高級中學精品試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市金蘭教育合作組織2022-2023學年高一下學期期中聯考數學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數滿足，則（）A. B.1 C.5 D.〖答案〗C〖解析〗由于，所以.故選：C.2.設是平面內的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗由于是平面內的一個基底，故不共線，根據向量的加減法法則可知和不共線，和不共線，和不共線，故A，B，C中向量能作為平面的基底，，故和共線，不能作為平面的基底，D錯誤，故選：D3.若一個正棱錐的各棱長和底面邊長均相等，則該棱錐一定不是（）A.正三棱錐 B.正四棱錐 C.正五棱錐 D.正六棱錐〖答案〗D〖解析〗對于選項A，正四面體為滿足條件的正三棱錐，故排除A；對于選項B，考慮如圖所示的正四棱錐.滿足，為底面正方形中心，EO平面ABCD.因底面為正方形，故，則，，，兩兩全等，得.故存在滿足條件的正四棱錐，排除B；對于選項C，考慮如圖所示的五棱錐.滿足，O為底面正五邊形中心，FO平面ABCDE.因底面為正五邊形，故，則，，，，兩兩全等.得.故存在滿足條件的正五棱錐，排除C；對于選項D，考慮如圖所示的正六棱錐.滿足，O為底面正六邊形中心.GO平面ABCDEF.但注意到OA=AB，，則有.這與所設滿足的條件矛盾，故不存在滿足條件的正六棱錐，故D正確.故選：D4.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，故向量在向量方向上的投影向量為.故選：A.5.如圖所示，為測量某不可到達的豎直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一側且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距60米的A，B兩個觀測點，并在A，B兩點處測得建筑物頂部的仰角分別為45°和30°，且，則此建筑物的高度為（）A.45m B.60m C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得：，在Rt中，由可得；在Rt中，由可得；在中，由余弦定理，即，整理得,解得或（舍去），所以此建筑物的高度為60m.故選：B.6.已知斜二側畫法下的直觀圖是邊長為的正三角形（如圖所示），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，過作軸，與軸交于點，則，，，由正弦定理得，即，則，，將三角形還原到直角坐標系中，如圖所示，，，所以，故選：A.7.已知平面向量，，均為單位向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面向量，，均為單位向量，所以，又所以，平方得，則.故選：A.8.已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，令，，于是，而，并且不共線，因此，解得，令，，則，從而，解得，因此點是線段的中點，所以，所以.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分．9.下列結論中正確的是（）A.正四面體一定是正三棱錐 B.正四棱柱一定是長方體C.棱柱的側面一定是平行四邊形 D.棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面〖答案〗ABC〖解析〗A選項：正三棱錐是底面為正三角形，各側棱長均相等的幾何體，正四面體四個面均為正三角形且所有棱長均相等，所以A選項正確；B選項：正四棱柱為底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱即為長方體，所以B選項正確；C選項：棱柱上下底面互相平行且全等，且各側棱互相平行，所以棱柱的側面均為平行四邊形，所以C選項正確；D選項：正四棱柱的側面兩兩平行，所以D選項錯誤；故選：ABC.10.已知兩個單位向量、的夾角為，若，則把有序數對叫做向量的斜坐標，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由已知，，因此，所以的斜坐標為，A正確；，因此的斜坐標是，C正確；，，在與不垂直時，BD錯；故選：AC．11.下列命題中正確的命題是（）A.若復數滿足，則B.若復數滿足，則C.若復數，滿足，則D.若復數，滿足，則〖答案〗C〖解析〗對于A，設復數，則，所以恒成立，則，故A不正確；對于B，設復數，則，若，則，所以，則，故或，則復數是純虛數或實數，故B不正確；對于C，設復數，若，即，所以，整理得，所以，故C正確；對于D，設復數，若，則，整理得，而可得，所以D不正確.故選：C.12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（）A.若，，則一定是等邊三角形B.若，則一定是鈍角三角形C.若，則一定是等腰三角形D.若，則一定是直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗對于A，中，，，由余弦定理得：，即，因此，一定是等邊三角形，A正確；對于B，由得：，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因此角是鈍角，一定是鈍角三角形，B正確；對于C，中，由及余弦定理得：，整理得，即，因此或，是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，中，由及正弦定理得：，因此，即，整理得：，顯然，，即，因此，而，于是，所以，一定是直角三角形，D正確.故選：ABD非選擇題部分三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知正方體的棱長為，一螞蟻沿著正方體的表面從點爬到點的最短距離是__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，將正方體的側面與展開，則最短距離為，故〖答案〗為：.14.已知復數，且，則（i是虛數單位）的最大值是______．〖答案〗3〖解析〗因為，復數表示圓心在原點的單位圓，如圖所示：表示單位圓上的點到點的距離，由圖知：當時，取得最大值3，故〖答案〗為：315.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形（圖2）中的正八邊形，其中為正八邊形的中心，邊長，則__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，連接，，由為正八邊形可知，且，則，所以，即，且，所以，則，中，由余弦定理，解得，所以，故〖答案〗為：.16.已知中，，，是線段上的兩點，滿足，，，，則__________．〖答案〗〖解析〗由已知，，則，所以，則，所以，即，即，又點在上，所以，所以，即，又，則，，即，聯立，得，解得，或（舍），所以，則，所以，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復數滿足，且為純虛數．（1）求；（2）若，，求實數，的值．解：（1）為純虛數，，且，，，；（2）法一：把代入：，，化簡得：，即，解得：，.法二：的一根為，則另一根為：，則，解得：，.18.已知平面直角坐標系內存在三點：，，．（1）求的值；（2）若平面上一點P滿足：，，求點P的坐標．解：（1）由題意可得：，，則，，，故.（2）由題意可得：，∵，設，∴，又∵，則，解得，∴，設，則，可得，解得，即.19.如圖所示，以線段AB為直徑的半圓上有一點C，滿足：，，若將圖中陰影部分繞直線AB旋轉180°得到一個幾何體．（1）求陰影部分形成的幾何體的體積；（2）求陰影部分形成的幾何體的表面積．解：（1）過點C作，垂足為點，旋轉180°所得幾何體為半個球挖掉兩個半圓錐．，，，，以直線AB為軸，旋轉一周得到一個半圓錐，體積為，以直線AB為軸，旋轉一周得到一個半圓錐，體積為，，半圓面以直線AB為軸，旋轉一周得到一個半球體，體積為，.（2）以直線AB為軸，旋轉一周得到一個半圓錐，側面積為，以直線AB為軸，旋轉一周得到一個半圓錐，側面積為，ACB以直線AB為軸，旋轉一周得到一個半球面，表面積為，正面為一個圓減掉兩個三角形，即圖中陰影部分：，.20.在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且，．（1）若，求的面積；（2）求周長的最大值．解：（1）法一：∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．由余弦定理得：，，，∴或4，∴或．綜上，的面積為或.法二：由余弦定理得，，∴，∴，∵，．由余弦定理得：，，，∴或4，∴或．綜上，的面積為或.（2）法一：由正弦定理得：，,其中，所以當時，；法二：由余弦定理得：∵，∴，∵，∴，當且僅當時取到最大值．21.如圖，在梯形中，，，，點、是線段上的兩個三等分點，點，點是線段上的兩個三等分點，點是直線上的一點．（1）求的值；（2）求的值；（3）直線分別交線段、于，兩點，若、、三點在同一直線上，求的值．解：（1），，即；（2），，；（3）設，即，，因為在上，所以，即，，即，即，即，由于，，三點共線，所以，，，設，則，即，又在上，則，即，，由于A，，三點共線，所以，即，所以，.22.法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”．如圖，在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，以AB，BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，．（1）證明：為等邊三角形；（2）若求m的最小值．（1）證明：如圖，連接，，則，，在中，由余弦定理得：，即同理可得，∵，∴，∴.同理：，即為等邊三角形.（2）解：則∵，，∴，解得：.當且僅當，時取到最小值1.浙江省寧波市金蘭教育合作組織2022-2023學年高一下學期期中聯考數學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數滿足，則（）A. B.1 C.5 D.〖答案〗C〖解析〗由于，所以.故選：C.2.設是平面內的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗由于是平面內的一個基底，故不共線，根據向量的加減法法則可知和不共線，和不共線，和不共線，故A，B，C中向量能作為平面的基底，，故和共線，不能作為平面的基底，D錯誤，故選：D3.若一個正棱錐的各棱長和底面邊長均相等，則該棱錐一定不是（）A.正三棱錐 B.正四棱錐 C.正五棱錐 D.正六棱錐〖答案〗D〖解析〗對于選項A，正四面體為滿足條件的正三棱錐，故排除A；對于選項B，考慮如圖所示的正四棱錐.滿足，為底面正方形中心，EO平面ABCD.因底面為正方形，故，則，，，兩兩全等，得.故存在滿足條件的正四棱錐，排除B；對于選項C，考慮如圖所示的五棱錐.滿足，O為底面正五邊形中心，FO平面ABCDE.因底面為正五邊形，故，則，，，，兩兩全等.得.故存在滿足條件的正五棱錐，排除C；對于選項D，考慮如圖所示的正六棱錐.滿足，O為底面正六邊形中心.GO平面ABCDEF.但注意到OA=AB，，則有.這與所設滿足的條件矛盾，故不存在滿足條件的正六棱錐，故D正確.故選：D4.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，故向量在向量方向上的投影向量為.故選：A.5.如圖所示，為測量某不可到達的豎直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一側且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距60米的A，B兩個觀測點，并在A，B兩點處測得建筑物頂部的仰角分別為45°和30°，且，則此建筑物的高度為（）A.45m B.60m C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得：，在Rt中，由可得；在Rt中，由可得；在中，由余弦定理，即，整理得,解得或（舍去），所以此建筑物的高度為60m.故選：B.6.已知斜二側畫法下的直觀圖是邊長為的正三角形（如圖所示），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，過作軸，與軸交于點，則，，，由正弦定理得，即，則，，將三角形還原到直角坐標系中，如圖所示，，，所以，故選：A.7.已知平面向量，，均為單位向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面向量，，均為單位向量，所以，又所以，平方得，則.故選：A.8.已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，令，，于是，而，并且不共線，因此，解得，令，，則，從而，解得，因此點是線段的中點，所以，所以.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分．9.下列結論中正確的是（）A.正四面體一定是正三棱錐 B.正四棱柱一定是長方體C.棱柱的側面一定是平行四邊形 D.棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面〖答案〗ABC〖解析〗A選項：正三棱錐是底面為正三角形，各側棱長均相等的幾何體，正四面體四個面均為正三角形且所有棱長均相等，所以A選項正確；B選項：正四棱柱為底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱即為長方體，所以B選項正確；C選項：棱柱上下底面互相平行且全等，且各側棱互相平行，所以棱柱的側面均為平行四邊形，所以C選項正確；D選項：正四棱柱的側面兩兩平行，所以D選項錯誤；故選：ABC.10.已知兩個單位向量、的夾角為，若，則把有序數對叫做向量的斜坐標，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由已知，，因此，所以的斜坐標為，A正確；，因此的斜坐標是，C正確；，，在與不垂直時，BD錯；故選：AC．11.下列命題中正確的命題是（）A.若復數滿足，則B.若復數滿足，則C.若復數，滿足，則D.若復數，滿足，則〖答案〗C〖解析〗對于A，設復數，則，所以恒成立，則，故A不正確；對于B，設復數，則，若，則，所以，則，故或，則復數是純虛數或實數，故B不正確；對于C，設復數，若，即，所以，整理得，所以，故C正確；對于D，設復數，若，則，整理得，而可得，所以D不正確.故選：C.12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（）A.若，，則一定是等邊三角形B.若，則一定是鈍角三角形C.若，則一定是等腰三角形D.若，則一定是直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗對于A，中，，，由余弦定理得：，即，因此，一定是等邊三角形，A正確；對于B，由得：，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因此角是鈍角，一定是鈍角三角形，B正確；對于C，中，由及余弦定理得：，整理得，即，因此或，是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，中，由及正弦定理得：，因此，即，整理得：，顯然，，即，因此，而，于是，所以，一定是直角三角形，D正確.故選：ABD非選擇題部分三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知正方體的棱長為，一螞蟻沿著正方體的表面從點爬到點的最短距離是__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，將正方體的側面與展開，則最短距離為，故〖答案〗為：.14.已知復數，且，則（i是虛數單位）的最大值是______．〖答案〗3〖解析〗因為，復數表示圓心在原點的單位圓，如圖所示：表示單位圓上的點到點的距離，由圖知：當時，取得最大值3，故〖答案〗為：315.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形（圖2）中的正八邊形，其中為正八邊形的中心，邊長，則__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，連接，，由為正八邊形可知，且，則，所以，即，且，所以，則，中，由余弦定理，解得，所以，故〖答案〗為：.16.已知中，，，是線段上的兩點，滿足，，，，則__________．〖答案〗〖解析〗由已知，，則，所以，則，所以，即，即，又點在上，所以，所以，即，又，則，，即，聯立，得，解得，或（舍），所以，則，所以，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復數滿足，且為純虛數．（1）求；（2）若，，求實數，的值．解：（1）為純虛數，，且，，，；（2）法一：把代入：，，化簡得：，即，解得：，.法二：的一根為，則另一根為：，則，解得：，.18.已知平面直角坐標系內存在三點：，，．（1）求的值；（2）若平面上一點P滿足：，，求點P的坐標．解：（1）由題意可得：，，則，，，故.（2）由題意可得：，∵，設，∴，又∵，則，解得，∴，設，則，可得，解得，即.19.如圖所示，以線段AB為直徑的半圓上有一點C，滿足：，，若將圖中陰影部分繞直線AB旋轉180°得到一個幾何體．（1）求陰影部分形成的幾何體的體積；（2）求陰影部分形成的幾何體的表面積．解：（1）過點C作，垂足為點，旋轉180°所得幾何體為半個球挖掉兩個半圓錐．，，，，以直線AB為軸，旋轉一周得到