專題21雙等腰旋轉問題【規律總結】“雙等腰旋轉”是旋轉型全等的重要組成部分，也是初中階段常考的重要題型.與平移、對稱類似，利用全等將線段或角的位置轉移，把分散的條件集中在一起，在選擇題、填空題、解答題經常出現.解答這類問題的關鍵是掌握基本模型的結構.【基本模型】共頂點雙等腰直共頂點雙等腰1.已知條件當中若存在兩個等腰三角形其頂角頂點重合，則本身就存在雙等腰旋轉全等：

共頂點雙等腰直共頂點雙等腰2.已知條件當中若只存在一個等腰三角形，可以利用“已知等腰、構造等腰”的思路構造雙等腰旋轉：

【典例分析】例1．（2021·上海九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE，連結DE交BC于點F，連接BE．當AD＝BF時，∠BEF的度數是（）A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【答案】D【分析】根據旋轉的性質可得CD＝CE和∠DCE＝90°，結合∠ACB＝90°，AC＝BC，可證△ACD≌△BCE，依據全等三角形的性質即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，則可計算出∠BEF的度數．【詳解】解：由旋轉性質可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練運用旋轉的性質找出相等的線段和角，并能準確判定三角形全等，從而利用全等三角形性質解決相應的問題．例2．（2020·山西八年級期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，則___________度．【答案】132【分析】先證明△BDC≌△AEC，進而得到角的關系，再由∠EBD的度數進行轉化，最后利用三角形的內角和即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為132【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題．例3．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）在中，，點是直線上一點（不與、重合），以為一邊在的右側作，使，，連接．（1）如圖，當點在線段上，如果，則______度．（2）設，．①如圖，當點在線段上移動時，、之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．②如圖，當點在線段的反向延長線上移動時，、之間有怎樣的數量關系？請說明理由．【答案】（1）90；（2）①，理由見解析；②，理由見解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度數；（2）①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內角和即可得出結論；②由“SAS”可證△ADB≌△AEC得出∠ABD=∠ACE，再用三角形外角的性質即可得出結論．【詳解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；（2）①．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②當點在射線的反向延長線上時，．理由如下：∵，∴，在△ABD與△ACE中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，即．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形的內角和定理，以及三角形外交的性質，證明△ABD≌△ACE是解本題的關鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·全國八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．連接FG，交DA的延長線于點E，連接BG，CF．則下列結論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由題意易得，根據全等三角形的性質可進行分析排除．【詳解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC，∠FAC=∠FAB+∠BAC，∠BAG=∠FAC，AB=AF，AC=AG，，BG=FC，∠AGB=∠ACF，故①正確；∠AGC=∠AGB+∠BGC，∠GCF=∠ACF+∠GCA，∠GCA=∠AGC，∠BGC+∠FCG=∠AGC-∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，BG⊥CF，故②正確；∠FAE+∠BAD=90°，AD⊥BC，∠BAD+∠ABD=90°，∠FAE=∠ABD，故③正確；如圖，設GH與FC交于H點，連接EH，由①②③易得∠FHE=∠EHF，所以EF=EH，即EF=EH=EG，故④正確；故選D．【點睛】本題主要考查三角形全等的性質與判定及直角三角形的性質，熟練掌握各個知識點是解題的關鍵．2．（2019·北京市八一中學）如圖，，與的平分線相交于點，于點，為中點，于，．下列說法正確的是()①；②；③；④若，則．A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據平行線的性質以及角平分線的定義即可得到從而根據三角形的內角和定理得到，即可判斷①正確性；根據等角的余角相等可知，再由角平分線的定義與等量代換可知，即可判斷②正確性；通過面積的計算方法，由等底等高的三角形面積相等，即可判斷③正確性；通過角度的和差計算先求出的度數，再求出，再由三角形內角和定理及補角關系即可判斷④是否正確．【詳解】①中，∵AB∥CD，∴，∵∠BAC與∠DCA的平分線相交于點G，∴，∵，∴∴AG⊥CG，則①正確；②中，由①得AG⊥CG，∵，，∴根據等角的余角相等得，∵AG平分，∴，∴，則②正確；③中，根據三角形的面積公式，∵為中點，∴AF=CF，∵與等底等高，∴，則③正確；④中，根據題意，得：在四邊形GECH中，，又∵，∴，∵CG平分∠ECH，∴，根據直角三角形的兩個銳角互余，得.∵，∴，∴，∵，∴，∴，則④錯誤.故正確的有①②③，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的綜合應用，涉及到三角形面積求解，三角形的內角和定理，補角余角的計算，角平分線的定義，平行線的性質等相關知識點以及等量代換等數學思想，熟練掌握相關角度的和差倍分計算是解決本題的關鍵.二、填空題3．（2020·內蒙古通遼市·中考真題）如圖，在中，，點P在斜邊上，以為直角邊作等腰直角三角形，，則三者之間的數量關系是_____．【答案】PA2+PB2=2PC2【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出來，結合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的關系，從而可找到PA2，PB2，PC2三者之間的數量關系；【詳解】解：過點C作CD⊥AB，交AB于點D∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，

∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，

PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，

∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），

在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，

∴PA2+PB2=2PC2，

故答案為PA2+PB2=2PC2.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，關鍵是作出輔助線，利用三線合一進行論證.4．（2020·儀征市實驗中學九年級三模）兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉a（0α90°），如圖2所示．當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，則△ABC的面積為____．【答案】30【分析】設AO與BC的交點為點G，根據等腰直角三角形的性質證△AOC≌△BOD，進而得出△ABC是直角三角形，設AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再計算△ABC的面積即可．【詳解】解：設AO與BC的交點為點G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案為：30．【點睛】本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質解決問題．三、解答題5．（2020·佳木斯市第十二中學九年級期中）在正方形中，對角線、交于點，以為斜邊作直角三角形，連接．（1）如圖所示，易證：；（2）當點的位置變換到如第二幅圖和第三幅圖所示的位置時，線段、、之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對第二幅圖加以證明．【答案】（1）見解析；（2）第二幅圖：，第三幅圖：【分析】（1）在CP上截取CE=BP，連接OE，記OB與CP交于點F，根據正方形的性質證明，得到是等腰直角三角形，所以有，從而證得；（2）第二幅圖的證明過程類似（1）中的證明過程，在BP上截取BE=CP，連接OE，記OC與BP交于點F，證明，得到是等腰直角三角形，可以證得；第三幅圖的結論是，證明方法一樣是構造三角形全等，由可以證出結論．【詳解】解：（1）如圖，在CP上截取CE=BP，連接OE，記OB與CP交于點F，∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）第二幅圖：，第三幅圖：，證明第二幅圖的結論：如圖，在BP上截取BE=CP，連接OE，記OC與BP交于點F，同（1）中證明的過程證明，同理是等腰直角三角形，∴，∴；第三幅圖的證明過程是：如圖，延長PB至點E，使BE=CP，證明，得到是等腰直角三角形，∴，∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質和進行的性質，解題的關鍵是掌握這些性質定理進行證明求解，并且學會構成全等三角形的方法．6．（2020·臺州市書生中學八年級期中）已知：平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，點B在第二象限，將OB繞O點順時針轉60°至OA．（1）如圖1，試判定△ABO的形狀，并說明理由．（2）如圖1，若點E為y軸的正半軸上一動點，以BE為邊作等邊△BEG，延長GA交x軸于點P，問：AP與AO之間有何數量關系，試證明你的結論．（3）如圖2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO，AC、DB交于E，補全圖形，并證明：AE＝BE+CE．【答案】（1）等邊三角形，理由見解析；（2）AP＝2AO，證明見解析；（3）見解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定為等邊三角形；（2）可通過證明△ABG與△OBE全等，得到∠APO＝30°，再通過含30°的直角三角形的性質可以推導AP＝2AO；（3）做輔助線在AC上截取AM＝EC，連接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通過邊角轉換證明△ABE與△CBM全等，即可得到△BEM為等邊三角形，從而可證AE＝AM+EM＝CE+BE.【詳解】解：（1）如圖1，△AOB為等邊三角形，理由是：∵將繞OB繞O點旋轉至OA∴∠AOB=60°，∵AO＝AB∴△AOB為等邊三角形；（2）AP＝2AO，理由為：證明：∵△AOB與△BGE都為等邊三角形，∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，在△ABG和△OBE中，∴△ABG≌△OBE（SAS），∴∠BAG＝∠BOE＝60°，∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∵∠GAO為△AOP的外角，且∠AOP＝90°，∴∠APO＝30°在Rt△AOP中，∠APO＝30°，則AP＝2AO．（3）補全圖形，在AC上截取AM＝EC，連接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE