高中數學《第3章概率》單元測試卷(二)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不相等時，求(估計)概率可

A.用列舉法B.用列表法C.用樹狀圖法D.通過頻率估計

2.從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數字，構成一個兩位數，則這個數字大于40的概率是()

3.統計假設%：P(4B)=PQ4)P(B)成立時，有以下判斷：

①P(AB)=P(A)P(B)

②P(AB)=P(A)P(B)

③P(AB)=P(4)P(B)

其中真命題個數是()

A.0B.1C.2D.3

4.一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()

A.至多有一次中靶B.兩次都中靶

C.只有一次中靶D.兩次都不中靶

5.如圖是一個正方體紙盒的展開圖，把1、一1、2、—2、魚、―魚分別填入六

個正方形，使得按虛線折成正方體后，相對面上的兩個數的絕對值相等，求I~~

不同填法的種數()

A.3B.6C.24D.48

6.一個盒子中裝有紅、黃、藍三種顏色的球各5個，從中任取3個球.事件甲：3個球都不是紅球；

事件乙：3個球不都是紅球；事件丙：3個球都是紅球；事件丁：3個球中至少有1個紅球，則

下列選項中兩個事件互斥而不對立的是()

A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.乙和丁

7.如圖，設區域。={x(x,y)|0WxW兀，0<y<1},向區域。內"

隨機投入一點，且投入到區域內任一點都是等可能的，則點落入:二

到陰影區用={(%y)|0W%W7T,0Wy工s譏%}的概率為()-―>

8.如圖，在矩形中，AD=1,AB=4,在CO上任取一點尸，則△4BP為鈍角三角形的概率為（）

A*B.叵C.V2-1D.V3-1

9.下列敘述正確的是（）

A.互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件

B.若A、B對立,則P（A）+P（B）=1

C.若PQ4UB）=P（Z）+P（8）,則A、8互斥

D.若P（4）=0,則A是不可能事件

10,擲兩顆骰子，出現的點數之和是6的概率為（）

A.?B.三C.2D.-

3612214

11.黑白兩種顏色的正方形地磚依照如圖的規律拼成若干個圖形，現將一粒豆子隨機撒在第10個圖

中，則豆子落在白色地磚上的概率是（）

第2個

12.如圖，在正方形圍欄內均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正￡藜：、

方形的內切圓中的概率是（）tef：?

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某個部件由3個型號相同的電子元件并聯而成，3個電子元件中有一個正常工作，則該部件正常

工作，已知這種電子元件的使用年限f（單位：年）服從正態分布，且使用年限少于3年的概率和

多于9年的概率都是0.2.那么該部件能正常工作的時間超過9年的概率為.

14.拋擲3枚硬幣，至少出現一個正面的概率等于.

15.甲、乙兩人各拋擲一次正方體骰子（它們的六個面分別標有數字1,2,3,4,5,6）,設甲、乙

所拋擲骰子朝上的面的點數分別為小y,則滿足復數久+yi的實部大于虛部的概率是.

16.一只口袋里有5個紅球，3個綠球，從中任意取出2個球，則其中有綠球的概率為.（結

果用最簡分數表示）.

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.甲、乙兩名運動員進行2016里約奧運會選拔賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局

仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為右乙獲勝的概率為親

各局比賽結果相互獨立.

（I）求甲在3局以內（含3局）贏得比賽的概率；

（E）記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和數學期望.

18.18.（12分）隨機抽取100名學生，測得他們的身高（單位：c/n）按照區間

[155,160）,[160,165）,[165,170）/170,175）,[175,180）,唧,185）分組,得到樣本身高的頻率

（1）求頻率分布直方圖中的尤值及身高在170融以上的學生人數；

（2）將身高在["0,175）,[175,180）,[180,185）區間內的學生依次記為aRC三組，用分層抽樣

的方法從這三組中抽取6人，求從這三組分別抽取的人數；

（3）在（2）的條件下要從6名學生中抽取2人，用列舉法計算》組中至少有1人被抽中的概率.

19.已知正方形ABC。的邊長為2,E、F、G、“分別是邊AB、BC、CD、D4的中點.

(1)從C、D、E、F、G、H這六個點中，隨機選取兩個點，記這兩個點之間的距離的平方為。求概

率P(f44).

(2)在正方形4BCO內部隨機取一點P,求滿足|PE|<2的概率.

20.為了促進電影市場快速回暖，各地紛紛出臺各種優惠措施.某影院為回饋顧客，擬通過抽球兌獎

的方式對觀影卡充值滿200元的顧客進行減免，規定每人在裝有4個白球、2個紅球的抽獎箱中

一次抽取兩個球.已知抽出1個白球減20元，抽出1個紅球減40元.

(1)求某顧客所獲得的減免金額為40元的概率；

(2)若某顧客去影院充值并參與抽獎，求其減免金額低于80元的概率.

21.(本小題滿分10分)某食品安檢部門調查一個海水養殖場的養殖魚的有關情況，安檢人員從這個

海水養殖場中不同位置共捕撈出100條魚，稱得每條魚的重量(單位：kg),并將所得數據進行

統計得下表.若規定超過正常生長的速度為1.0?1.2kg/年的比重超過15%,則認為所飼養的魚

有問題，否則認為所飼養的魚沒有問題.

魚的質量[1,00,1.05)[1,05,1.1)[1.10,1.151[1,15,1.2)[1,20,1.251[1,25,1,30]

魚的條數320353192

(I)根據數據統計表，估計數據落在［1.20,1.30)中的概率約為多少，并判斷此養殖場所飼養的魚

是否存在問題？

(U)上面捕撈的loo條魚中間，從重量在［1,00,1,05)和11.25,1.30)的魚中，任取2條魚來檢測，

求恰好所取得魚重量".00,1.05)和［口25,1.30)各有1條的概率.

22.新津中學高二15班學生參加“六校”聯考，其數學成績(已折合成百分制)的頻率分布直方圖如

圖所示，其中成績分組區間是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],現已知

成績落在[90,100]的有5人.

(I)求該班參加“六校”聯考的總人數；

(n)根據頻率分布直方圖，估計該班此次數學成績的平均分(可用中值代替各組數據的平均值)；

(江)現要求從成績在[40,50)和[90,100]的學生中共選2人參加成績分析會，求2人來自于同一分數段

的概率.

40506070S090100成績/分

【答案與解析】

1.答案:D

解析：

此題主要考查利用頻率估計概率.利用頻率與概率的關系以及概率的定義即可解答.

解：隨著相同條件下試驗次數的增大，事件出現的頻率逐漸穩定，可以用穩定時的頻率來估計這一

事件發生的可能性，即概率.

故當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不相等時，估計概率可以通過

頻率估計.

而列舉法、列表法和樹狀圖法均不適用于不是有限個實驗結果或實驗結果的可能性不相等的情況.

故選D

2.答案：A

解析：解：從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數字，構成一個兩位數有5X4=20,

這個數字大于40的有虺尻=8,

??.這個數字大于40的概率是4=I，

故選：A.

根據題意從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數字，構成一個兩位數有照=5x4=20,這個數字

大于40的有心思=8,根據概率求解.

本題考查了古典概率公式求解，屬于容易題.

3.答案：D

解析：解：由統計獨立性假設檢驗的原理可知：H。：P(4B)=PG4)P(B)成立，

所以事件A,B相互獨立，即事件4與B發生與否相互不受影響，

則由條件概率公式可知PQ4|B)=?怒，而P(加8)=PQ4),代入前式得P(4B)=P(4)P(B),所以①

對；

同理P(A|B)=譙而P(4|B)=P(4),代入前式得P(4B)=P(A)P(B)，故②對；

=將P(4|B)=PQ4)代入前式得P(4B)=P(A)P(B),故③對?

故選。

按照獨立性假設檢驗的概念分析：因為%：P(AB)=P(A)P(B),所以事件A,B相互獨立，

由相互獨立事件同時發生的概率性質可知，事件A與B,4與B,A與B，A與啟也相互獨立.

由此借助于條件概率公式可推得①P(AB)=P(4)P(B)成立；

②P(AB)=P(A)P(8)成立；

③P(AB)=PQ4)P(B)成立.

本題考查了獨立性假設檢驗的基本思想，以及相互獨立事件同時發生的概率的性質，概念性較強，

需要認真思考.

4.答案：D

解析：解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能夠同時發生，故A錯誤；

“兩次都中靶"和“至少有一次中靶”，能夠同時發生，故8錯誤；

“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能夠同時發生，故C錯誤；

“兩次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同時發生，故。正確.

故選：D.

利用互斥事件的概念求解.

本題考查互斥事件的判斷，是基礎題，解題時要熟練掌握互斥事件的概念.

5.答案：D

解析：解：把絕對值相等的數分成三組(2,-2),(V2,-V2),相對面上的兩個數分別填以上

三組，不同的填法有程6盤=6種，又相對面交換數值的方法有2x2x2=8種，故共有6x8=48

種.

故選：D.

先把絕對值相等的數分成三組，相對面上的兩個數分別填以上三組，對面交換數值，根據分步乘法

原理，即可得出結論.

本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題.

6.答案：B

解析：解：一個盒子中裝有紅、黃、藍三種顏色的球各5個，從中任取3個球.

事件甲：3個球都不是紅球；事件乙：3個球不都是紅球；

事件丙：3個球都是紅球；事件丁：3個球中至少有1個紅球，

在4中，甲和乙能同時發生，不是互斥事件，故A錯誤；

在8中，甲和丙是互斥而不對立事件，故8正確；

在C中，乙和丙是對立事件，故C錯誤；

在。中，乙和丁能同時發生，不是互斥事件，故O錯誤.

故選：B.

利用互斥事件、對立事件的定義直接求解.

本題考查互斥而不對立事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎知識，是基礎題.

7.答案：C

解析：解：陰影部分面積S=J：(sinx)d%=(-cos%)|4=-cos7r+cosO=2

區域。={%(%,y)|0<%<yr,0<y<1}的面積S'=n

二所投的點落在陰影部分的概率

p=7T

故選：C.

根據積分求解出陰影部分的面積，然后再求解區域。的面積，再將它們代入幾何概型計算公式計算

出概率.

本題考查幾何概型的概率，可以為長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，

而與形狀和位置無關.

8.答案：B

DF43P43EC

AoB

解：設以AB中點為圓心，AB為直徑作圓，

此圓與8交于點E,F,

則當點尸在線段EF(不含端點)上運動時，AABP為鈍角三角形，

由幾何概型中的線段型得：

△4BP為鈍角三角形的概率P=2=更，

42

故選：B.

先利用圓的應用得點尸的運動位置，再由幾何概型中的線段型求得p=2=3,得解.

42

本題考查了圓的應用及幾何概型中的線段型，屬中檔題.

9.答案：B

解析：解：在A中，互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故4錯誤;

在8中，若4、8對立，則由對立事件概率公式得P(4)+P(B)=1,故B正確；

在C中，若P(AUB)=P(A)+P(B),則A、8不一定是互斥事件；

在。中，假設X是個連續型隨機變量，均勻分布在［0,1］之間.

則令事件A為X=2，則P(4)=0.

這是因為作為連續型隨機變量，取任何一個特定值的概率都是0.

但不能說A就是不可能事件，它仍舊是可能的，只是概率非常非常小，小到是0,故。錯誤.

故選：B.

利用對立事件、互斥事件、不可能事件的定義、性質直接求解.

本題考查命題真假的判斷，考查對立事件、互斥事件、不可能事件的定義、性質等基礎知識，是基

礎題.

10.答案：A

解析：

本題根據古典概型及其概率計算公式，考查用列表法的方法解決概率問題；得到點數之和為6的情

況數是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

先計算出所有情況數，再看點數之和為6的情況數，列舉出有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共有

5種結果，根據古典概率計算公式可得結果.

解：由題意知，本題是一個古典概型，

試驗發生包含的事件是同時擲兩枚骰子，共有6x6=36種結果，

而滿足條件的事件是兩個點數之和是6,列舉出有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共有5種結果,

根據古典概型的概率公式得到P=5，

3o

故選：A

1L答案：D

解析：解：第一個圖形黑色地板磚所占的比例為5=義，

第二個圖形黑色地板磚所占的比例為，=￡,

第三個圖形黑色地板磚所占的比例為(=+，

則由歸納推理可知第10個圖形黑色地板磚所占的比例為女蒜K=郎，

3IUT1)05

則此時第10個圖形白色地板磚所占的比例為空了=11，

故選：D

利用歸納推理得到第10個圖形中黑色地板磚所占的比例，即可得到結論.

本題主要考查概率的計算，利用歸納推理是解決本題的關鍵.

12.答案：B

解析：

本題考查幾何概型概率的求法，是基礎題.

設出正方形的邊長，得到圓的半徑，分別求面積，由幾何概型概率的計算公式得答案.

解：設正方形的邊長為2a,則其內切圓的半徑為a,

S正方形S圓=兀。2，

???小雞在正方形的內切圓中的概率是4=寰=不

3正方形"a’

故選B.

13.答案:0.488

解析：

本題考查概率的計算，考查正態分布、對立事件的概率，屬于中檔題.

利用使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2,可得正態分布的對稱軸為f=6,9年內每

個電子元件能正常工作的概率為0.2.求出9年內部件不能正常工作的概率，即可求出該部件能正常工

作的時間超過9年的概率.

解：?.?使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2,

P(0<f<3)=P(f>9)=0.2,

二正態分布的對稱軸為f=6,

9年內每個電子元件能正常工作的概率為0.2.

9年內部件不能正常工作的概率為0.83=0512,

該部件能正常工作的時間超過9年的概率為1-0.512=0.488.

故答案為：0.488.

14.答案：?

O

解析：解：拋擲3枚硬幣，至少出現一個正面的對立事件是全是反面，

???拋擲3枚硬幣，至少出現一個正面的概率為：

P=1-G)3.

故答案為：O

拋擲3枚硬幣，至少出現一個正面的對立事件是全是反面，由此利用對立事件概率計算公式能求出

拋擲3枚硬幣，至少出現一個正面的概率.

本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

15.答案：5

解析：解：???試驗發生所包含的事件是甲、乙兩人各拋擲一次正方體骰子點數分別為小y得到復數

x+yi的數是36,

滿足條件的事件是復數x+yi的實部大于虛部,

當實部是2時,虛部是1；

當實部是3時,虛部是1,2；

當實部是4時,虛部是1,2,3；

當實部是5時，虛部是1,2,3,4；

當實部是6時,虛部是1,2,3,4,5；

共有15種結果，

???實部大于虛部的概率是：登=2

3012

故答案為：

試驗發生所包含的事件是甲、乙兩人各拋擲一次正方體骰子點數分別為X、y得到復數x+yi的數是

36,滿足條件的事件是復數久+yi的實部大于虛部，可以列舉出共有15種結果，代入公式即可得到

結果.

如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現，”種結果，那么事件A的

概率P（4）=

16.答案:]

解析：解：其中沒有綠球的概率P=,=2,

c8

則其中有綠球的概率p=1-捺=2

1414

故答案為看.

符合古典概型，先求對立事件的概率，再求中有綠球的概率.

本題考查了古典概型概率的求法，屬于基礎題.

17.答案：解：（I）用A表示“甲在3局以內（含3局）贏得比賽”，

4K表示第K局甲獲勝，以表示第K局乙獲勝，

11

則P(4K)=2P(BQ=；,K=1,2,3,4,5

???甲在3局以內(含3局)贏得比賽的概率：

P(4)=PGM2)+P^A2A3-)=ixi+|xixi=|...(5分)

(D)X的可能取值為23,4,5,

P(X=2)=PH14)+P(B/2)=ixi+ix1=i,

P(X=3)=+PO1B2B3)=ix|x|+ixix|=i,

P(X=4)=P^A^AM+PBTA2B3B4)=|x|xixi+|xixix|=i

P(x=5)=PCA^A^As)+PCB^B^Bs)++「(&出色冬為)=4x|x|x

故X的分布列為

X2345

1111

P

2488

二E(X)=2x：1+31x；+-4x1：+15x：=moo....(9)

Z4ooo

解析：(I)用A表示“甲在3局以內(含3局)贏得比賽”，4K表示第K局甲獲勝，隊表示第K局乙

獲勝，分別求出相應的概率，由此能求出甲在3局以內(含3局)贏得比賽的概率.

(D)X的可能取值為2,3,4,5,分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數學期望.

本小題主要考查概率，古典概型，隨機變量的數學期望等基礎知識，考查運算求解能力、數據處理

能力、應用意識，考查必然與或然思想、化歸與轉化思想.

18.答案：解：⑴由題意得：5x=l-5x(0.01+0.03+2x0.04+0,02)=1-5x0.14=0.03,

解得1二006

所以身高在17S?w以上的學生人數為:

100x5x[0,06+0.04+0.02]=60(人)

(2)由題意知：A,B,C三組的人數分別為30人，20人，10人.

因此應該從小亡三組中每組各抽取

30x2=3（人），20x9=2（人），10x9=1（人）.

606Q60

⑶在的條件下記A組的3位同學為4,4,41

7?組的2位同學為

C*組的1位同學為G，

則從6名學生中抽取2人有15種方法，即：

（4闖,（4闖,（4聞,（4聞,（4?）,（4闖,（4出）,（4聞

的6）,（44"&舄）,依6）,（綜團,（46）,（%6）

其中8組的2位學生至少有1人被抽中有9種方法，

（4圈）,（4,4）,（4片）,（&&）,（&&）

（&町，（綜&）,（綜G）,（%G）

93

,8組的2位學生至少有1人被抽中的概率為尸=—=_.

155

解析：本題主要考查概率與統計的綜合問題，（1）先根據頻率分布直方圖求出X的值，然后求出身高

在170c,”以上的人數；（2）先求出A,B,C三組的人數，然后根據分層抽樣的特點求出每層的人數；

（3）先列舉出從6名學生中抽取2人包含的基本事件數，然后列舉出3組中至少有1人包含的基本事

件數，即可求出概率.

19.答案：解：⑴從C、D、E、RG、，這六個點中，隨機選取兩個點，共有或=15種，其中。E,

DF,CE,C”兩個點之間的距離的平方為5,不滿足題意，

4）=1一卷=￡...（6分）

（2）這是一個幾何概型.所有點P構成的平面區域是正方形ABCQ的內部，其面積是2x2=4.

滿足|PE|<2的點P構成的平面區域是以E為圓心,2為半徑的圓的內部與正方形ABC。內部的公共

部分，它可以看作是由一個以E為圓心、2為半徑、圓心角為;的扇形的內部與兩個直角邊分別為1

和g的直角三角形內部構成.

其面積是2x=x22+2xixlxV3=y+V3.

所以滿足|PE|<2的概率為*=E+理（12分）

解析：（1）從C、D、E、F、G、H這六個點中，隨機選取兩個點，共有點=15種，其中。E,DF,

CE,C"兩個點之間的距離的平方為5,不滿足題意，即可得出結論.

（2）根據幾何概型的概率計算公式，分別求出正方形的面積和滿足|PE|<2的正方形內部的點P的集

合的面積即可得出；

本題考查了幾何概型，正確求出試驗的全部結果所構成的區域的面積和長度以及要求的事件的區域

的面積和長度是解題的關鍵.

20.答案：解：（1）設4個白球為a,b,c,d,2個紅球為e,力事件A為顧客所獲得的減免金額為

40元,

則。={ab,ac,ad,ae,af,be,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef},共15種情況，（3分）

A=（ab,ac,ad,be,bcl,cd）,共6種情況，（5分）

所以顧客所獲得的減免金額為40元的概率為P=尚=g.（6分）

（2）設事件B為顧客所獲得的減免金額為80元，則8=伯門，共1種情況，（8分）

所以顧客所獲得的減免金額為80元的概率為P（B）=2，

故減免金額低于80元的概率P=1-P（B）=蔡.（12分）

解析：（1）設4個白球為a,h,c,d,2個紅球為e,f,事件A為顧客所獲得的減免金額為40元，

利用列舉法能求出顧客所獲得的減免金額為40元的概率.

（2）設事件B為顧客所獲得的減免金額為80元，則3=e/},共1種情況，先求出顧客所獲得的減免

金額為80元的概率，由此能求出減免金額低于80元的概率.

本題考查概率的求法，涉及到古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識等核心

素養，是基礎題.

21.答案：解：（I）捕撈的100條魚中間，數據落在［1.20,1.25）的概率約為Pi=總=0.09；

數據落在［1.25,1.30）的概率約為A=會=0.02；（2分）

所以數據落在口.20,1.30）中的概率約為P=Pi+