2023-2024學年四川省內江市高三一模數學（理）模擬試題1.本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答第Ⅰ卷時，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；答第Ⅱ卷時，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規定的區域內作答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上.3.考試結束后，監考員將答題卡收回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在答題卡的指定位置.）1．已知是虛數單位，若，則的值是（

）A． B． C． D．12．集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．如圖是一個電子元件在處理數據時的流程圖：則下列正確的是（

）A．B．C．若，則或D．若，則或4．若實數，滿足，則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．65．已知，則（

）A．1 B．2 C．4 D．86．已知向量，，其中.若，則當恒成立時實數的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．7．已知函數，若.且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，且，則（

）A． B．C． D．9．隨著生活水平的提高，私家車已成為許多人的代步工具．某駕照培訓機構仿照北京奧運會會徽設計了科目三路考的行駛路線，即從A點出發沿曲線段B→曲線段C→曲線段D，最后到達E點．某觀察者站在點M觀察練車場上勻速行駛的小車P的運動情況，設觀察者從點A開始隨車子運動變化的視角為∠AMP（），練車時間為t，則函數＝的圖像大致為（）A． B．C． D．10．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．16種11．設函數是定義在上的奇函數，為的導函數，當時，，則使得成立的的取值范圍（

）A． B．C． D．12．已知函數有兩個零點，則a的最小整數值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．數列中，，，若，則.14．在二項式的展開式中，含的項的系數是．15．某汽車公司最近研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試.現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據大量的測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似地服從正態分布，用樣本平均數和標準差分別作為、的近似值，其中樣本標準差的近似值為50，現任取一輛汽車，則它的單次最大續航里程的概率為.（參考數據：若隨機變量，則，，）16．設函數，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點③在單調遞增④的取值范圍是其中所有正確結論的編號是.三?解答題（共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22?23題為選考題，考生根據要求作答.）（一）必考題：共60分.17．已知等差數列的前項和為，，.(1)求及；(2)若，求數列的前項和.18．某企業為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創新，準備加大研發資金投入，為了解年研發資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和十三五規劃發展10年期間年研發資金投入額和年盈利額數據進行分析，建立了兩個函數模型：，，其中、、、均為常數，為自然對數的底數，令，，經計算得如下數據：(1)請從相關系數的角度，分析哪一個模型擬合度更好？(2)根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程；（系數精確到0.01）(3)若希望2024年盈利額為800億元，請預測2024年的研發資金投入額為多少億元？（結果精確到0.01）附：相關系數，參考數據：，.回歸直線中：，.19．已知函數．（1）當時，求的極值；（2）若不等式恒成立，求整數a的最小值．20．的內角A，B，C所對的邊分別為．(1)求A的大小；(2)M為內一點，的延長線交于點D，___________，求的面積．請在下面三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題．①M為的重心，；②M為的內心，；③M為的外心，．21．已知函數.（1）當時，試判斷函數在上的單調性；（2）存在，，，求證.（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂?錯涂?漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計分.22．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．23．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正數．（1）求證：（2）是否存在實數m，使得關于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2對所有滿足題設條件的正實數a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．1．D【分析】根據復數的運算法則，得到，結合復數相等的條件，求得的值，即可求解.【詳解】由復數的運算法則，可得，因為，即，所以.故選：D.2．B【分析】利用數軸分析可得.【詳解】由數軸可知，當時滿足題意，即的取值范圍為.故選：B3．D【分析】根據流程圖的作用得，即可結合選項逐一代入求解.【詳解】根據流程圖可知，對于A，，故A錯誤，對于B，，故B錯誤，當時，或（舍去），當時，或（舍去），故當，則或，故C錯誤，D正確，故選：D4．C【分析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求的最大值．【詳解】作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）．設得，平移直線，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，此時最大．由，解得，即，代入目標函數得．即目標函數的最大值為故選：C．5．A對函數求導，并令代入可求得.將的值代入可得導函數，即可求得的值.【詳解】函數，則，令代入上式可得，則，所以，則，故選：A.本題考查了導數的定義與運算法則，在求導過程中注意為常數，屬于基礎題.6．B【分析】先求出向量的模，然后由數量積定義結合三角函數有界性可得的最大值，然后可解.【詳解】由題知，，所以，當同向時等號成立，所以，要使恒成立，只需，解得或.故選：B7．B【分析】畫出的圖象，數形結合可得，，然后利用基本不等式即可求出答案【詳解】的圖象如下：因為.且所以且所以，所以所以當且僅當，即時等號成立故選：B本題主要考查了對數函數的圖象和性質，考查了基本不等式的運用，用到了數形結合的思想，屬于中檔題.8．A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉化為關于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數關系，即可得出結論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數關系求值，熟記公式是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.9．D【分析】結合圖象，根據單調性確定選項.【詳解】觀察圖像，可知隨著時間的增加，剛開始角度為0并且在增加，排除A；在藍線中間一段變化不大，然后角度減少到達紅線段，故排除B、C，接著角度增加，后面又略減少到綠線段，之后一直增加，并且角度要大于前面幾段，故選:D．10．B【分析】分甲、乙都不在天和核心艙和甲、乙恰好有一人在天和核心艙兩種情況求解可得.【詳解】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有種；第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有種，然后排問天實驗艙與夢天實驗艙有種，所以，甲、乙恰好有一人在天和核心艙共有種.綜上，甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗共有種.故選：B11．A【分析】先構造新函數，通過求導，再結合已知條件可判斷出當時，，當時，，最后分情況解不等式可得答案.【詳解】令，，當時，，，原函數單調遞增，又因為，所以當時，，此時，，所以，當時，，此時，，所以，所以當時，，又因為是奇函數，當時，，求，分兩種情況求解，當時，，只需，解得，當時，，只需，解得所以的范圍是故選：A12．C【分析】先將函數化為，令，進而只需說明在R上有兩個零點，然后對函數求導，討論出函數的單調區間和最值，最后通過放縮法解決問題.【詳解】，設，，即函數在上單調遞增，易得，于是問題等價于函數在R上有兩個零點，，若，則，函數在R上單調遞增，至多有1個零點，不合題意，舍去；若，則時，，單調遞減，時，，單調遞增.因為函數在R上有兩個零點，所以，而，限定，記，，即在上單調遞增，于是，則時，，此時，因為，所以，于是時，.綜上：當時，有兩個交點，a的最小整數值為2.故選：C.本題有一定難度，首先這一步的變形非常重要，注意此種變形的運用；其次，運用放縮法說明函數時，用到了（需證明），進而得到，這種處理方法非常普遍，注意歸納總結.13．9【分析】令，由遞推公式可知為等比數列，然后可解.【詳解】令，則，因為，所以數列是以2為首項和公比的等比數列，故數列的通項公式為,所以，，所以，，得，故914．10【詳解】分析：先根據二項展開式的通項公式求含的項的項數，再確定對應項系數.詳解：，所以令得，即含的項的系數是點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.15．【分析】計算，確定，再根據正態分布的性質計算概率即可.【詳解】，故，.故16．①③④【分析】對①②可以通過作圖判別，對于④令，根據題意得到不等式，解出范圍即可，對于③證明出當時,即可.【詳解】已知在有且僅有5個零點，如圖，其圖象的右端點的橫坐標在上,此時在有且僅有3個極大值點,但在可能有2或3個極小值點,所以①正確,②不正確;令,且,在上有且僅有5個零點,在上有且僅有5個零點,,故④正確.當時,,又,,在上單調遞增.在上單調遞增,故③正確.故①③④關鍵點睛：令,利用整體思想將原函數轉化為來研究.(2)當時,的圖象可由的圖象經過平移、伸縮變換得到,的增、減區間可通過討論的增、減區間得到.17．(1)，(2)【分析】（1）根據等差數列基本量的計算可得公差和首項，即可求解，（2）根據裂項求和即可求解.【詳解】（1）設公差為，則由，可得：，解得，所以，（2），故18．(1)模型的擬合程度更好.(2)(3)【分析】（1）計算相關系數得到，得到答案.（2）根據公式計算，，得到回歸方程.（3）取，解方程得到答案.【詳解】（1）設和的相關系數為，和的相關系數為，，，，因此從相關系數的角度，模型的擬合程度更好.（2）先建立關于的線性回歸方程，由得，即，，，所以關于的線性回歸方程為，即.（3），即，，，解得.所以2024年的研發資金投入量的約為億元.19．（1），無極大值；（2）2.【分析】（1）將代入，求出導函數，利用導數與函數單調性之間的關系判斷函數的單調性，進而求出極值.（2）不等式等價于在上恒成立，設，利用導數求出的最大值即可求解.【詳解】解：（1）當時，，

令得（或舍去），∵當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，

∴，無極大值．

（2），即，即，∴，即，∴原問題等價于在上恒成立，設，則只需．

由，令，∵，∴在上單調遞增，

∵，∴存在唯一的，使得，

∵當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，∴，

∴即可．∴，∴，故整數a的最小值為220．(1)(2)答案見解析【分析】(1)利用正弦定理以及二倍角公式求解；(2)根據正弦定理，余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】（1）∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴（2）設外接圓半徑為，則根據正弦定理得，，若選①：∵M為該三角形的重心，則D為線段的中點且，又，∴，即，又由余弦定理得，即，解得，∴；若選②：∵M為的內心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．若選③：M為的外心，則為外接圓半徑，，與所給條件矛盾，故不能選③.21．（1）函數在上單調遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）求出，當時，的最小值大于零，則在上單調遞增；（2）令，，將轉化為，再構造函數利用導數證明最小值小于0.【詳解】（1）(方法一)當時，，，當時，，所以，當時，函數在上單調遞增.(方法二)當時，，，由，結合函數與圖象可知：當時，，，所以兩函數圖象沒有交點，且.所以當時，.所以，當時，函數在上單調遞增.（2）證明：不妨設，由得，，.設，則，故在上為增函數，，從而，，，要證只要證，下面證明：，即證，令，則，即證明，只要證明：，設，，則在單調遞減，當時，，從而得證，即，，即.關鍵點睛：雙變量問題可通過換元將兩個變量轉化為一個變量，構造函數，利用導數來證明不等式．22．（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為；（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數，結合三角函數的性質可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知|OP|=，=.由|OP|=