2024屆聊城市重點中學高一數學第二學期期末聯考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，，，且三人錄取結果相互之間沒有影響，則他們三人中至少有一人被錄取的概率為（）A． B． C． D．2．《九章算術》是中國古代第一部數學專著，成于公元一世紀左右，系統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經驗公式：弧田面積=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差，現有圓心角為，弦長為米的弧田，其實際面積與按照上述經驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為（）平方米（其中，）A．14 B．16 C．18 D．203．在中，內角的對邊分別為，且，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．4．設偶函數定義在上，其導數為，當時，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．5．直線與、為端點的線段有公共點，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．6．從四件正品、兩件次品中隨機取出兩件，記“至少有一件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多有一件次品 B．兩件全是正品 C．兩件全是次品 D．至多有一件正品7．函數的單調增區間是()A． B．C． D．8．若函數的最小正周期為2，則（）A．1 B．2 C． D．9．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”10．設，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．和的等差中項為__________．12．已知向量（1，2），（x，4），且∥，則_____．13．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B，D兩點的距離為________.14．若6是-2和k的等比中項，則______.15．已知一圓臺的底面圓的半徑分別為2和5，母線長為5，則圓臺的高為_______.16．函數，的反函數為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知公差不為零的等差數列的前項和為，，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和為，求.18．的內角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，點在邊上，，，求的面積．19．在四棱錐中，，．（1）若點為的中點，求證：平面；（2）當平面平面時，求二面角的余弦值．20．已知數列為等差數列，且．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．21．已知等差數列滿足，前項和.（1）求的通項公式（2）設等比數列滿足，，求的通項公式及的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由題意，可先求得三個人都沒有被錄取的概率，接下來求至少有一人被錄取的概率，利用對立事件的概率公式，求得結果.【題目詳解】甲、乙、丙三人都沒有被錄取的概率為，所以三人中至少有一人被錄取的概率為，故選B.【題目點撥】該題考查的是有關概率的求解問題，關鍵是掌握對立事件的概率加法公式，求得結果.2、B【解題分析】

根據題意畫出圖形，結合圖形求出扇形的面積與三角形的面積，計算弓形的面積，再利用弧長公式計算弧田的面積，求兩者的差即可.【題目詳解】如圖所示，扇形的半徑為，所以扇形的面積為，又三角形的面積為，所以弧田的面積為，又圓心到弦的距離等于，所示矢長為，按照上述弧田的面積經驗計算可得弦矢矢，所以兩者的差為.故選：B.【題目點撥】本題主要考查了扇形的弧長公式和面積公式的應用，以及我國古典數學的應用問題，其中解答中認真審題，合理利用扇形弧長和面積公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.3、B【解題分析】

利用正弦定理化簡，由此求得的值.利用三角形內角和定理和兩角和與差的正弦公式化簡，由此求得的值，進而求得的值.【題目詳解】利用正弦定理化簡得，所以為銳角，且.由于，所以由得，化簡得.若，則，故.若，則，由余弦定理得，解得.綜上所述，，故選B.【題目點撥】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函數的基本關系式，考查三角形內角和定理，考查兩角和與差的正弦公式，屬于中檔題.4、C【解題分析】構造函數，則，所以當時，，單調遞減，又在定義域內為偶函數，所以在區間單調遞增，單調遞減，又等價于，所以解集為．故選C．點睛：本題考查導數的構造法應用．本題中，由條件構造函數，結合函數性質，可得抽象函數在區間單調遞增，單調遞減，結合函數草圖，即可解得不等式解集．5、D【解題分析】

由直線方程可得直線恒過點，利用兩點連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結果.【題目詳解】直線恒過點則，本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用直線與線段有交點確定直線斜率取值范圍的問題，關鍵是能夠確定直線恒過的定點，從而找到直線與線段有交點的臨界狀態.6、B【解題分析】

根據對立事件的概念，選出正確選項.【題目詳解】從四件正品、兩件次品中隨機取出兩件，“至少有一件次品”的對立事件為兩件全是正品.故選：B【題目點撥】本小題主要考查對立事件的理解，屬于基礎題.7、D【解題分析】

化簡函數可得y＝2sin（2x），把“2x”作為一個整體，再根據正弦函數的單調增區間，求出x的范圍，即是所求函數的增區間．【題目詳解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函數的單調增區間是[kπ，kπ]（k∈z），故選D．【題目點撥】本題考查了正弦函數的單調性應用，一般的做法是利用整體思想，根據正弦函數（余弦函數）的性質進行求解．8、C【解題分析】

根據可求得結果.【題目詳解】由題意知：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查余弦型函數最小正周期的求解問題，屬于基礎題.9、D【解題分析】

寫出所有等可能事件，求出事件“至少有一個黑球”的概率為，事件“都是紅球”的概率為，兩事件的概率和為，從而得到兩事件對立.【題目詳解】記兩個黑球為，兩個紅球為，則任取兩球的所有等可能結果為：，記事件A為“至少有一個黑球”，事件為：“都是紅球”，則，因為，所以事件與事件互為對立事件.【題目點撥】本題考查古典概型和對立事件的判斷，利用兩事件的概率和為1是判斷對立事件的常用方法.10、C【解題分析】

首先解兩個不等式，再根據充分、必要條件的知識選出正確選項.【題目詳解】由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分條件故選：C【題目點撥】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查絕對值不等式的解法，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設和的等差中項為，利用等差中項公式可得出的值.【題目詳解】設和的等差中項為，由等差中項公式可得，故答案為：.【題目點撥】本題考查等差中項的求解，解題時要充分利用等差中項公式來求解，考查計算能力，屬于基礎題.12、．【解題分析】

根據求得，從而可得，再求得的坐標，利用向量模的公式，即可求解.【題目詳解】由題意，向量，則，解得，所以，則，所以.【題目點撥】本題主要考查了向量平行關系的應用，以及向量的減法和向量的模的計算，其中解答中熟記向量的平行關系，以及向量的坐標運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.13、1.【解題分析】

取AC的中點E，連結DE，BE，可知DE⊥AC，由平面ACD⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，DE⊥BE，而，再結合ABCD是正方形可求出.【題目詳解】取AC的中點E，連結DE，BE，顯然DE⊥AC，因為平面ACD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥BE，而，所以，.【題目點撥】本題考查了空間中兩點間的距離，把空間角轉化為平面角是解決本題的關鍵.14、-18【解題分析】

根據等比中項的性質，列出等式可求得結果.【題目詳解】由等比中項的性質可得，，得.故答案為：-18【題目點撥】本題主要考查等比中項的性質，屬于基礎題.15、4【解題分析】

根據圓臺軸截面等腰梯形計算．【題目詳解】，設圓高為，由圓臺軸截面是等腰梯形得：，即，，故答案為：4.【題目點撥】本題考查求圓臺的高，解題關鍵是掌握圓臺的性質，圓臺軸截面是等腰梯形．16、【解題分析】

將函數變形為的形式，然后得到反函數，注意定義域.【題目詳解】因為，所以，則反函數為：且.【題目點撥】本題考查反三角函數的知識，難度較易.給定定義域的時候，要注意函數定義域.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；（2）．【解題分析】試題分析：（1）利用等差等比基本公式，計算數列的通項公式；（2）利用裂項相消法求和.試題解析：(1)設公差為，因為，，成等數列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦定理、三角函數恒等變換化簡已知可得：，結合范圍，可得，進而可求A的值．（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形內角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面積公式即可計算得解．【題目詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：，可得：，∵，∴，可得：，∵，∴，∴，可得：．（2）∵，點D在邊上，，∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，∴，可得：，∴，∴，∴．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、三角函數恒等變換的應用，三角形內角和定理及三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化能力，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）.【解題分析】

(I)結合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結合平面與平面性質,證明結論.(II)建立空間坐標系,分別計算平面PCD和平面PDB的法向量,結合向量數量積公式,計算余弦值,即可.【題目詳解】(Ⅰ)取的中點為，連結，.由已知得，為等邊三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵為的中點，為的中點，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)連結，交于點，連結，由對稱性知，為的中點，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.則(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.設二面角的大小為，則.【題目點撥】本道題考查了平面與平面平行判定和性質,考查了空間向量數量積公式,關鍵建立空間坐