天津市第三中學2023~2024學年度第一學期高二年級期中檢測試卷（2023.11）數學第I卷選擇題一、選擇題（共9題，每題4分，共36分）1.設是橢圓上一點，、是橢圓的焦點，則三角形的周長等于（）A.26 B.36 C.50 D.52【答案】B【解析】【分析】根據橢圓的定義可知三角形的周長為，再由橢圓的方程可得.【詳解】由得，，所以，，三角形的周長為，故選：B2.拋物線x2=－4y的準線方程為（）A.x＝1 B.x＝2 C.y＝1 D.y＝2【答案】C【解析】【分析】根據拋物線的方程即可求出準線方程.【詳解】，，拋物線的準線方程為.故選：C.3.雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：雙曲線方程變形為焦點為考點：雙曲線方程及性質4.設O為坐標原點，直線與拋物線C:交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出兩點坐標，根據垂直得到方程，求出，得到答案.【詳解】令中得，解得，不妨設，因為OD⊥OE，所以，解得，故C標準方程為.故選：B5.以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的焦點和頂點，即可由此求出橢圓方程.【詳解】雙曲線焦點為，頂點為，設所求橢圓方程為，則由題可得，則，故所求橢圓方程為.故選：A.6.設圓與:外切并與:內切，則的圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】B【解析】【分析】根據圓的方程，分別找出圓心，的坐標，以及兩圓的半徑，再根據內切，外切中圓半徑的關系，找到相關等式，即可得出動點M的軌跡屬性，根據已知條件即可求出軌跡方程.【詳解】解:由圓:，圓心，，圓:，圓心，半徑，設動圓圓心，半徑為，根據題意可得整理得，所以圓心的軌跡是以，為焦點，，的橢圓，，動圓圓心的的軌跡方程，所以軌跡為橢圓.故選：B7.設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程．【詳解】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，雙曲線的幾何性質，以及直線與直線的位置關系的應用，屬于基礎題．8.是橢圓兩個焦點，為橢圓上一點，且，則三角形的面積為（）A.7 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由橢圓的定義結合余弦定理求得，再由三角形面積公式求解即可.【詳解】由已知，，設，則，由余弦定理得，解得，則三角形的面積.故選：C．9.設雙曲線=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【詳解】雙曲線＝1的一條漸近線設為y＝x，由方程組消去y，得x2－x＋1＝0，由題意知該方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e＝＝＝＝.第II卷非選擇題二、填空題（共6題，每題4分，共24分）10.若焦點在x軸上的橢圓的焦距為4，則___________．【答案】4【解析】【分析】根據橢圓中基本量的關系得到關于m的方程，解方程得到m的值.【詳解】因為橢圓的焦點在x軸上且焦距為4，所以，解得.故答案為：4.11.拋物線上一點到焦點的距離為8，則點到軸的距離為_______．【答案】7【解析】【分析】根據拋物線的定義即可求解.【詳解】設，拋物線的焦點為，則由拋物線的定義可得，所以，故點到軸的距離為7，故答案為：7.12.雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點坐標是，則該雙曲線的標準方程是__________．【答案】【解析】【分析】根據已知條件求得，從而求得雙曲線的標準方程.【詳解】由于雙曲線的一個焦點坐標是，所以且雙曲線的焦點在軸，設雙曲線的標準方程為，依題意，解得，所以雙曲線的標準方程為.故答案為：13.拋物線關于直線對稱之后的拋物線焦點坐標是___________．【答案】【解析】【分析】根據拋物線方程得到焦點坐標為，然后求對稱點即可.【詳解】拋物線關于直線對稱則兩拋物線的焦點也關于直線對稱，拋物線的焦點坐標為，設對稱后的拋物線的焦點坐標為，則，解得，所以拋物線關于直線對稱后的拋物線焦點坐標為.故答案為：.14.如圖，，分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，是邊長為2的正三角形，則的值是________．【答案】【解析】【分析】根據是邊長為2的正三角形可得，同時可得到點P的坐標，將點P的坐標代入橢圓方程，再結合就是可以求出的值.【詳解】因為是邊長為2的正三角形可得，同時可得到點P的坐標為，因為點P在橢圓上，所以，又因為，即，所以由方程組，解得.故答案為：15.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于兩點,為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,的面積為,則_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：有得所以雙曲線的漸近線為又拋物線的準線方程為聯立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得在中，到的距離為..考點：雙曲線與拋物線的幾何性質.三、解答題（共4題，每題10分，共40分）16.已知兩圓和.（1）分析兩圓位置關系并確定公切線數量；（2）求公切線所在直線方程.【答案】（1）兩圓內切，只有一條公切線（2）【解析】【分析】（1）通過兩個圓的圓心距與兩圓半徑之間的關系判斷兩個圓的位置關系，進而判斷兩個圓的公切線條數（2）由（1）可知兩個圓是內切關系，進而將兩個圓直接作差即可得到兩個圓的公切線【小問1詳解】，圓心，半徑；，圓心，半徑，，所以兩圓內切，只有一條公切線.【小問2詳解】與，兩圓方程相減得：，化簡即為：，所以兩圓公切線直線方程：.17.已知橢圓的長軸長為，焦點是、，點到直線的距離為，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）求線段的長．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據題意及橢圓方程的關系求解即可；（2）聯立橢圓方程和直線方程，利用韋達定理和兩點間距離公式求解即可.【小問1詳解】由已知可得且，解得，則，所以橢圓方程：.【小問2詳解】由已知可得直線斜率，方程為，聯立得，設，，則，，則，所以線段的長為.18.已知雙曲線與橢圓有公共的焦點，它們的離心率之和為．（1）求雙曲線的方程；（2）過點的直線l與雙曲線交于線段恰被該點平分，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據橢圓方程求出橢圓的離心率，再根據橢圓和雙曲線離心率之和為求出雙曲線的離心率，依據橢圓和雙曲線有公共焦點，以及雙曲線基本量的關系就可以得到雙曲的方程.（2）先考慮直線l斜率不存在時，點不為的中點，所以設直線l的方程為，將直線和雙曲線聯立得到關于x的一元二次方程，利用根與系數關系結合的中點為列方程，解方程得到k的值就可以得到直線l的方程.【小問1詳解】設橢圓和雙曲線的離心率分別是和，橢圓的方程為，雙曲線方程為；橢圓中，即，，，由已知，所以；又因為雙曲線與橢圓有公共的焦點，所以；因此，雙曲線中，所以即，又，故雙曲線方程為.【小問2詳解】若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，根據橢圓的對稱性可知此時的中點為而不是點，故直線l的斜率一定存在；因此，設直線l的方程為即，，，將直線和雙曲線的方程聯立，整理得，得，又因為為中點，所以，即，所以，解得，將代入方程即，此時判別式，方程有兩個實數根，所以直線l的方程為，即.19.設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設上兩點，關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ），或.【解析】【詳解】試題分析：由于為拋物線焦點，到拋物線的準線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程；則，設直線方程為設，解出兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯立解出點坐標，寫出所在直線方程，求出點的坐標，最后根據的面積為解方程求出，得出直線的方程.試題解析：（Ⅰ）解：設坐標為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（Ⅱ）解：設直線的方程為，與直線的方程聯立，可得點，故.將與聯立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可學*科.網得直線的方程為，令，解得，故.所以.