2022年春季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校五月模擬考高三數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數z的共軛復數為，且，則在復平面內復數z的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知正實數x，y滿足，則的最小值為（）A． B．5 C．9 D．104．已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積為（）A． B． C． D．5．將甲、乙、丙3名志愿者安排到A、B兩所學校參加支教活動，要求每個學校至少安排一個人，則甲被派到A學校的概率為（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作準線的垂線，垂足為Q，若，則（）A．2 B．4 C．6 D．7．設a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，若，且，則（）A． B． C． D．8．在等比數列中，已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點，在y軸上，短軸長等于，離心率為，過焦點為作軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點，則下列說法正確的是（）A．橢圓C的方程為 B．橢圓C的方程為C． D．的周長為10．某地區公共部門為了調查本地區中學生的吸煙情況，對隨機抽出的編號為1~1000的1000名學生進行了調查．調查中使用了兩個問題，問題1：你的編號是否為奇數？問題2：你是否吸煙？被調查者從設計好的隨機裝置（內有除顏色外完全相同的白球50個，紅球50個）中摸出一個小球（摸完放回）：摸到白球則如實回答問題1，摸到紅球則如實回答問題2，回答“是”的人在一張白紙上畫一個“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調查者可以毫無顧忌的給出真實的答案．最后統計得出，這1000人中，共有265人回答“是”，則下列表述正確的是（）A．估計被調查者中約有15人吸煙 B．估計約有15人對問題2的回答為“是”C．估計該地區約有3%的中學生吸煙 D．估計該地區約有1.5%的中學生吸煙11．已知正實數a，b，c滿足，則一定有（）A． B． C． D．12．已知四面體中，，，，直線AB與CD所成角為，則下列說法正確的是（）A．AD的取值可能為 B．AD與BC所成角余弦值一定為C．四面體ABCD體積一定為 D．四面體ABCD的外接球的半徑可能為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在等差數列中，已知，則______．14．在的展開式中，的系數是______．（用數字作答）15．如圖是第24屆國際數學家大會的會標，它是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成的．若大正方形的邊長為，E為線段BF的中點，則______．16．已知函數，若函數有5個零點，則實數k的取值范圍為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，已知．（1）求A；（2）若，求．18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，M為線段上一點．（1）求證：；（2）若直線與平面BCM所成角為，求點到平面BCM的距離．19．（12分）已知數列的前n項之積為，且．（1）求數列和的通項公式；（2）求的最大值．20．（12分）教育部門最近出臺了“雙減”政策，即有效減輕義務教育階段學生過重作業負擔和校外培訓負擔，持續規范校外培訓（包括線上培訓和線下培訓）．“雙減”政策的出臺對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響．某大型校外培訓機構為了規避風險，尋求發展制定科學方案，工作人員對2021年前200名報名學員的消費金額進行了統計整理，其中數據如表．消費金額（千元）人數305060203010（1）該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費金額為和的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為的人數的分布列和數學期望；（2）以頻率估計概率，假設該大型校外培訓機構2021年所有學員的消費金額可視為服從正態分布，，分別為報名前200名學員消費的平均數以及方差（同一區間的花費用區間的中點值替代）．①試估計該機構學員2021年消費金額為的概率（保留一位小數）；②若從該機構2021年所有學員中隨機抽取4人，記消費金額為的人數為，求的方差．參考數據：；若隨機變量，則，，．21．（12分）已知雙曲線的離心率為，記雙曲線C與圓的交點為，，，（逆時針排列），且矩形的面積為．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點，直線交雙曲線C的左支于A、B兩點，若△PAB的外接圓過坐標原點O，求m的值．22．（12分）已知對于不相等的正實數a，b，有成立，我們稱其為對數平均不等式．現有函數．（1）求函數的極值；（2）若方程有兩個不相等的實數根，．①證明：；②證明：．2022年春季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校五月模擬考高三數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】C【詳解】因為，，所以，故選：C．2．【答案】D【詳解】設，其中a，，則，則，，此時z在復平面內對應的點為，位于第四象限，故選：D．3．【答案】【詳解】，當且僅當，即時，等號成立．故選：A．4．【答案】B【詳解】設圓錐的母線為l，即側面展開圖的半徑為l，又圓錐的底面半徑為1，則側面展開圖的弧長為，又側面展開圖是半圓，則，則，所以側面積為，故選：B．5．【答案】B【詳解】由題意知，一所學校有2名志愿者，一所學校有1名志愿者，總情況有種，甲被派到A學校的情況有種，故甲被派到A學校的概率為．故選：B．6．【答案】B【詳解】由拋物線定義可知，∴，△PQF為正三角形．設準線l與x軸交于點A，由拋物線可知：，∵，∴，∴，∴，故選：B．7．【答案】B【詳解】因為，所以，即，所以，所以或．若，則，這與題設不合；若,又，所以，即．故選：B．8．【答案】A【詳解】因為公比，所以；，；所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．【答案】AC【詳解】由題意得：，所以，因為，故，因為焦點，在y軸上，所以橢圓C的方程為，由通徑長可得，，的周長為，故選：AC．10．【答案】BC【解析】隨機抽出的1000名學生中，回答第一個問題的概率是，其編號是奇數的概率也是，所以回答問題1且回答的“是”的學生人數為，回答問題2且回答的“是”的人數為，從而估計該地區中學生吸煙人數的百分比為，估計被調查者中吸煙的人數為，故選：BC．11【答案】AB【解析】由正實數a，b，c，以及，可得，又，所以．所以，又，所以，即，等價于，由于函數在上遞增，從而．又取時，原式為同樣成立，故CD不正確，從而本題選AB．12．【答案】ACD【解析】由題可知，，，則可將四面體ABCD的四個頂點放入如下圖所示的直三棱柱中，考慮到直線AB與CD所成角為，故有如下兩種情況：對于左圖，，則，；此時AD與BC所成角余弦值為；因為，所以；分別取三棱柱上下底面三角形的外心G，H，連接GH，則線段GH的中點O即為三棱柱外接球球心，也即為四面體ABCD的外接球心，故四面體ABCD的外接球半徑．對于右圖，，則，；此時AD與BC所成角余弦值為；因為，所以；同上可得四面體ABCD的外接球半徑．故選ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】10【詳解】由題意在等差數列中，設公差為d，則，所以，于是，故答案為：10．14．【答案】-100【詳解】展開式中項的系數為：．故答案為：-100．15．【答案】4【詳解】設，由題可得，所以，故．過F作BC的垂線，垂足設為Q，故，故答案為：4．16．【答案】【解析】因為，所以，所以函數為偶函數，又，所以在上有兩個零點，即有兩個不同的正實數解，即，令，則，故在上遞減，上遞增，故．又，且，，從而，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）【解析】（1）在△ABC中，因為，所以，所以．∴．∵，∴，故，即，所以．（2）解法一：在△ABC中，∵，，∴，即，∴，在△ABC中，∵，∴，∴，即．解法二：在△ABC中，∵，∴或（舍），∴在△ABC中，∵，∴，∴，即．解法三：在△ABC中，∵，∴，即，∴，即，故，∴或0（舍）在△ABC中，∵，∴，∴,即．（第（2）問若出現其余答案，扣2分）18．（12分）【解析】（1）解法一：因為，，所以平面，所以G平面，故，又在正方形中，，所以平面，又平面，所以．解法二：因為平面ABC，AB，平面ABC，所以，，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標系：，，，，，，，，因為，所以，即．（2）設平面BCM的法向量為，，，所以有，因為直線與平面BCM所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面BCM的距離為：．19．（12分）【解析】（1）∵①，∴②，由①②可得，由①也滿足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．（2）由（1）可知，則，記，∴，∴，∴，即單調遞減，∴的最大值為．20．（12分）【解析】（1）由題意得，抽中的5人中消費金額為的人數為，消費金額為的人數為，設消費金額為的人數為X，則，所以，，，所以X的分布列為：X123P；（2）①由題意得，，所以，所以．②由題意及①得，，，所以．21．（12分）【解析】（1）∵，∴，∴雙曲線，聯立，可得，，∴，∴，解得，∴雙曲線C的標準方程為．（