第八章二元一次方程組壓軸題考點訓練1．若方程組的解是，則方程組的解是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，再設-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程組，再得其解即可．【詳解】解：將變形為,設-3x+1=x’，-2y=y’，則原方程變形為：，因為方程組的解是，所以，解得：，所以方程組的解是，故選：A．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關系是解題的關鍵．2．新冠狀病毒傳染性非常強，多是通過飛沫，接觸，還有氣溶膠傳播。所以一定要做好個人防護，盡量少外出，更不要聚集，佩戴醫用外科口罩是非常有效的個人防護。為了個人防護，小紅用40元錢買了A，B兩種型號的醫用外科口罩(兩種型號都買)，A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用盡的情況下，有幾種購買方案(

)A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【分析】解：小紅用40元錢買了A型號口罩x包，B兩種型號的醫用外科口罩y包，根據小紅用40元錢買了A，B兩種型號的醫用外科口罩(兩種型號都買)列出二元一次方程，根據A，B兩種型號的醫用外科口罩都買得到x的取值范圍，從而求出二元一次方程的正整數解即可．【詳解】解：小紅用40元錢買了A型號口罩x包，B兩種型號的醫用外科口罩y包，由題意可得：，解得，，A，B兩種型號的醫用外科口罩都買，，所有購買方案為，，，有3種購買方案，故選B．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的正整數解，根據題目中的等量關系列出方程是解題的關鍵．3．方程組中，若未知數x、y滿足x-y>0，則m的取值范圍是(

)A．m＞1 B．m＜1 C．m＞-1 D．m＜-1【答案】B【詳解】解方程組得，∵x、y滿足x-y>0，∴，∴3－3m>0,∴m<1.故選B.4．設，，…，是從1，0，-1這三個數取值的一列數，若++…+=69，，則，，…，中為0的個數是(

)A．173 B．888 C．957 D．69【答案】A【詳解】解：(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2018+1)2=a12+a22+…+a20182+2(a1+a2+…+a2018)+2018=a12+a22+…+a20142+2×69+2018=a12+a22+…+a20142+2156，設有x個1，y個-1，z個0∴化簡得x-y=69，x+y=1845，解得x=888，y=957，z=173，∴有888個1，957個-1，173個0，故答案為173．5．“今有四十鹿進舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？(改編自《緝古算經》)”大意為．今有40只鹿進圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可以容納6頭鹿，且恰好每個圈舍都能放滿，求所需圈舍的間數．設所需大圈舍間，小圈舍間，則求得的結果有___________種．【答案】3【分析】根據題意，得，整理得，根據x，y都是整數，討論求解即可．【詳解】設所需大圈舍x間，小圈舍y間，根據題意，得，整理得，所以，因為x，y都是整數，所以，解得，所以x的值可能是1，2，3，4，5，6，因為是整數，所以一定也是偶數，故x的值為2，4，6，y對應的值為7，4，1，故的值有3種可能，故答案為：3．【點睛】本題考查了二元一次方程的整數解，熟練掌握方程整數解的解題方法是解題的關鍵．6．已知方程組的解是，則方程組的解是_______．【答案】【分析】把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以9，通過換元替代的方法即可得到一個關于x，y的方程組，即可求解．【詳解】解：∵方程組的解是，∴將第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以9，得：∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了方程組的解，正確觀察已知方程的系數之間的關系是解題的關鍵．7．小明問數學老師的年齡，數學老師微笑著說：“我像你這么大的時候，你剛好3歲；你到我這么大時，我就42歲了，”那么數學老師今年的年齡是______歲．【答案】29【分析】設小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，根據題意可得等量關系：老師今年的年齡?學生今年的年齡=學生今年的年齡；老師42歲?老師今年的年齡=老師今年的年齡?學生今年的年齡，根據等量關系列出方程，即可解答．【詳解】解：設小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，由題意得：，解得：，故數學老師今年的年齡是29歲，故答案為：29．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．8．甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為則的值為________.【答案】0【分析】根據方程組的解的定義，解應滿足方程，解應滿足方程，將它們分別代入方程，，就可得到關于，的二元一次方程組，解得，的值，代入代數式即可．【詳解】甲看錯了①式中的系數，解得，但滿足式的解，所以，解得；同理乙看錯了式中的系數，解滿足式的解，所以，解得．把，代入，∴.【點睛】此題主要考查了二元一次方程組解的定義、解二元一次方程組的基本方法以及乘方的運算．9．年冬，重慶新冠疫情期間，某火鍋店舉辦“云端火鍋，共抗疫情”活動，將火鍋底料及菜品打包成“便利火鍋包”送至附近小區大門處，由居民自行前往提取．根據菜品種類分為A、、三類，三個品類成本價分別是元，元，元．且A類和類火鍋的標價一樣，該店對這三個品類全部打折銷售．若三個品類的銷量相同，則火鍋店能獲得的利潤，此時A品類利潤率為．若A、、三類銷量之比是，則火鍋店銷售A、、類便利火鍋包的總利潤率為_______．(利潤率)【答案】【分析】可設A、B、C三類的標價分別為x元，x元，y元，根據所給的條件可列出三元一次方程組，解方程組得出相應的x，y的值，從而可求解．【詳解】解：設A、B、C三類的標價分別為x元，x元，y元，依題意得：，解得：，故B類的利潤率為：，C類的利潤率為：，當A、B、C三類銷量之比是，則火鍋店銷售A、B、C類便利火鍋包的總利潤率為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，解答的關鍵是理解清楚題意找到等量關系列出方程組．10．已知，，則______．【答案】【分析】用將表示出來，代入式子，求解即可．【詳解】解：聯立，可得，即，解得將代入可得，故答案為：【點睛】此題考查了三元一次方程組的求解，解題的關鍵是正確用將表示出來，并代入代數式求解．11．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據了解2輛A型汽車、3輛B型汽車的進價共計80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進價共計95萬元．(1)求A、B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用180萬元購進以上兩種型號的新能源汽車(兩種型號的汽車均購買)，請你幫助該公司設計購買方案；(3)若該汽車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利8000元，銷售1輛B型汽車可獲利6000元，在(2)中的購買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)、兩種型號的汽車每輛進價分別為25萬元、10萬元；(2)方案一：購買2輛型汽車，購買13輛型汽車；方案二：購買4輛型汽車，購買8輛型汽車；方案三：購買6輛型汽車，購買3輛型汽車；(3)購買2輛型汽車，購買13輛型汽車獲利最大，最大值為94000元．【分析】(1)根據2輛型汽車、3輛型汽車的進價共計80萬元；3輛型汽車、2輛型汽車的進價共計95萬元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；(2)根據(1)中的結果和該公司計劃正好用180萬元購進以上兩種型號的新能源汽車(兩種型號的汽車均購買)，可以得到相應的二元一次方程，然后求解即可；(3)根據(2)中的結果和題意，可以分別計算出各種方案獲得的利潤，從而可以得到最大利潤．【詳解】(1)解：設種型號的汽車每輛進價為萬元，種型號的汽車每輛進價為萬元，由題意可得，解得，答：、兩種型號的汽車每輛進價分別為25萬元、10萬元；(2)解：設購買型號的汽車輛，種型號的汽車輛，由題意可得且，，解得或或，該公司共有三種購買方案，方案一：購買2輛型汽車，購買13輛型汽車；方案二：購買4輛型汽車，購買8輛型汽車；方案三：購買6輛型汽車，購買3輛型汽車；(3)解：當，時，獲得的利潤為：(元)，當，時，獲得的利潤為：(元)，當，時，獲得的利潤為：(元)，由上可得，最大利潤為94000元，購買2輛型汽車，購買13輛型汽車獲利最大，最大值為94000元．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、二元一次方程的應用，解題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．12．我們知道，數軸上表示數a的點A和表示數b的點B之間的距離AB可以用來表示．例如：表示5和1在數軸上對應的兩點之間的距離．(1)在數軸上，A、B兩點表示的數分別為a、b，且a、b滿足，則________，________，A、B兩點之間的距離為________．(2)點M在數軸上，且表示的數為m，且，求m的值．(3)若點M、N在數軸上，且分別表示數m和n，且滿足，，求M、N兩點的距離．【答案】(1)-1，4，5(2)或(3)4045【分析】(1)根據絕對值以及偶次方的非負性得出值，運用數軸上兩點之間的距離公式進行計算即可；(2)根據題意可知在數軸上的幾何意義是：表示有理數的點到及到的距離之和為；然后分時、時、時分別化簡絕對值，解方程即可；(3)根據題意可得，，然后分情況討論即可得出答案．【詳解】(1)解：，，解得：，A、B兩點之間的距離為，故答案為：-1，4，5；(2)在數軸上的幾何意義是：表示有理數的點到及到的距離之和為，當時，，解得：；當時，，無解，故此種情況不存在；當時，，解得：；綜上所述：或；(3)，，，，，，若，解得，此時M、N兩點的距離為；若，此方程無解；若，此方程無解；若，解得，此時，不符合題意；綜上所述：M、N兩點的距離為．【點睛】本題考查了絕對值的性質以及數軸上兩點之間的距離，根據絕對值的性質得出相應的方程是解本題的關鍵．13．閱讀感悟：有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的一個代數式的值．如以下問題：已知實數x、y滿足，，求和的值．本題常規思路是將①，②聯立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數式得到答案．常規思路計算量比較大，其實本題還可以仔細觀察兩個方程未知數系數之間的關系，通過適當變形整體求得代數式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組，則______，______；(2)試說明在關于x、y的方程組中，不論a取什么實數，的值始終不變；(3)某班級組織活動購買小獎品，買3支鉛筆、5塊橡皮、1本筆記本共需21元，買4支鉛筆、7塊橡皮、1本筆記本共需28元，則購買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需多少元？【答案】(1)－1；3(2)見解析(3)購買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需70元【分析】(1)①－②可求出，可求出；(2)證明為定值即可；(3)設鉛筆、橡皮、筆記本的單價分別為x，y，z元，根據題意列方程組，利用整體思想求出即可．【詳解】(1)解：①－②得：，得：，等式兩邊同時除以3得：，故答案為：－1；3．(2)證明：得：，等式兩邊同時除以2得：，得：，等式兩邊同時除以2得：，因此不論a取什么實數，的值始終不變．(3)解：設鉛筆、橡皮、筆記本的單價分別為x，y，z元，由題意得，得：，等式兩邊同時乘以2得：，得：，故，即購買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需70元．【點睛】本題考查利用整體思想解方程組，讀懂題意，熟練掌握并靈活運用整體思想是解題的關鍵．14．如果一個三位數滿足各數位上的數字都不為0，且百位數字比十位數字大1，則稱這個數為“階梯數”．若s，t都是“階梯數”，將組成s的各數位上的數字中最大數字作為十位數字，組成t的各數位上的數字中最小數字作為個位數字，得到一個新兩位數m叫做s，t的“萌數”，將組成s的各數位上的數字中最小數字作為十位數字，組成t的各數位上的數字中最大數字作為個位數字，得到一個新兩位數n叫做s，t的“曲數”，記F(s，t)＝2m＋n．例如：因為2﹣1＝1，6﹣1＝5，所以211和654都是“階梯數”，211和654的“萌數”m＝24，“曲數”n＝16，F(211，654)＝2×24＋16＝64.(1)判斷435(填“是”或“否”)為“階梯數”；(2)若s＝，t＝(其中2≤a＜5，6≤b＜9，且a，b都是整數)，且F(s，t)=167，求滿足條件的s、t的值；(3)若p、q都是“階梯數”，其中p＝100x＋10y＋3，q＝200＋10a＋b(其中2≤x≤3，1≤y≤8，2≤b≤8且a，b，x，y都是整數)，當F(p，132)＋F(q，824)＝157時，求F(p，q)的值．【答案】(1)是(2)436，765(3)75【分析】(1)按照階梯數的定義求解，即4?3=1，可知435是“階梯數”；(2)由題意知組成s的三個數中最大的為6，最小的為(a?1)，組成t的三個數中最大的為(b+1)，最小的為5，故有F(s，t)中m=65，n=10(a?1)+(b+1)，F(s，t)=2×65+10(a?1)+(b+1)=167，解得10a+b=46，由a，b的取值范圍可得滿足條件的a，b的值，進而表示出s、t即可；(3)根據定義、p，q的形式、x，y，a，b的取值范圍，表示組成p的三個數中最大與最小的的數，組成q的三個數中最大與最小的數，根據定義求解F(p，132)，F(q，824)，求解得到x+2b=8，根據取值范圍，最終確定x，b的值，進而得到p，q，然后計算F(p，q)的值即可．【解析】(1)解：∵4?3=1，∴435是“階梯數”．故答案為：是；(2)解：∵，∴組成s的三個數中最大的為6，最小的為．∵，∴組成t的三個數中最大的為，最小的為5．∴中，，，∴，整理得：．∵，，且都為整數，∴由a，b的取值范圍可得，∴滿足條件的s、t的值分別為：436，765；(3)解：由題意知，，∴．∵，∴組成p的三個數中最大的為3，最小的為．∵，∴組成q的三個數中最大的為b，最小的為1，∵132中最大的為3，最小的為1，824中最大的為8，最小的為2，∴F(p，132)中，；F(q，824)中，，∴F(p，132)；F(q，824)∴F(p，132)+F(q，824)，解得：，∵，，且都為整數，故可分類討論：①當x=2時，代入中，得：，解得：b=3；②將x=3時，代入中，得，解得：(舍)∴，∴p為213，組成p的三個數中最大的為3，最小的為1，q為213，組成q的三個數中最大的為3，最小的為1，∴F(213，213)中m=31，n=13，∴F(213，213)，即F(p，q)的值為75．【點睛】本題考查了新定義下的實數運算．解題的關鍵在于理解題意．15．2021年是中國歷史上的超級航天年，渝飛航模專賣店看準商機，8月初推出了“天問一號”和“嫦娥五號”兩款模型．每個“天問一號”模型的售價是90元，每個“嫦娥五號”模型的售價是100元．(1)若8月份銷售“天問一號”模型的數量比“嫦娥五號”模型數量多200個，銷售兩種模型的總銷售額為56000元，求銷售“天問一號”模型和“嫦娥五號”模型的數量各是多少？(2)該店決定從9月1日起推出“逐夢航天、仰望星空”優惠活動，9月份，每個“天問一號”模型的售價與8月份相同，銷量比8月份增加a%；每個“嫦娥五號”模型的售價在8月份的基礎上降價a%，銷量比8月份增加a%．①用含有a的代數式填表(不需化簡)：9月份的售價(元)9月份銷量“天問一號”模型90

“嫦娥五號”模型

②據統計，該店在9月份的銷售總額比8月份的銷售總額增加a%，求a的值．【答案】(1)銷售天問一號模型和嫦娥五號模型的數量各是400個與200個(2)①100(1-a%)；400(1+a%)；200(1+a%)；②10【分析】(1)首先設銷售“天問一號”模型和“嫦娥五號”模型的數量