太原師院附中師苑中學2024屆數學高一下期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．計算的值等于（）A． B． C． D．2．已知弧度數為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是（）A．2 B． C． D．3．設，則的大小關系為（）A． B． C． D．4．的內角的對邊分別為,邊上的中線長為,則面積的最大值為（）A． B． C． D．5．若一個正四棱錐的側棱和底面邊長相等，則該正四棱錐的側棱和底面所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如圖，在正方體中，，分別是，中點，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．7．若函數局部圖象如圖所示，則函數的解析式為A． B．C． D．8．若直線上存在點滿足則實數的最大值為A． B． C． D．9．如圖所示，某汽車品牌的標志可看作由兩個同心圓構成，其中大、小圓的半徑之比為，小圓內部被兩條互相垂直的直徑分割成四塊.在整個圖形中任選一點，則該點選自白色部分的概率為（）A． B． C． D．10．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象()A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數列的首項，且（），則數列的通項公式是__________．12．已知函數的部分圖象如圖所示，則_______.13．設當時，函數取得最大值，則______.14．若，則實數的值為_______.15．一個三角形的三條邊成等比數列，那么，公比q的取值范圍是__________.16．我國高鐵發展迅速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.18．在中，、、分別是內角、、的對邊，且.（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求的周長．19．為了了解某市高中學生的漢字書寫水平，在全市范圍內隨機抽取了近千名學生參加漢字聽寫考試，將所得數據進行分組，分組區間為：，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該市高中學生的平均成績；（2）設、、、四名學生的考試成績在區間內，、兩名學生的考試成績在區間內，現從這6名學生中任選兩人參加座談會，求學生、至少有一人被選中的概率.20．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b．①記“”為事件A，求事件A的概率；②在區間內任取2個實數，求事件“恒成立”的概率．21．已知關于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標準方程；（2）已知動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由三角正弦的倍角公式計算即可．【題目詳解】原式．故選C【題目點撥】本題屬于基礎題，考查三角特殊值的正弦公式的計算．2、B【解題分析】

先由已知條件求出扇形的半徑為，再結合弧長公式求解即可.【題目詳解】解：設扇形的半徑為，由弧度數為2的圓心角所對的弦長也是2，可得，由弧長公式可得：這個圓心角所對的弧長是，故選：B.【題目點撥】本題考查了扇形的弧長公式，重點考查了運算能力，屬基礎題.3、B【解題分析】

不難發現從而可得【題目詳解】,故選B.【題目點撥】本題考查利用指數函數和對數函數的單調性比較數大小．4、D【解題分析】

作出圖形，通過和余弦定理可計算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【題目詳解】根據題意可知，而，同理，而，于是，即，又因為，代入解得.過D作DE垂直于AB于點E，因此E為中點，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【題目點撥】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，計算能力，難度較大.5、B【解題分析】

正四棱錐，連接底面對角線，在中，為側棱與地面所成角，通過邊的關系得到答案.【題目詳解】正四棱錐，連接底面對角線，，易知為等腰直角三角形.中點為，又正四棱錐知：底面即為所求角為，答案為B【題目點撥】本題考查了線面夾角的計算，意在考察學生的計算能力和空間想象力.6、D【解題分析】

如圖，平移直線到，則直線與直線所成角，由于點都是中點，所以，則，而，所以，即，應選答案D．7、D【解題分析】

由的部分圖象可求得A，T，從而可得，再由，結合的范圍可求得，從而可得答案．【題目詳解】，；又由圖象可得：，可得：，，，．，，又，當時，可得：，此時，可得：故選D．【題目點撥】本題考查由的部分圖象確定函數解析式，常用五點法求得的值，屬于中檔題．8、B【解題分析】

首先畫出可行域，然后結合交點坐標平移直線即可確定實數m的最大值.【題目詳解】不等式組表示的平面區域如下圖所示，由，得：，即C點坐標為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點或C點的左邊時，直線上存在點在平面區域內，所以，m≤－1，即實數的最大值為－1.【題目點撥】本題主要考查線性規劃及其應用，屬于中等題.9、B【解題分析】

設大圓半徑為，小圓半徑為，求出白色部分面積和大圓面積，由幾何概型概率公式可得．【題目詳解】設大圓半徑為，小圓半徑為，則整個圖形的面積為，白色部分的面積為，所以所求概率.故選：B.【題目點撥】本題考查幾何概型，考查面積型的幾何概型，屬于基礎題．10、D【解題分析】

由函數，根據三角函數的圖象變換，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，函數，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位，故選D.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及正弦的倍角公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】，得（）,兩式相減得，即（），，得，經檢驗n=1不符合。所以，12、【解題分析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結合即可得解.【題目詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【題目點撥】本題主要考查了三角函數圖象的性質及觀察能力，還考查了轉化思想及計算能力，屬于中檔題．13、；【解題分析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.14、【解題分析】

由得，代入方程即可求解.【題目詳解】,.,,,即，故填.【題目點撥】本題主要考查了反三角函數的定義及運算性質，屬于中檔題.15、【解題分析】

設三邊按遞增順序排列為，其中.則，即.解得.由q≥1知q的取值范圍是1≤q<.設三邊按遞減順序排列為，其中.則，即.解得.綜上所述，.16、1．98.【解題分析】

本題考查通過統計數據進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．【題目詳解】由題意得，經停該高鐵站的列車正點數約為，其中高鐵個數為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點率約為．【題目點撥】本題考點為概率統計，滲透了數據處理和數學運算素養．側重統計數據的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據分類抽樣的統計數據，估算出正點列車數量與列車總數的比值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦公式將已知兩式展開，分別作和、作差可得，，再利用，即可求出結果；（Ⅱ）由已知求得，再由，利用兩角差的余弦公式展開求解，即可求出結果．【題目詳解】解：（I）①②由①+②得③由①-②得④由③÷④得（II）∵，，【題目點撥】本題主要考查了兩角和差的正余弦公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．18、(1)(2)【解題分析】

（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知等式可得，由，可求，結合范圍，可求．（2）利用三角形的面積公式可求，進而根據余弦定理可得，即可計算得解的周長的值．【題目詳解】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，即，∵，∴，∵，∴．（2）∵，，的面積為，，∴，∴由余弦定理可得：，∴解得：，∴的周長.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出a．由此能估計該市高中學生的平均成績；（2）現從這6名學生中任選兩人參加座談會，求出基本事件總數，再學生M、N至少有一人被選中包含的基本事件個數，由此能求出學生M、N至少有一人被選中的概率．【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，∴估計該市高中學生的平均成績為：．（2）設A、B、C、D四名學生的考試成績在區間[80，90）內，M、N兩名學生的考試成績在區間[60，70）內，現從這6名學生中任選兩人參加座談會，基本事件總數，學生M、N至少有一人被選中包含的基本事件個數，∴學生M、N至少有一人被選中的概率．【題目點撥】本題考查了利用頻率分布直方圖求平均數，考查了古典概型計算公式，考查了數學運算能力.20、（1）；（2）P＝．【解題分析】

試題分析：（1）依題意共有小球n＋2個，標號為2的小球有n個，從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率為，解得n＝2；（2）①從袋子中不放回地隨機抽取2個小球共有12種結果，而滿足2≤a＋b≤3的結果有8種，故；②由①知，，故，（x，y）可以看成平面中的點的坐標，則全部結果所構成的區域為，由集合概型得概率為．考點：考查了古典概型和幾何概型．點評：解本題的關鍵是掌握古典概型和集合概型的概率公式，并能正確應用．21、（1）（2）①②證明見解析【解題分析】

（1）根據圓的一般式，可得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，結合圓心在軸上，即可求得圓C的標準方程．（2）①根據切線性質及切線長定理，表示出的長，根據圓的性質可知當最小時，即可求得面積的最小值；②設出M點坐標，根據兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標及半徑，進而求得的方程，根據兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標．【題目詳解】（1）由題意知，圓心在直