求證：∠ADE＝∠DFC；（2）求證：CD＝BF．七、三角形中位線定理【高頻考點精講】1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC．【熱點題型精練】29．（2021?梧州中考）如圖，在Rt△ABC中，點D，E，F分別是邊AB，AC，BC的中點，AC＝8，BC＝6，則四邊形CEDF的面積是（）A．6 B．12 C．24 D．4830．（2021?寧波中考）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于點D，BD＝．若E，F分別為AB，BC的中點，則EF的長為（）A． B． C．1 D．31．（2021?嘉興中考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點D在AC上，且AD＝2，點E是AB上的動點，連結DE，點F，G分別是BC和DE的中點，連結AG，FG，當AG＝FG時，線段DE長為（）A．