高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______反常積分、定積分應(yīng)用（一）1、求無窮限積分（）。(過程略)2、求瑕積分。3、求由曲線與所圍成圖形的面積。求由曲線和直線，所圍成的平面圖形的面積。或（請自己畫草圖，體會兩種不同的求法）5、拋物線與其在點和處的切線所圍成的圖形的面積。解：過點的切線方程為，而過處的切線方程為故求的兩切線交點為，則所要求圖形的面為：6、設(shè)橢圓的參數(shù)方程為，求橢圓的面積。解：由橢圓的對稱性，橢圓的面積可表示為：（簡單的計算過程略，希望同學(xué)們自行補充完成）7、在上給定函數(shù)，問取何值時，右圖中曲邊三角形OACO與ADBA的面積之和最小？何時最大？高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______定積分綜合一、選擇題1、設(shè)函數(shù)在[]上連續(xù)，則曲線與直線所圍成的平面圖形的面積等于（C）（A）（B）（C）（D）2、設(shè)，，，則(D)（A）（B）（C）（D）3、設(shè)連續(xù)，，則(B)（A）（B）（C）（D）4、下列結(jié)果正確的是(B)（A）（B）（C）（D）5、設(shè)，則在上(B)（A）單調(diào)增加（B）單調(diào)減少（C）有增有減（D）無界6、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則=(A)（A）0（B）1（C）（D）若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，則是(B)（A）奇函數(shù)（B）偶函數(shù)（C）非奇非偶函數(shù)（D）既奇既偶函數(shù)8、下列反常積分發(fā)散的有(C)（A）（B）（C）（D）9、下列反常積分收斂的有(D)（A）（B）（C）（D）10、由曲線，（，）及直線，所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積是(B)（A）（B）（C）（D）二、填空題1、利用定積分的幾何意義，填寫下列定積分的結(jié)果：(1)=(2)-42、利用定積分的性質(zhì)，填寫下列各題：(1)651(2)3、設(shè)，則=。4、已知在上連續(xù)，且，且設(shè)，則-2。5、設(shè)由所確定，則=。6、設(shè)為連續(xù)函數(shù)且滿足，則。7、求下列定積分(1)=(2)(3)13(4)(5)0(6)(7)=0(8)=28、若反常積分收斂，>1。9、某廠生產(chǎn)的邊際成本函數(shù)，且固定成本，則總成本函數(shù);當產(chǎn)量由2個單位增至4個單位時，總成本的增量是。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______一階微分方程1、求的通解。解：原方程可化為積分，得（其中C’為任意常數(shù)）令，不難看出C為任意常數(shù)，故，方程的通解為（C為任意常數(shù)）求微分方程，滿足的特解。解：原方程可化為積分得(其中C’為任意常數(shù))即，令，不難看出C為任意常數(shù)，故原微分方程通解可表示為：，其中C為任意常數(shù)，當時，故滿足條件的方程的特解為3、求微分方程的通解。解：方程可化為：所以微分方程的通解。解：當x>0時，原微分方程可等價為齊次微分方程設(shè)則有對應(yīng)的通解為即（其中C為任意常數(shù)）當x<0,易得原微分方程的通解為同樣的形式。綜上所述，微分方程的通解為（其中C為任意常數(shù)）求微分方程，滿足的特解。解：令，則原微分方程變?yōu)榉e分得即（其中C為任意常數(shù)）由初始條件，代入上式，可求得C=2，所以原微分方程在此初始條件下的特解為求微分方程的通解。解：易知原微分方程對應(yīng)的齊次微分方程可表示成其通解為（其中C為任意常數(shù)）由常數(shù)變易法，令原微分方程的通解形式為，則，代入原微分方程，得，積分得(其中C為任意常數(shù))。于是，所求微分方程的通解為（其中C為任意常數(shù)）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，由所確定，求。解：對積分方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得，即且當時，代入上方程得故8、巳知生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本是，生產(chǎn)單位的邊際成本與平均單位成本之差為：，且當產(chǎn)量的數(shù)值等于時，相應(yīng)的總成本為，求總成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題二階微分方程1、求方程的通解。解：特征方程為，得特征根為所以方程的通解2、求微分方程的通解，其中常數(shù)。解：特征方程為：，求得特征根所以方程的通解3、求方程，，的特解。解：特征方程為，解得特征根為所以方程的通解為把，代入上二式，得故所求方程滿足條件的解為4、求微分方程的一個特解。5、求微分方程的通解。6、設(shè)函數(shù)求微分方程滿足初始條件的特解。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______微分方程綜合一、選擇題1、下列各微分方程中為一階線性微分方程的是（B）（A）（B）（C）（D）2、滿足方程的解是（B）（A）（B）（C）（D）3、已知，是方程的解，則(為任意常數(shù))（B）（A）是方程的通解（B）是方程的解，但不是通解（C）是方程的一個特解（D）不一定是方程的解．4、具有特解，的二階常系數(shù)齊次線性方程是（B）（A）（B）（C）（D）5、微分方程，，的特解是（C）（A）（B）（C）（D）6、微分方程的一個特解應(yīng)具有形式（式中為常數(shù)）（D）（A）（B）（C）（D）7、微分方程的特解應(yīng)設(shè)為（D）（A）（B）（C）（D）8、設(shè)微分方程有特解，則它的通解是（A）（A）（B）（C）（D）二、填空題1、微分方程的通解是2、微分方程，滿足的特解為3、微分方程的通解為4、微分方程的通解是5、微分方程的通解是6、具有特解和的二階常系數(shù)齊次線性方程為7、設(shè)為某方程的通解，其方程為8、方程的特解可設(shè)為.9、方程的特解可設(shè)為.10、方程的特解可設(shè)為.11、方程的特解可設(shè)為.注意:特解的表達式里面出現(xiàn)的常數(shù)，可說成“其中。。。。為常數(shù)”或者“其中。。。。為待定常數(shù)”兩者都可以。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______空間解析幾何、多元函數(shù)概念和性質(zhì)一．選擇題1、方程表示（D）（A）平面（B）柱面（C）球（D）拋物面2、函數(shù)的定義域（C）（A）（B）（C）（D）3、設(shè)，且當時，則=（D）（A）（B）（C）（D）4、若，則=（B）（A）（B）（C）（D）二．填空題1、方程表示表示空間的準線是xOy平面上的半徑為，原點為圓心的圓，母線平行于Oz軸的圓柱面2、若一球面以點為球心且過原點，則其方程為3、球面：的球心是點___________，半徑_____4_____；4、的定義域5、設(shè)函數(shù)，則6、已知，則=7、已知，則三．計算題1、解：當時，則原式＝22、解：原式＝3、解：原式＝＝(注意：如何應(yīng)用變量替換法，把二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的情形，利用一元函數(shù)的常見的等價無窮小來計算！考慮下什么情形下是安全的！)高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及微分1、設(shè)函數(shù)，求。解：求函數(shù)的全微分。解：由全微分公式則3、設(shè)，而，，求。解：由鏈式法則，（注意，最后的答案應(yīng)寫成u,v的形式，因要求的表達式默認是u，v的函數(shù)?。┰O(shè)，求及。解：由已知z=z(x,y),原方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)整理可求得因此故z的全微分可表示為：＝設(shè)，而，，求。解：(要特別注意上面式子z在不同地方表示不同自變量的函數(shù)，如t的函數(shù)，x,y的函數(shù)；這是把原來z是t的一元函數(shù)表示成z是二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的情形)設(shè)，求，其中有二階偏導(dǎo)數(shù)。解：（注：下標1,2的表示對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，參見課本p251例7.25）7、設(shè)，求。解法一：方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)整理得上式兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)8、設(shè)由所確定的函數(shù)，求。解：方程兩邊對x求偏導(dǎo)整理得因此高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______多元函數(shù)極值和最值求函數(shù)的駐點。解：解方程得駐點求函數(shù)的極值點。解：由得駐點，,,求二階偏導(dǎo)數(shù)對點:故(1/3,1/3)為極大值點。對點:，不是極值點.對點(0,1)和點(1,0)，，故(0,1)和(1,0)都不是極值點；3、求的極值。解法1）：由得駐點計算二階偏導(dǎo)數(shù)對應(yīng)地，，，故(0,0)是極大值點，極大值為(2,2)是極小值點，極小值為.解法2）：解：駐點為在處，，為極大值點，在處，不是極值點在處，不是極值點在處，，為極小點，4、設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要甲、乙兩種原料，已知甲種原料的價格為2，乙種原料的價格為1，而用單位的甲種原料和y單位的乙種原料可生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為，若該產(chǎn)品的單位價格為5，試求最大利潤．解：收入成本利潤＝，，，，故最大利潤為5、工廠的同一種產(chǎn)品分銷兩個獨立市場．兩個市場的需求情況不同，設(shè)價格函數(shù)分別為，，廠商的總成本函數(shù)為，,工廠以最大利潤為目標，求投放每個市場的產(chǎn)量，并確定此時每個市場的價格．解：總收入：總利潤：＝，不難驗證(8,2)為最大利潤對應(yīng)的極值點某廠為促銷產(chǎn)品需作兩種手段的廣告宣傳．當廣告費分別為，時，銷售量，若銷售產(chǎn)品所得利潤，兩種手段的廣告費共25(千元)，問如何分配兩種手段的廣告費才能使利潤最大？解：作函數(shù)求偏導(dǎo)得兩種廣告分別為15（千元）和10（千元）的時候使得利潤最大高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題二重積分1、設(shè)區(qū)域D由所圍成，求。解：原式(X型累次積分)＝＝原式(Y型累次積分)＝2、設(shè)是由直線，及所圍成的平面區(qū)域，求。解：原式（X型）＝3、設(shè)區(qū)域由軸與曲線（）所圍成，求。解：原式（Y型）＝4、設(shè)，為正方形：，計算。解：原式(矩形區(qū)域)＝=5、求積分。解：把原式Y(jié)型的累次積分轉(zhuǎn)化為X型即原式＝6、設(shè)積分區(qū)域由，及所圍成，求。解：原式＝＝＝7、設(shè)積分區(qū)域為，求。解：令原式＝＝＝8、計算，其中由，所圍成。解：令原式＝高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題多元函數(shù)微積分綜合一、選擇題1、設(shè)，則=（B）（A）（B）（C）（D）2、若，則等于（B）（A）（B）（C）（D）3、設(shè)均為可微函數(shù)，則（C）（A） （B）（C）（D）4、設(shè)積分區(qū)域是，則=（B）（A）1（B）2（C）4（D）85、設(shè)平面區(qū)域由與兩坐標軸所圍成，若，，，則它們之間的大小順序為（C）（A）（B）（Ｃ）（Ｄ）6、設(shè)是以為頂點的梯形所圍成的有界閉區(qū)域，是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分（B）（A）（B）（C）（D）7、二次積分的另一種積分次序是（A）(A)(B）(C)(D)8、的值等于（A）（A）（B）（C）（D）9、積分（C）（A）（B）（C）（D）積不出二、填空題1、設(shè)，則=2、設(shè)，則3、設(shè)，則=4、設(shè)，則=5、設(shè)，而，，則=6、設(shè)，則7、設(shè)是由與圍成的平面區(qū)域，若，則；若積分區(qū)域是，則=.8、若區(qū)域由，圍成，則二重積分化成先對，后對的二次積分為.9、=.10、設(shè)區(qū)域由，所確定，則=0.11、改換積分的次序=12、化二次積分為極坐標的二次積分=高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______常數(shù)項級數(shù)1、求級數(shù)的和。解：級數(shù)的部分和，此級數(shù)的和即.2、判斷級數(shù)的斂散性。3、判斷級數(shù)的斂散性。4、判斷級數(shù)的斂散性。5、判斷級數(shù)的斂散性。6、判斷級數(shù)的斂散性，并求.7、判斷級數(shù)的斂散性。（若收斂是絕對收斂還是條件收斂）解：由8、判斷級數(shù)的斂散性。（若收斂是絕對收斂還是條件收斂）高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______冪級數(shù)和函數(shù)的冪級數(shù)展開1、求級數(shù)的收斂域。求級數(shù)的收斂域。解：故級數(shù)收斂半徑為即當時，級數(shù)為，發(fā)散故級數(shù)收斂域為3、求級數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：由比值判別法可知當，即時，級數(shù)收斂，當或時，易知級數(shù)的收斂域為；又，逐項求導(dǎo)到4、求級數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：故級數(shù)收斂半徑為即當，級數(shù)為，發(fā)散；當，級數(shù)為，收斂；故級數(shù)的收斂域為而由得5、將函數(shù)展開為麥克勞林級數(shù)。6、將在點處展開為冪級數(shù)。7、將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。解：8、將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級姓名__________學(xué)號_______級數(shù)綜合一、選擇題1、若級數(shù)收斂，記，則（B）（A）（B）存在（C）可能不存在（D）為單調(diào)數(shù)列2、若收斂，則（B）（A）與必同時收斂（B）與可能同時收斂，也可能同時發(fā)散（C）必收斂（D）收斂，發(fā)散3、若級數(shù)收斂于，則收斂于（B）（A）（B）（C）（D）4、下列級數(shù)中，收斂的是（A）（A）（B）（C）（D）5、級數(shù)的收斂范圍是(D)（A） （B） （C） （D）6、下列級數(shù)中，收斂的是（D）（A）（B）（C）（D）7、在下列級數(shù)中，發(fā)散的是（D）（A）（B）（C）（D）8、下列級數(shù)中，收斂的是（D）（A）（B）（C）（D）9、下列級數(shù)中發(fā)散的是