第十二講抽樣分布與參數(shù)估計復(fù)習(xí)：正態(tài)分布

在測驗記分方面的應(yīng)用1．以標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)表示考試成績

比較學(xué)生的考試成績時，使用原始分?jǐn)?shù)有其不合理之處：⑴．原始分制度沒有提示考生成績在考生團體成績中的位置。⑵．由于各科命題難度不同，導(dǎo)致各科原始分之間不能直接比較，造成分?jǐn)?shù)解釋上的困難。⑶．各科原始分相加不合理。采用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，有如下特點：⑴．標(biāo)準(zhǔn)分的大小，既表明考生水平的高低，也表明該生在考生團體中的位置的高低。⑵．各科標(biāo)準(zhǔn)分都表示考生各科在同一團體中的位置，可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分大小直接比較考生的各科成績水平。⑶．各科標(biāo)準(zhǔn)分的參照點（平均分為500分）和單位（1個標(biāo)準(zhǔn)差為100分）都一樣，具有可加性,克服了原始分的缺陷。例題：下表是兩名高考學(xué)生的成績，試分析哪一位考生的成績更好？科目原始成績?nèi)w考生Z分?jǐn)?shù)甲乙平均分標(biāo)準(zhǔn)差甲乙語文858970101.51.9政治70626551-0.6外語6872698-0.1250.375數(shù)學(xué)53405060.5-1.67理化7287758-0.3751.5Σ3483502.51.505目前我國一些省在高考中采用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)表示考生的成績，為了使分?jǐn)?shù)更適合一般習(xí)慣，對標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)進一步做轉(zhuǎn)換：2．確定等級評定的人數(shù)如要將某種能力的分?jǐn)?shù)分成等距的幾個等級，在確定各等級人數(shù)時，可將正態(tài)分布基線上Z＝－3至Z＝＋3之間6個標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成相等的幾份，然后查表求出各段Z值之間的面積，再乘以總?cè)藬?shù)，即為各等級人數(shù)。3．品質(zhì)評定數(shù)量化在心理與教育研究中,常常遇到等級評定的結(jié)果。但是不同評定者的評定結(jié)果往往不一致，無法綜合他們的評定結(jié)果，而且等級分?jǐn)?shù)不是等距數(shù)據(jù)，不同事物的評定結(jié)果不能直接比較。將品質(zhì)評定的結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)量結(jié)果，就可解決這些問題。一、抽樣分布區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布：總體分布：總體內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布抽樣分布：某一種統(tǒng)計量的概率分布1.抽樣分布的概念抽樣分布是從同一總體內(nèi)抽取的不同樣本的統(tǒng)計量的概率分布。抽樣分布是一個理論的概率分布，是統(tǒng)計推斷的依據(jù)。2．平均數(shù)抽樣分布的幾個定理

⑴．從總體中隨機抽出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。⑵．容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差（即平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤），等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n的平方根。（8．1）（8．2）⑶．從正態(tài)總體中，隨機抽取的容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。⑷．雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體μ和σ的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。二．標(biāo)準(zhǔn)誤某種統(tǒng)計量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。標(biāo)準(zhǔn)誤用來衡量抽樣誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計推斷可靠性的指標(biāo)。平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計算1．總體正態(tài)，σ已知（不管樣本容量大小），或總體非正態(tài)，σ已知，大樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為：平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計算2．總體正態(tài)，σ未知（不管樣本容量大小），或總體非正態(tài)，σ未知，大樣本平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值為（8．３）三．平均數(shù)離差統(tǒng)計量的分布由樣本的平均數(shù)對總體平均數(shù)進行估計，首先要了解平均數(shù)離差統(tǒng)計量的分布，才能根據(jù)一定的概率，由樣本的平均數(shù)對總體的平均數(shù)做出估計。1．總體正態(tài)，σ已知（不管樣本容量大小），

或總體非正態(tài)，σ已知，大樣本平均數(shù)離差的的抽樣分布呈正態(tài)分布（8．4）2．總體正態(tài)，σ未知（不管樣本容量大小），

或總體非正態(tài)，σ未知，大樣本平均數(shù)離差的的抽樣分布呈t分布（8．5）t分布的特點⑴．形狀與正態(tài)分布曲線相似⑵．t分布曲線隨自由度不同而有一簇曲線⑶．自由度的計算：自由度是指能夠獨立變化的數(shù)據(jù)個數(shù)。⑷．查t分布表時，需根據(jù)自由度及相應(yīng)的顯著性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)還是雙側(cè)。3．總體σ未知，大樣本時的近似處理樣本容量增大后，平均數(shù)的抽樣分布接近于正態(tài)分布，可用正態(tài)分布近似處理：（8．6）四．總體參數(shù)估計（一）總體參數(shù)估計原理根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計叫作總體參數(shù)估計。總體參數(shù)估計分為點估計和區(qū)間估計。由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的標(biāo)準(zhǔn)差即為點估計；而由樣本的平均數(shù)估計總體平均數(shù)的取值范圍則為區(qū)間估計。1.良好的點估計量應(yīng)具備的條件無偏性

如果一切可能個樣本統(tǒng)計量的值與總體參數(shù)值偏差的平均值為0，這種統(tǒng)計量就是總體參數(shù)的無偏估計量。有效性

當(dāng)總體參數(shù)不止有一種無偏估計量時，某一種估計量的一切可能樣本值的方差小者為有效性高，方差大者為有效性低。

良好的點估計量應(yīng)具備的條件一致性當(dāng)樣本容量無限增大時，估計量的值能越來越接近它所估計的總體參數(shù)值，這種估計是總體參數(shù)一致性估計量。充分性一個容量為n的樣本統(tǒng)計量,應(yīng)能充分地反映全部n個數(shù)據(jù)所反映的總體的信息。2.區(qū)間估計以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布（概率分布）為理論依據(jù)，按一定概率的要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍，稱為總體參數(shù)的區(qū)間估計。對總體參數(shù)值進行區(qū)間估計，就是要在一定可靠度上求出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下限。⑴要知道與所要估計的參數(shù)相對應(yīng)的樣本統(tǒng)計量的值，以及樣本統(tǒng)計量的理論分布；⑵要求出該種統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤；⑶要確定在多大的可靠度上對總體參數(shù)作估計，再通過某種理論概率分布表，找出與某種可靠度相對應(yīng)的該分布橫軸上記分的臨界值，才能計算出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下限。置信區(qū)間置信度，即置信概率，是作出某種推斷時正確的可能性（概率）。置信區(qū)間，也稱置信間距（confidenceinterval,CI）是指在某一置信度時，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度。置信區(qū)間是帶有置信概率的取值區(qū)間。顯著性水平對總體平均數(shù)進行區(qū)間估計時，置信概率表示做出正確推斷的可能性，但這種估計還是會有犯錯誤的可能。顯著性水平(significancelevel)就是指估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時，可能犯錯誤的概率，用符號α表示。

P＝１-α３.平均數(shù)區(qū)間估計的基本原理通過樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù),首先假定該樣本是隨機取自一個正態(tài)分布的母總體(或非正態(tài)總體中的n＞30的樣本)，而計算出來的實際平均數(shù)是無數(shù)容量為n的樣本平均數(shù)中的一個。根據(jù)樣本平均數(shù)的分布理論，可以對總體平均數(shù)進行估計，并以概率說明其正確的可能性。（二）總體平均數(shù)的區(qū)間估計1．總體平均數(shù)區(qū)間估計的基本步驟①．根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)，計算樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；②．計算平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤；③．確定置信概率或顯著性水平；④．根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布確定查何種統(tǒng)計表；⑤．計算置信區(qū)間；⑥．解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。2．平均數(shù)區(qū)間估計的計算①總體正態(tài)，σ已知（不管樣本容量大小），或總體非正態(tài)，σ已知，大樣本平均數(shù)離差的的抽樣分布呈正態(tài)，平均數(shù)的置信區(qū)間為：（9．1）例題1：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來標(biāo)準(zhǔn)差為6.25厘米，現(xiàn)從該校隨機抽27名10歲女童，測得平均身高為134.2厘米，試估計該校10歲全體女童平均身高的95％和99％置信區(qū)間。解：10歲女童的身高假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機樣本，并已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為σ=6.25。無論樣本容量大小，一切樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布。于是可用正態(tài)分布來估計該校10歲女童身高總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。其標(biāo)準(zhǔn)誤為當(dāng)Ｐ＝0.95時，Ｚ＝±1.96因此，該校10歲女童平均身高95％的置信區(qū)間為：當(dāng)Ｐ＝0.99時，Ｚ＝±2.58因此，該校10歲女童平均身高99％的置信區(qū)間為：②總體正態(tài)，σ未知（不管樣本容量大小），

或總體非正態(tài)，σ未知，大樣本平均數(shù)離差的抽樣分布為t分布，平均數(shù)的置信區(qū)間為：（9．2）例題2：從某小學(xué)三年級隨機抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分為28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。試估計該校三年級學(xué)生閱讀能力總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。解：12名學(xué)生閱讀能力的得分假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機樣本，而總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，樣本的容量較小（ｎ=12<30），在此條件下，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計量服從呈t分布。于是需用t分布來估計該校三年級學(xué)生閱讀能力總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。由原始數(shù)據(jù)計算出樣本統(tǒng)計量為當(dāng)Ｐ＝0.95時，因此，該校三年級學(xué)生閱讀能力得分95％的置信區(qū)間為：當(dāng)Ｐ＝0.99時，因此，該校三年級學(xué)生閱讀能力得分99％的置信區(qū)間為：③總體正態(tài)，σ未知，大樣本

平均數(shù)的抽樣分布接近于正態(tài)分布，用正態(tài)分布代替t分布近似處理：（9．3）例題3：從某年高考中隨機抽取102份作文試卷，算得平均分?jǐn)?shù)為26，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，試估計全部考生作文成績95％和99％的置信區(qū)間。解：學(xué)生高考分?jǐn)?shù)假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機樣本，而總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計量呈t分布。但是由于樣本容量較大（n=120>30），t分布接近于正態(tài)分布，因此可用正態(tài)分布近似處理。其標(biāo)準(zhǔn)誤為當(dāng)Ｐ＝0.95時，Ｚ＝±1.96因此，該年全部考生作文成績95％的置信區(qū)間為：當(dāng)Ｐ＝0.99時，Ｚ＝±2.58因此，該年全部考生作文成績99％的置信區(qū)間為：④總體非正態(tài)，小樣本

不能進行參數(shù)估計，即不能根據(jù)樣本分布對總體平均數(shù)進行估計。五、假設(shè)檢驗的基本原理利用樣本信息，根據(jù)一定概率，對總體參數(shù)或分布的某一假設(shè)作出拒絕或保留的決斷，稱為假設(shè)檢驗。1．假設(shè)假設(shè)檢驗一般有兩互相對立的假設(shè)。H0：零假設(shè)，或稱原假設(shè)、虛無假設(shè)（nullhypothesis）、解消假設(shè)；是要檢驗的對象之間沒有差異的假設(shè)。H1：備擇假設(shè)（alternativehypothesis），或稱研究假設(shè)、對立假設(shè)；是與零假設(shè)相對立的假設(shè)，即存在差異的假設(shè)。進行假設(shè)檢驗時，一般是從零假設(shè)出發(fā)，以樣本與總體無差異的條件計算統(tǒng)計量的值，并分析計算結(jié)果在抽樣分布上的概率，根據(jù)相應(yīng)的概率判斷應(yīng)接受零假設(shè)、拒絕研究假設(shè)還是拒絕零假設(shè)、接受研究假設(shè)。2．小概率事件樣本統(tǒng)計量的值在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于或等于事先規(guī)定的水平，這時就認(rèn)為小概率事件發(fā)生了。把出現(xiàn)概率很小的隨機事件稱為小概率事件。當(dāng)概率足夠小時，可以作為從實際可能性上，把零假設(shè)加以否定的理由。因為根據(jù)這個原理認(rèn)為：在隨機抽樣的條件下，一次實驗竟然抽到與總體參數(shù)值有這么大差異的樣本，可能性是極小的，實際中是罕見的，幾乎是不可能的。3．顯著性水平統(tǒng)計學(xué)中把拒絕零假設(shè)的概率稱為顯著性水平，用α表示。顯著性水平也是進行統(tǒng)計推斷時，可能犯錯誤的概率。常用的顯著性水平有兩個：α＝0.05和α＝0.01。在抽樣分布曲線上，顯著性水平既可以放在曲線的一端（單側(cè)檢驗），也可以分在曲線的兩端（雙側(cè)檢驗）。圖9－1正態(tài)抽樣分布上α＝0.05的三種不同位置αα4．假設(shè)檢驗中的兩類錯誤及其控制對于總體參數(shù)的假設(shè)檢驗，有可能犯兩種類型的錯誤，即α錯誤和β錯誤。表9－1假設(shè)檢驗中的兩類錯誤H0為真H0為假拒絕H0α錯誤正確接受H0正確β錯誤為了將兩種錯誤同時控制在相對最小的程度，研究者往往通過選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平而對α錯誤進行控制，如α＝0.05或α＝0.01。對β錯誤，則一方面使樣本容量增大，另一方面采用合理的檢驗形式（即單側(cè)檢驗或雙側(cè)檢驗）來使β誤差得到控制。在確定檢驗形式時，凡是檢驗是否與假設(shè)的總體一致的假設(shè)檢驗，α被分散在概率分布曲線的兩端，因此稱為雙側(cè)檢驗。雙側(cè)檢驗的假設(shè)形式為：H0：μ＝μ0，H