排列、組合問題基本題型及解法同學們在學習排列、組合的過程中，總覺得抽象，解法靈活，不容易掌握.然而排列、組合問題又是歷年高考必考的題目.本文將總結常見的類型及相應的解法.一、相鄰問題“捆綁法”將必須相鄰的元素“捆綁”在一起，當作一個元素進行排列.例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必須站在一起，不同的排法共有幾種？分析：先把甲、乙當作一個人，相當于三個人全排列，有＝6種，然后再將甲、乙二人全排列有＝2種，所以共有6×2＝12種排法.二、不相鄰問題“插空法”該問題可先把無位置要求的元素全排列，再把規定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意兩端）.例27個同學并排站成一排，其中只有A、B是女同學，如果要求A、B不相鄰，且不站在兩端，不同的排法有多少種？.分析：先將其余5個同學先全排列，排列故是＝120.再把A、B插入五個人組成的四個空位（不包括兩端）中，（如圖0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5個同學）有＝2種方法.則共有＝440種排法.三、定位問題“優先法”指定某些元素必須排（或不排）在某位置，可優先排這個元素，后排其他元素.例36個好友其中只有一個女的，為了照像留念，若女的不站在兩端，則不同的排法有種.分析：優先排女的（元素優先）.在中間四個位置上選一個，有種排法.然后將其余5個排在余下的5個位置上，有種方法.則共＝480種排法.還可以優先排兩端（位置優先）.四、同元問題“隔板法”例410本完全相同的書，分給4個同學，每個同學至少要有一本書，共有多少種分法？分析：在排列成一列的10本書之間，有九個空位插入三塊“隔板”.如圖：××××××××××一種插法對應于一種分法，則共有＝84種分法.五、先分組后排列對于元素較多，情形較復雜的問題，可根據結果要求，先分為不同類型的幾組，然后對每一組分別進行排列，最后求和.例5由數字0，1，2，3，4，5組成無重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有（）（A）210個（B）300個（C）464個（D）600個分析：由題意知，個位數字只能是0，1，2，3，4共5種類型，每一種類型分別有個、個、個、個、個，合計300個，所以選B例6用0，1，2，3，…，9這十個數字組成五位數，其中含有三個奇數數字與兩個偶數數字的五位數有多少個?【解法1】考慮0的特殊要求，如果對0不加限制，應有種，其中0居首位的有種，故符合條件的五位數共有＝11040個.【解法2】按元素分類：奇數字有1，3，5，7，9；偶數字有0，2，4，6，8.把從五個偶數中任取兩個的組合分成兩類：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三個奇數字和兩個偶數字組成的五位數有個；②含0的，這時0只能排在除首位以外的四個數位上，有種排法，再選三個奇數數與一個偶數數字全排放在其他數位上，共有種排法.綜合①和②，由分類計數原理，符合條件的五位數共有＋＝11040個.例8由數字1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數字，比20000大，且百位數字不是3的自然數？U【解】設A＝{滿足題設條件，且百位數字是3的自然數}，B＝{滿足題設條件，且比20000大的自然數}，則原題即求，畫韋恩圖如圖，陰影部分U即，從圖中看出.又，由性質2，有即由數字1，2，3，4，5組成無重復數字，且比20000大的自然數的個數，易知.即由數字1，2，3，4，5組成無重復數字、比20000大，且百位數字是3的自然數的個數，易知，所以＝78.即可組成78個符合已知條件的自然數.

典型例題例1用0到9這10個數字．可組成多少個沒有重復數字的四位偶數？解法1：當個位數上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數字中任選3個來排列，故有個；當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數字中任選兩個來排，按乘法原理有（個）．∴沒有重復數字的四位偶數有個．例2排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單。（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？解：（1）先排歌唱節目有種，歌唱節目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰排法有：＝43200.（2）先排舞蹈節目有中方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節目放入。所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有：＝2880種方法。例3某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排課程表的方法．分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中Ⅰ；數學排在最后一節有種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數學排在最后一節，如圖中Ⅲ，這坐法數”看成“總方法數”，這個數目是．在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個數目是．其中第一個因數表示甲坐在第一排的方法數，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數，下一個則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數，就是其他五人的坐法數，于是總的方法數為(種)．說明：解法2可在學完組合后回過頭來學習．例10計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）．A．B．C．D．解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列．但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求．所以共有種陳列方式．∴應選D．說明：關于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內部進行全排列．本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題．例11由數字組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數的個數共有（）．A．210B．300C．464D．600解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數，共有種，所以其中個位數字小于十位數字的這樣的六位數有個．解法2：（間接法）：取個數字排列有，而作為十萬位的排列有，所以其中個位數字小于十位數字的這樣的六位數有(個)．∴應選B．說明：(1)直接法、間接法是解決有關排列應用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應考慮能否用間接法來解．(2)“個位數字小于十位數字”與“個位數字大于十位數字”具有對稱性，這兩類的六位數個數一樣多，即各占全部六位數的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側，共有多少種排法．例12用，這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（）．A．24個B．30個C．40個D．60個分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷．解法1：分類計算．將符合條件的偶數分為兩類．一類是2作個位數，共有個，另一類是4作個位數，也有個．因此符合條件的偶數共有個．解法2：分步計算．先排個位數字，有種排法，再排十位和百位數字，有種排法，根據分步計數原理，三位偶數應有個．解法3：按概率算．用這個數字可以組成沒有重復數字的三位數共有個，其中偶點其中的．因此三位偶數共有個．解法4：利用選擇項判斷．用這個數字可以組成沒有重復數字的三位數共有個．其中偶數少于奇數，因此偶數的個數應少于個，四個選擇項所提供的答案中，只有符合條件．∴應選．例13用共六個數字，組成無重復數字的自然數，(1)可以組成多少個無重復數字的位偶數？(2)可以組成多少個無重復數字且被整除的三位數？分析：位偶數要求個位是偶數且首位數字不能是，由于個位用或者不用數字，對確定首位數字有影響，所以需要就個位數字用或者用進行分類．一個自然數能被整除的條件是所有數字之和是的倍數，本題可以先確定用哪三個數字，然后進行排列，但要注意就用與不用數字進行分類．解：(1)就個位用還是用分成兩類，個位用，其它兩位從中任取兩數排列，共有(個)，個位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個)，所有位偶數的總數為：(個)．(2)從中取出和為的倍數的三個數，分別有下列取法：、、、、、、、，前四組中有，后四組中沒有，用它們排成三位數，如果用前組，共有(個)，如果用后四組，共有(個)，所有被整除的三位數的總數為(個)．例14一條長椅上有個座位，人坐，要求個空位中，有個空位相鄰，另一個空位與個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對于空位，我們可以當成特殊元素對待，設空座梯形依次編號為．先選定兩個空位，可以在號位，也可以在號位…共有六種可能，再安排另一空位，此時需看到，如果空位在號，則另一空位可以在號位，有種可能，相鄰空位在號位，亦如此．如果相鄰空位在號位，另一空位可以在號位，只有種可能，相鄰空位在號，號，號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進行分類．本題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個元素與另一空位插入已坐人的個座位之間，用插空法處理它們的不相鄰．解答一：就兩相鄰空位的位置分類：若兩相鄰空位在或，共有(種)坐法．若兩相鄰空位在，，或，共有(種)不同坐法，所以所有坐法總數