秘密★啟用前資陽市高中2021級第二次診斷性考試數學（文科）本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?座位號和準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.復數，則（）A.1B.C.2D.43.已知向量，則（）A.10B.18C.D.4.已知命題，則為（）A.B.C.D.5.甲?乙兩人進行了10輪的投籃練習，每輪各投10個，現將兩人每輪投中的個數制成如下折線圖：下列說法正確的是（）A.甲投中個數的平均數比乙投中個數的平均數小B.甲投中個數的中位數比乙投中個數的中位數小C.甲投中個數的標準差比乙投中個數的標準差小D.甲投中個數的極差比乙投中個數的極差大6.執行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2023，則輸出的值為（）A.B.C.D.7.已知數列是等差數列，數列是等比數列，若，，則（）A.2B.C.D.8.已知為雙曲線的左?右焦點，點在上，若，的面積為，則的方程為（）A.B.C.D.9.若直線與曲線相切，則（）A.B.C.D.10.函數的圖象經過點，將該函數的圖象向右平移個單位長度后，所得函數圖象關于原點對稱，則的最小值是（）A.B.C.3D.11.在正方體中，下列結論正確的是（）A.與所成的角為B.與所成的角為C.與所成的角為D.與所成的角為12.已知為坐標原點，是橢圓的左?右焦點，分別為的左?右頂點.為上一點，且軸，直線與軸交于點，直線與交于點，直線與軸交于點.若，則的離心率為（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數為偶函數，則___________.14.已知實數滿足則的最大值為___________.15.在正四棱臺內有一個球與該四棱臺的每個面都相切，若，則該四棱臺的高是___________.16.《九章算術》有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數為前兩日所織尺數之積.則第十日所織尺數為？譯為：現有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數為第1天和第2天所織布尺數的積.問第10天織布尺數為___________.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生依據要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）某工注重生產工藝創新，設計并試運行了甲?乙兩條生產線.現對這兩條生產線生產的產品進行評估，在這兩條生產線所生產的產品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結果（“優”或“良”）制成如下所示列聯表：良優合計甲生產線4080120乙生產線80100180合計120180300（1）通過計算判斷，是否有的把握認為產品質量與生產線有關系？（2）現對產品進行進一步分析，在測評結果為“良”的產品中按生產線用分層抽樣的方法抽取了6件產品.若在這6件產品中隨機抽取2件，求這2件產品中至少有一件產自于甲生產線的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中.18.（12分）記的內角的對邊分別為，若為銳角三角形，，__________，求面積的取值范圍.從①；②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19.（12分）已知為坐標原點，過點的動直線與拋物線相交于兩點.（1）求；（2）在平面直角坐標系中，是否存在不同于點的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20.（12分）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.（1）求證：；（2）若，在棱上是否存在一點，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.21.（12分）已知函數.（1）若，判斷在上的單調性，并說明理由；（2）當，探究在上的極值點個數.（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）在直角坐標系中，已知曲線（其中），曲線（為參數，），曲線（為參數，）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求的極坐標方程；（2）若曲線與分別交于兩點，求面積的最大值.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）設函數.（1）解不等式；（2）令的最小值為，正數滿足，證明：.文科數學參考解答及評分參考一?選擇題1.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設計集合運算問題，主要考查一元二次不等式的解法，集合的交集運算等基礎知識；考查運算求解能力，數學運算素養.【答案】B【解析】由，所以.2.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設計復數運算問題，主要考查復數的除法?加法運算，復數模的概念等基礎知識；考查運算求解能力.【答案】C【解析】由，所以.3.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設計平面向量運算問題，主要考查向量的加減法運算，數量積運算等基礎知識；考查運算求解能力，數學運算素養.【答案】A【解析】.4.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，主要考查全稱量詞與存在量詞的意義?含有一個量詞的命題的否定等基礎知識；考查數學抽象等數學核心素養.【答案】D【解析】依題意，對有存在量詞的命題的否定為.5.【考查意圖】本小題設置生活實踐情境，主要考查直方圖?統計量的含義等基礎知識；考查統計與概率等數學思想；考查直觀想象?數學建模等數學核心素養.【答案】C【解析】依直方圖可知，甲投中個數的平均數?中位數分別比乙投中個數的平均數?中位數大，錯誤；甲投中個數的標準差比乙投中個數的平標準差小，C正確；甲投中個數的極差比乙投中個數的極差小，錯誤.6.【考查意圖】本小題設置數學應用情境，設計程序框圖問題，主要考查對程序框圖以及循環結構的理解和應用等基礎知識；考查讀圖能力和邏輯思維能力；考查邏輯推理素養.【答案】D【解析】運行程序，輸入，則，滿足，滿足，滿足，不滿足，故輸出的.7.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設計等差數列和等比數列問題，主要考查等差數列和等比數列的性質等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力.【答案】C【解析】由是等差數列，得，所以，由得，所以，所以.8.【考查意圖】本小題設置課程學習情境，設計求雙曲線標準方程的問題，考查雙曲線的定義，解三角形及三角形面積等基礎知識，考查化歸與轉化的數學思想，考查邏輯推理與數學運算等數學素養.【答案】B【解析】設，由得，又因為，所以，故的面積為，即，故的方程為.9.【考查意圖】本小題設置有關切線的數學課程學習，考查導數的幾何意義?導數的應用等基礎知識，考查運算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉化等思想方法.【答案】C【解析】設與曲線相切于點，則切線方程為，即，則，解得.10.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設置三角函數圖象問題，主要考查三角函數圖象及其性質等基礎知識；考查化歸與轉化能力?運算求解能力；考查數形結合思想，數學運算核心素養.【答案】A【解析】由，得，因為，所以，所以，將該函數圖象向右平移個單位長度后所得函數圖象對應的解析式為.由已知得，函數為奇函數，所以，解得，又，所以的最小值為.11.【考查意圖】本小題設置課程學習情境，設計空間幾何問題，主要考查正方體中直線與直線的位置關系?線線角的計算等基礎知識與基本技能；考查空間想象能力，考查化歸與轉化等思想，考查邏輯推理?直觀想象等數學素養.【答案】A【解析】如圖，由正方體的性質，可得為正三角形，所以為與所成的角，等于選項正確；同理為與所成的角，等于選項錯誤；由平面，則，B選項錯誤；由，為與所成的角，在Rt中，，顯然選項錯誤.12.【考查意圖】本小題設置課程學習情境，設計與橢圓有關的綜合問題，考查利用簡單圖形的幾何性質求解點的坐標，線段長度等基礎知識，考查化歸轉化?數形結合等思想方法，考查直觀想象?數學運算等數學素養.【答案】B【解析】設，由題知，不妨設，又因為，所以即，則.二?填空題13.【考查意圖】本小題設置數學學科學習情境，考查函數的奇偶性等基礎知識；考查化歸與轉化等數學思想；考查邏輯推理等數學核心素養.【答案】0【解析】因為為偶函數，所以，即，所以恒成立，所以.14.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情景，主要考查線性規劃問題；查數形結合思想；考查直觀想象?數學運算素養.【答案】11【解析】不等式組所表示的平面區域是由連接所構成的三角形及內部區域，當所表示的直線過點時，的值最大，其最大值為11.15.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設計多面體的內切球問題；主要考查正四棱臺的底面與高?斜高等基礎知識；考查數形結合?化歸與轉化等思想方法；考查直觀想象?邏輯推理?數學運算等數學素養.【答案】【解析】如圖，取球心?球與上下底面的切點，球與左?右側面的切點確定的截面.易得，故，從而四棱臺的高.16.【考查意圖】本小題設置數學文化情境，設計數列應用問題，主要考查等差數列公差?數列通項公式等基礎知識；考查運算求解能力，閱讀理解能力，推理論證能力；考查數學文化，邏輯推理素養，數學運算素養.【答案】21【解析】設每日所織尺數為正項等差數列，公差為，由已知得即解得或（不符合題意，舍去），所以.三?解答題17.【考查意圖】本小題設置生活實踐情境，主要考查獨立性檢驗的基本思想及其初步應用?概率等基礎知識；考查統計與概率等數學思想；考查數學運算?數據處理?數學建模等數學核心素養.【解析】（1）由題，，因此，有的把握認為產品質量與生產線有關系.（2）記這6件產品中產自于甲生產線的有2件，記為，產自于乙生產線的有4件，記為.從這6件產品中隨機抽取2件的所有基本事件有：，，，共15個.其中，至少有一件產自于甲生產線的基本事件有9個.所以，抽取的2件產品中至少有一件產自于甲生產線的概率為即.18.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設計結構不良問題，主要考查正弦定理，三角形面積公式，銳角三角形等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力；考查數形結合思想，化歸與轉化思想，數學運算素養，邏輯推理素養.【解析】若選①，由正弦定理得，所以，，所以，因為為銳角三角形，所以且，所以，所以，所以，故銳角面積的取值范圍為.若選②，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，所以且，所以，所以，所以.故銳角面積的取值范圍為.19.【考查意圖】本小題設置課程學習情境，設計直線與拋物線的綜合問題，主要考查直線與拋物線的交點坐標?拋物線的對稱性等基礎知識，考查特殊與一股?化歸與轉化等數學思想，考查類比推理及數學運算素養.【解析】（1）由題知，直線與軸不垂直，故可設直線的方程為.由得.顯然，，于是.所以.（2）當直線軸時，，故當時，點軸.當直線與軸不垂直時，由拋物線的對稱性知，滿足條件的點軸，設，由得，即，整理得，即，所以.故，解得.綜上，存在定點滿足條件.20.【考查意圖】本小題設置數學課程學習情境，設計柱體相關的綜合問題，主要考查直線與平面垂直的判定及性質，平面與平面垂直的性質，二面角的平面角的計算等基礎知識與基本技能；考查數形結合?化歸與轉化等思想方法，考查直觀想象?邏輯推理?數學運算等數學素養.【解析】（1）在平面中作于，因為平面平面，且平面平面，所以平面，從而.在三棱柱中，平面平面，所以.又因為，所以平面，因此.（2）假設點存在，在平面中，作交于，則，因為平面，故平面.在平行四邊形中，因為，且.所以.所以，所以.因，所以.故符合條件的點存在，為的中點.21.【考查意圖】本小題以冪函數?三角函數等通過四則運算構成的新函數為數學探究創新情境，主要考查函數的圖象和性質?導數?不等式等基礎知識；考查化歸與轉化?分類與整合?數形結合等數學思想；考查數學抽象?邏輯推理?數學運算?直觀想象等數學核心素養.【解析】（1）當時，在上是單調遞增函數，理由如下：思路1：依題意，，當時，；當時，，則，故時，，所以在上是單調遞增函數.思路2：依題意，，由于，則為奇函數，故可先判斷在上單調性.當時，，此時單調遞增，由于為奇函數，所以在上是單調遞增函數.（2）由，得，依題意，只需探究在上的零點個數即可.令，則，（i）當，即時，，此時在恒成立，則即單調遞增，故，此時在上無零點，則在上的極值點個數為0.（ii）當，即時，，使得，即，可知時，時，，所以即在上單調遞增，在上單調遞減，由于，①若，即時，在上沒有零點，所以，在上的極值點個數為0.②若，即時，在上有1個零點，所以，在上的極值點個數為1.綜上所述：當時，在上的極值點個數為時，在上的極值點個數為1.選考題22.【考查意圖】本小題設置課程學習情境，設計坐標系與參數方程的綜合問題，考查直角坐標與極坐標的轉化，參數方程與普通方程的轉化，直線與圓的交點，三角形的面積等基礎知識，考查化歸與轉化，數形結合的數學思想，考查邏輯推理與數學運算等數學素養.【解析】（1）