結構力學教材:

龍馭球等編的《結構力學I－基本教程》《結構力學Ⅱ－專題教程》

第1章緒論§1-1結構力學的研究對象§1-2結構計算簡圖及簡化要點§1-3桿件結構的分類§1-4荷載分類?結構的概念?

建筑物和工程設施中承受、傳遞荷載而起骨架作用的部分稱為工程結構，簡稱為結構。?典型的結構實例?

房屋建筑中的梁、板、柱體系；交通土建中的公路、鐵路上的橋梁和隧洞；水工建筑物中的閘門和水壩。?結構的分類?

從幾何外形角度：①桿件結構（桿系結構）由若干桿件組成，桿件的橫截面尺寸要比長度小得多。梁、拱、剛架、桁架屬于桿件結構。

②板殼結構（薄壁結構）：它的厚度要比長度和寬度小得多。如：樓板、殼體屋蓋。③實體結構：它的長、寬、厚三個幾何尺寸屬于同一個數量級。?結構力學的研究對象?狹義上的結構指的是桿件結構，它是結構力學的主要研究對象。?結構力學的任務?a.分析結構的組成規律和合理形式；b.討論在外界因素影響下（荷載、支座移動、溫度變化），結構的內力和變形以及進行結構的強度和剛度的驗算；c.討論結構在動力荷載作用下的結構反應。?結構的計算簡圖?

因為實際結構很復雜，所以對實際結構進行力學計算之前，必須加以抽象和簡化，采用簡化了圖形代替實際結構，使其成為既能反映真實結構的主要特征有便于力學計算的模型，這樣的圖形稱為結構的計算簡圖。?選擇計算簡圖的原則?①從實際出發－－計算簡圖要反映實際結構的主要性能；②分清主次，略去細節－－計算簡圖要便于計算。?桿件結構計算簡圖的簡化要點?①結構體系的簡化：將工程上的空間結構簡化為平面結構。空間結構平面結構②桿件的簡化：以桿件的軸線代替桿件。桿件間的連接區用結點表示，桿長用結點間的距離表示，而荷載的作用點也轉移到軸線上。③桿件間連接的簡化：理想結點代替桿件與桿件之間的連接。a.鉸結點被連接的桿件在連接處不能相對移動，但可以相對轉動。可以傳遞力，但不能傳遞力矩。

b.剛結點：被連接的桿件在連接處不能相對移動，又不能相對轉動。可以傳遞力，也可以傳遞力矩。c.組合結點：特征是匯交于結點的各桿均不能移動，但其中一部分桿件為剛性聯結，各桿端不允許相對轉動，其余桿件為鉸接，允許繞結點轉動。④支座的簡化結構與基礎間的連接區為支座。常見的平面支座有以下四種：a.可動鉸支座（滾軸支座）：被支承的部分既可以轉動，也可以水平移動，不能豎向移動，故所提供的支座反力只有豎向反力Fy。Yb.固定鉸支座（鉸支座）：被支承的部分，可以轉動，不能移動，能提供的反力Fx、Fyc.固定支座：被支承的部分，不能轉動和移動。能提供三個方面的力。d.定向支座（滑動支座）：被支承的部分，不能轉動，但可沿一個方向平行滑動，能提供彎矩和一個反力。⑤材料性質的簡化將結構材料視為連續、均勻、各向同性、理想彈性或理想彈塑性。⑥荷載的簡化把作用在結構上的體積力和表面力都簡化為作用于結構桿件軸線上的力。體積力：重力、慣性力表面力：車輪壓力、設備重力、風壓力、水壓力、土壓力。把作用面積很小的分布荷載簡化為集中荷載；荷載集度變化不大的分布荷載簡化為均布荷載。①按計算簡圖分類梁拱桁架剛架組合結構②按空間的觀點，結構分為空間結構和平面結構兩類。空間結構：組成結構的各類桿件的軸線不在同一平面上。平面結構：各桿的軸線和外力的作用線在同一平面上。③按計算特性又分為：靜定結構和超靜定結構。靜定結構：桿件的內力可由平衡條件唯一確定。超靜定結構：桿件的內力由平衡條件不能唯一確定，還要考慮變形條件。返回?荷載的概念?①廣義上的荷載概念：使結構產生內力和變形的原因（如：溫度變化、基礎沉降）。②狹義上的荷載概念：主動作用在結構上的力。?荷載的分類?①根據荷載作用時間的長短分類恒載：永久作用在結構上的荷載。如結構的自重。活載：作用于結構上的可變荷載。如樓面、屋面、吊車荷載、風荷載、雪荷載。②按荷載的作用性質分類：靜力荷載和動力荷載。靜力荷載：荷載的大小、方向和位置不隨時間變化或變化極為緩慢，不使結構產生明顯的加速度，即慣性力可以忽略的荷載（風荷載、雪荷載視為靜荷載）。動力荷載：隨時間迅速變化或在短暫的時段內突然作用或消失的荷載。使結構產生明顯的加速度，即慣性力不可以忽略（機械振動荷載、地震荷載）。③按荷載作用位置可分為：固定荷載——作用位置不變的荷載，如自重等。移動荷載——荷載作用在結構上的位置是移動的，如吊車荷載、橋梁上的汽車和火車荷載。第2章結構的幾何構造分析§2-1幾何構造分析的幾個概念§2-2平面幾何不變體系的組成規律§2-3平面桿件體系的計算自由度?幾何構造分析的目的?平面桿件結構，是由若干根桿件通過一定的聯結方式組成的體系，但不是桿系怎么組成都能作為結構。幾何構造分析的目的主要是分析、判斷一個體系是否幾何可變，或者如何保證它成為幾何不變體系，只有幾何不變體系才可以作為結構。?幾何不變體系和幾何可變體系?

幾何可變體系：不考慮材料應變條件下，體系的位置和形狀可以改變的體系。幾何不變體系：不考慮材料應變條件下，體系的位置和形狀不變的體系。

結構機構?自由度?當體系運動時，確定體系位置所需要的獨立坐標的個數。（≥0）結論：一個點在平面內有兩個自由度。一個剛片有三個自由度。幾何不變體系其自由度為0。?約束?聯系（約束）--減少自由度的裝置。規定：如果一個裝置能使體系減少一個自由度，我們就說相當于一個約束或聯系；如果一個裝置能使體系減少n個自由度，我們就說相當于n個約束或聯系。結論：一根鏈桿相當于一個約束；

一個鉸相當于兩個約束；一個剛結點相當于三個約束。

?多余約束?在體系上加上或撤除某一約束并不改變原體系的自由度數，則該約束就是多余約束。只有非多余約束(必要約束）才對體系的自由度有影響。?瞬變體系?本來幾何可變，經微小位移以后又成為幾何不變的體系。可以發生大位移的體系稱為幾何常變體系。?瞬鉸?從微小轉動的角度來看，兩根鏈桿所起的約束作用相當于在鏈桿交點處的一個鉸所起的約束作用。這個鉸稱為瞬鉸（虛鉸）。?幾何不變體系的組成規律?－－鉸結三角形規律保證體系為幾何不變體系的兩個條件①體系中的各剛片間有足夠的聯系；②各聯系布置合理。1.規律一：一個點與一個剛片之間用兩根鏈桿相連,且三鉸不在一直線上,則組成無多余約束的幾何不變體系。A12I2.規律二：兩個剛片之間用一個鉸和一根鏈桿相連,且三鉸不在一直線上,則組成無多余約束的幾何不變體系。A1IIIA1III3.規律三：三個剛片之間用三個鉸兩兩相連,且三個鉸不在一直線上,則組成無多余約束的幾何不變體系。AIIIIIIBCAIIIIIIBC4.規律四：兩個剛片之間用三根鏈桿相連,且三根鏈桿不交于一點且不平行,則組成無多余約束的幾何不變體系。A3III215.二元體規則：在體系中增加或拆除二元體，不改變體系的幾何可變（不變）性。兩根不共線的鏈桿在一端鉸結構成一個結點，這種構造稱為二元體。6.幾何構造的步驟：①觀察體系中是否有二元體，如有二元體將其拆除；②將體系中幾何不變的部分視為剛片，應用鉸結三角形規律，將剛片擴展形成擴大的剛片；③反復應用規律，直至將體系分析完整。7.幾何構造分析的關鍵：要用三個規則區分析形式多樣的平面體系，關鍵在于選擇哪些部分作為剛片，哪部分作為約束。8.構造分析時，基礎的處理方法：①如果上部體系與基礎之間以三根支座鏈桿（不全平行，也不交于同一點）連接，可先撤去這些鏈桿，只就上部體系分析，所得結論即代表了整個體系的性質。②如果上部結構與基礎之間的支座鏈桿多于三個，必須把基礎也作為一個剛片。如果體系是按鉸結三角形規律組成的，則可以直接對它的幾何可變（不變）性及多余約束數目n，確定自由度S。如果體系不是按鉸結三角形的規律組成的，對其進行構造分析時,可根據計算自由度W，得出S和n的一些定論。S=a-c

a—去掉約束情況下各對象的自由度總和c—在全部約束中非多余約束的數目?平面桿件體系的計算自由度?在上個公式中為確定c需區分多余約束和非多余約束，為了避免這個困難，引入計算自由度W。

W=a-d其中d—全部約束數。S-W=d-c=n其中S、W、n中S和n都為非負值。從而S≥W,n≥-W。W為的S下限，-W是n的下限。約束可分為單約束和復約束。單約束：單鉸、單剛結、單鏈桿。

聯結兩個剛片的剛性結合聯結兩點的鏈桿聯結兩個剛片的鉸復約束：復鉸、復剛結、復鏈桿。聯結兩個以上剛片的鉸聯結兩個以上剛片的剛性結合聯結兩個以上點的鏈桿結論：一個復鉸相當于n-1個單鉸一個復剛結相當于n-1個單剛結一個復鏈桿相當于2n-3個單鏈桿求計算自由度的兩種方法①

W=3m-(3g+2h+b)m---體系中剛片個數（不包括地基）g---單剛結個數（若有復剛結，轉化為單剛結）h---單鉸個數b---單鏈桿根數（支座鏈桿數）②W=2j-b

j--結點個數

b—單鏈桿個數（支座鏈桿數＋結點之間的桿件數） 由以上兩個公式計算出來W的可能為正、為負為零。定性結論：若W＞0，則s＞0,則體系為幾何可變體系。若W＝0，則s=n，如無多余約束則為幾何不變；如有多余約束則為幾何可變。若W＜0，則n＞0，體系有多余約束。我們把：無多余約束的幾何不變體系稱為靜定結構，有多余約束的幾何不變體系稱為超靜定結構。2-1（a）2-1（b）2-1（c）2-2（a）2-2（b）2-2（c）2-3（a）2-3（b）2-3（c）2-3（d）2-4（a）2-4（b）2-4（c）2-4（d）2-4（e）2-5（a）2-5（b）2-5（c）2-6（a）2-6（b）2-6（c）2-7（a）2-7（b）1BDA2345678910CE1112III2-8（a）2-8（b）2-9（a）2-9（b）2-9（c）2-10（a）2-10（b）2-12（a）2-12（b）第三章靜定結構的受力分析3.1梁的內力計算的回顧3.2靜定多跨梁3.3靜定平面剛架3.4靜定平面桁架3.5組合結構3.6三鉸拱3.7隔離體方法及其截取順序的優選3.8剛體體系的虛功原理3.9靜定結構總論§3-1梁的內力計算的回顧一、單跨靜定梁1.三種典型的單跨靜定梁：

簡支梁伸臂梁懸臂梁2.截面內力分量及其正負號的規定：三個內力分量：軸力FN

--拉力為正剪力FQ--繞隔離體順時針方向轉動為正（左上右下）彎矩M--使梁的下側纖維受拉者為正作內力圖時：剪力圖和軸力圖可繪在桿的任何一側，但要標注正負號；而彎矩圖畫在受拉一側，不標正負號。3.用截面法求指定截面的內力計算桿件指定截面內力時，將桿件在指定截面切開，以截面的任意一側作為隔離體，利用平衡條件，求相應內力。所求未知力設為正號。為方便計算選取外力作用較少的部分作為隔離體。4.荷載與內力圖的關系①無荷載分布段(q=0),FQ圖為水平線,M圖為斜直線.②均布荷載段(q=常數),FQ圖為斜直線,M圖為拋物線,且凸向與荷載指向相同.③集中力作用處,FQ圖有突變,且突變量等于外力值;M圖有尖角,且指向與荷載相同。④集中力偶作用處,M圖有突變,且突變量等于力偶值;

FQ圖無變化。5.分段疊加法做彎矩圖原理：當桿件受到多個荷載作用時，可以先分別繪出各荷載單獨作用時的彎矩圖，然后將各圖形相應的縱標值疊加起來，即可得到原有荷載共同作用下的彎矩圖，這就是作圖的疊加法。步驟：①選定外力的不連續點（集中力作用點、集中力偶作用點、分布荷載的始點和終點）為控制截面，首先計算控制截面的彎矩值；②分段求作彎矩圖。當控制截面間無荷載時，彎矩圖為連接控制截面彎矩值的直線；當控制截面間存在荷載時，彎矩圖應在控制截面彎矩值作出的直線上在疊加該段簡支梁作用荷載時產生的彎矩值。例：利用疊加法求作圖示梁結構的內力圖。1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCFP=8kNM=16kN.mDEFG[分析]該梁為簡支梁，彎矩控制截面為：C、D、F、G疊加法求作彎矩圖的關鍵是計算控制截面位置的彎矩值。（1）先計算支座反力kNkN（2）求控制截面彎矩值取AC部分為隔離體，可計算得：kN取GB部分為隔離體，可計算得：kNP=8kNAD47GBm=16kN.mGB817ACABCDEFGABCDEFG17132672315308M圖（kN.m）1797+_FQ圖（kN）注意

疊加是彎矩的代數值相加，也即圖形縱坐標相加。而不是圖形的簡單拼合。§3-2靜定多跨梁一、靜定多跨梁的幾何組成特性多跨靜定梁常用于橋梁結構。從幾何組成特點看，它的組成可以區分為基本部分和附屬部分。基本部分：不依賴于其它部分的存在，本身就能獨立地承受荷載而維持平衡的部分。附屬部分：需要依賴于其它部分的存在，才能承受荷載而維持平衡的部分。

如圖所示梁，其中AC部分不依賴于其它部分，獨立地與大地組成一個幾何不變部分，稱它為基本部分；而CE部分就需要依靠基本部分AC才能保證它的幾何不變性，相對于AC部分來說就稱它為附屬部分。CA E（a）（b）EA CA CE（c）多跨靜定梁的組成

附屬部分--不能獨立承載的部分。

基本部分--能獨立承載的部分。基、附關系層疊圖二、多跨靜定梁的內力計算拆成單個桿計算,先算附屬部分,后算基本部分.例.對圖示靜定梁,欲使AB跨的最大正彎矩與支座B截面的負彎矩的絕對值相等,確定鉸D的位置.CDx解:x與簡支梁相比:彎矩較小而且均勻.從分析過程看:附屬部分上若無外力,其上也無內力.§3-3靜定平面剛架一、平面剛架結構特點：剛架是由直桿組成的結構，其結點全部或部分為剛結點。 其優點是將梁柱形成一個剛性整體，使結構具有較大的剛度，內力分布也比較均勻合理，便于形成大空間。l剛架梁桁架(d)

剛架的優點：（1）內部有效使用空間大；（2）結構整體性好、剛度大；（3）內力分布均勻，受力合理。剛結點處的變形特點保持角度不變1、懸臂剛架2、簡支剛架3、三鉸剛架4、復合桁架（主從剛架）二、常見的靜定剛架類型三、繪制剛架內力圖的步驟①求剛架的支座反力②將剛架拆成若干根桿件，求各桿件的桿端內力③由桿端內力作各桿內力圖，將各桿內力圖組合在一起就是剛架內力圖④校核（選結點或結構的某部分）

a.剛架的支座反力（應盡可能建立獨立方程）。解:例1:求圖示剛架的支座反力如圖（a）三鉸剛架，具有四個支座反力，可以利用三個整體平衡條件和中間鉸結點C處彎矩等于零的局部平衡條件，一共四個平衡方程就可以求出這四個支座反力。FxAl/2l/2qABCf(a)qfl/2l/2ABC(b)FyAFyBFxBAC2m4m4kN/mKBDEHG2kN2m2mF2kNFxK=1kNFyK=2kNFyG=30kN2mFxA=3kNACD為附屬部分，其余為基本部分。1）支座反力考慮附屬部分ACD：考慮剛架整體平衡：AC2mBD2kN2m2mFxA=3kN4kN/m1kN8kNb.剛架中各桿的桿端內力①內力正負號的規定：FQ、FN與前同，M無正負號。作圖時，M畫于受拉側，不標正負號。FQ、FN畫于任意側，標注符號。②結點處有不同的桿端截面。為了確切地表示內力，在內力符號右下方加兩個角標，第一個角標表示內力所在的截面，第二個角標表示桿段的另一端。如：MAB指AB桿A端的彎矩。③正確選取隔離體。c.剛架的內力圖根據各桿的桿端內力先繪制各桿的內力圖，然后將各桿的內力圖合在一起即為剛架內力圖。計算桿端剪力、軸力的方法:

簡單情況下，可根據截面一邊的荷載及支座反力直接求出（截面法）。復雜情況下，對于FQ的計算取桿為隔離體,用桿端彎矩利用平衡方程（力矩方程）求出，對于FN取結點為隔離體利用力的投影方程求出。所謂對稱結構是指：①結構的幾何形式和支承情況對某軸對稱；②桿件截面和材料性質也對此軸對稱。作用在結構上的任意一組荷載都可分解為：對稱荷載和反對稱荷載。對稱荷載繞對稱軸對折后，左右兩部分的荷載彼此重合（作用點相對應，大小相等，方向相同）。反對稱荷載繞對稱軸對折后，左右兩部分的荷載正好相反（作用點相對應，大小相等，方向相反）。對稱結構在對稱荷載作用下，其變形和內力都是對稱的。（M圖、FN圖正對稱，FQ圖反對稱）對稱結構在反對稱荷載作用下，其變形和內力都是反對稱的。（M圖、FN圖反對稱，FQ圖正對稱）在鉸結點和鉸支座旁的截面及自由端截面，若無外力偶作用，則這些截面M必等于0；若有外力偶作用，則該截面的彎矩值等于外力偶值。對于連接兩桿的剛結點，若結點上無外力偶作用，則兩桿端M數值相等且同為外側或同為內側受拉。a↑↑↑↑↑↑↑↑aqABCqa2/2qa2/8M圖qa2/2QCBQCBCBqa2/2∑MC＝qa2/2+QCBa=0QBC=QCB=－qa/2QCA↑↑↑↑↑↑↑↑QACqa2/2q∑MC＝qa2/2+qa2/2－QACa=0QAC=（qa2/2+qa2/2）/a=qa∑MA＝0QCA=（qa2/2－qa2/2）/a=0qa/20NCBNCA∑X＝0，NCB＝

0∑Y＝0，NCA＝qa/2∥例3-3-3

作圖示三鉸剛架內力圖。FyB1kN/mABDECFyAFxA1.385kN4.5kN1.5kNFxB1.385kN6m6m4.5m2m解：1)支座反力考慮整體平衡:由BEC部分平衡：FyB1kN/mABDECFyAFxAFxB6m6m4.5m2m2)作M圖斜桿DC中點彎矩為：彎矩圖見下圖。ABDEC4.5kN1.5kN1.385kN6.236.231.385M圖(kN.m)1kN/m1.385kN3)作FQ圖

斜桿用力矩方程求剪力，豎桿、水平桿用投影方程求剪力。對于DC桿：對于EC桿：豎桿AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。剪力圖見下頁圖。6mFQEC6.23EFQCECFQ

圖(kN)AD1.393.831.860.991.39BEC4)作FN圖豎桿、水平桿及斜桿均用投影方程求軸力。結點D：13D1.385FNDCαs4.5結點E：E1.385FNEC1.5s13

右下圖中，將結點C處的水平力和豎向力在桿DC的軸向投影得：軸力圖見下頁圖。D1kN/mC1.385FNCD4.51.5s1.385A1.38513FN

圖(kN)ABDEC4.52.740.841.791.506QDCQCDDC3.35m3kN9kN2kN2kN664.5FN圖（kN）M圖（kN.m）2－－3α↓↓↓↓↓↓3m3m3mABq=4kN/m1.5mCDE＋2＋1.79FQ圖（kN）∑MD=6－QCD×3.35＝0QCD=1.79(kN)=QDC∑MC=6+3×4×1.5+3.35QEC＝0QEC=－7.16kN∑ME=6－3×4×1.5+3.35QCE＝0QCE=3.58kN↓↓↓↓↓↓↓QCEQEC4kN/mCE3.35m－3.587.16＋－932α1.79NDC3.13α927.16NEC－5.8205279.1558.3=×-=45.0-=kNNCE0sin)79.158.3(cos)13.3(=+-+=?aaNXCEcos)58.379.1(sin)45.013.3(-++aa=?Y校核NCE3.583.131.79αα0.45－h↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓l/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8例題1:作圖示結構彎矩圖練習:作彎矩圖§3-4靜定平面桁架一、桁架的特點和組成1.桁架是由直桿組成的格構體系，當荷載僅作用在結點上時，桿件僅承受軸向力，截面上只有均勻分布的正應力，可以充分發揮材料的作用，是最理想的一種結構形式。2.在工程中的應用：屋架和桁架橋。３.實際桁架的受力情況較復雜，在抽象為計算簡圖的過程中，采用下列假定：（1）桁架的結點都是光滑無摩擦的鉸結點；（2）各桿的軸線都是直線，并通過鉸的中心；（3）荷載和支座反力都作用在結點上。滿足此條件的桁架為理想桁架。理想桁架：上弦桿腹桿下弦桿4.因桁架中各桿都在兩端受力，都為二力桿。特性：只有軸力，而沒有彎矩和剪力。5.簡圖與實際的偏差：ａ.并非理想鉸接（如鋼桁架的結點為鉚接或焊接，鋼筋砼中的各桿是澆筑在一起的，這些結點都有一定的剛性）；ｂ.并非理想直桿（各桿的軸線不可能絕對平直，在結點處各桿也不一定完全交于一點）；ｃ.并非只有結點荷載（桿件的自重不作用于結點上，實際的荷載也常常不是作用在結點上）；主內力:按計算簡圖計算出的內力次內力:實際內力與主內力的差值次內力的影響舉例桿號起點號終點號桁架軸力剛架軸力

124-35.000-34.966246-60.000-59.973368-75.000-74.9774810-80.000-79.9775130.0000.03263535.00035.00575760.00059.99787975.00074.9916.桁架的分類ａ.按外形分類：④梯形桁架①

平行弦桁架③拋物線桁架②

三角形桁架ｂ.按幾何組成分類：簡單桁架—在基礎或一個鉸結三角形上依次加二元體構成的聯合桁架—由簡單桁架按基本組成規則構成復雜桁架—非上述兩種方式組成的靜定桁架簡單桁架簡單桁架聯合桁架復雜桁架二、桁架的內力分析1.結點法（主要用于求解簡單桁架的內力）選取隔離體時,每個隔離體只包含一個結點的方法。結點法是考慮的桁架中結點的平衡，此時隔離體上的力是平面匯交力系,只有兩個獨立的平衡方程可以利用,故一般應先截取只包含兩個未知軸力桿件的結點。分析時的注意事項：1、盡量建立獨立方程：2、避免使用三角函數llxlyFNFNFNFxFyFNl=Fxlx=Fyly3、假設拉力為正+例1.求以下桁架各桿的內力

對于簡單桁架,若與組成順序相反依次截取結點,可保證求解過程中一個方程中只含一個未知數。-3334.819190-3334.819190-33-8-3334.8-33-819190-8kN37.5-5.4-3334.8-33-837.5-5.419190-5.4-8-33-3334.8求出所有軸力后,應把軸力標在桿件旁。FAyFBy

對稱結構受對稱荷載作用,內力和反力均為對稱:E點無荷載,紅色桿不受力FyAFyB

對稱結構受反對稱荷載作用,內力和反力均為反對稱:垂直對稱軸的桿不受力對稱軸處的桿不受力結點單桿：以結點為平衡對象能僅用一個方程求出內力的桿件，稱為結點單桿。零桿

零內力桿簡稱零桿。P例:試指出零桿練習:試指出零桿受力分析時可以去掉零桿,是否說該桿在結構中是可有可無的?FP/2FP/2FPFPFP1234567891011ABCDABC2.截面法適用范圍：聯合桁架的計算和簡單桁架中少數指定桿件的計算。隔離體包含不少于兩個結點。隔離體上的力是一個平面任意力系,可列出三個獨立的平衡方程。取隔離體時一般切斷的未知軸力的桿件不宜多于三根。★被截三桿應不交于一點或不互相平行。截面單桿:

用截面切開后，通過一個方程可求出內力的桿.截面上被切斷的未知軸力的桿件只有三個,三桿均為單桿.截面上被切斷的未知軸力的桿件除一個外交于一點,該桿為單桿.截面上被切斷的未知軸力的桿件除一個均平行,該桿為單桿.

相交情況FPFPFPFPFPFPa為截面單桿平行情況FPFPb為截面單桿ED桿內力如何求?§3-5靜定組合結構在桁架結構中所有的桿件均為鏈桿，也就是只有軸力的桿；在剛架結構中，絕大部分桿件的內力分量有三個，這種桿為梁式桿。由鏈桿和梁式桿共同組成的結構為組合結構。組合結構的計算步驟一般是：先計算各鏈桿的軸力，并將其作用于梁式桿上，然后再計算梁式桿的內力。例:作圖示結構內力圖MQN+一拱

(arch)一、簡介桿軸線為曲線在豎向荷載作用下不產生水平反力。拱--桿軸線為曲線，在豎向荷載作用下會產生水平推力的結構。FP三鉸拱曲梁

1.拱的定義拱

(arch)一、簡介2.拱的分類三鉸拱靜定拱超靜定拱超靜定拱兩鉸拱無鉸拱拉桿拱拉桿斜拱高差h拱

(arch)一、簡介3.拱的有關名稱跨度拱趾鉸拱趾鉸頂鉸矢高拱肋拱肋二、三鉸拱的內力計算FHAFHBFVAFVBFVA0FVB0a2b1b2lP1P2ABCl/2l/2fFVB=FVB0FVA=FVA0FH=MC0/

fa1等代梁P1P2CABFHA=FHB

=H

FVA0FVAFHMc0三鉸拱的豎向反力與其等代梁的反力相等;水平反力與拱軸線形狀無關.荷載與跨度一定時，水平推力與矢高成反比.KxyxyFVAFVBFVA0FVB0a2b1b2a1FHAFHBlP1P2ABCl/2l/2fKP1P2CAB

三鉸拱的內力不但與荷載及三個鉸的位置有關，而且與拱軸線的形狀有關。

由于推力的存在，拱的彎矩比相應簡支梁的彎矩要小。

三鉸拱在豎向荷載作用下軸向受壓。xq=2kN.mP=8kN3mx2=3m7.5kNFVAFHFVB

2y2y012345678AB例1、三鉸拱及其所受荷載如圖所示拱的軸線為拋物線方程計算反力并繪制內力圖。（1）計算支座反力（2）內力計算6m6mf=4m以截面2為例xq=2kN.mP=8kN

2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.0000.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.0603.331M圖kN.mFQ

圖

kNFN

圖

kN13.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500繪制內力圖三、三鉸拱的合理拱軸線只限于三鉸平拱受豎向荷載作用在豎向荷載作用下，三鉸拱的合理拱軸線的縱坐標與相應簡支梁彎矩圖的豎標成正比。在給定荷載下，使拱處于無彎矩狀態的軸線，被稱為與該荷載對應的合理拱軸線。試求圖示對稱三鉸拱在均布荷載作用下的合理拱軸線MC0=ql2/8FH=ql2/8fM0=qlx/2-qx2/2=qx(l-x)/2y=4fx(l-x)/l2拋物線注意*合理軸線對應的是一組固定荷載；*合理軸線是一組。例2、設三鉸拱承受均勻分布的水壓力，試證明其合理軸線是園弧曲線。[證明]設拱在靜水壓力作用下處于無彎矩狀態，然后由平衡條件推導軸線方程。qdsRR+dRd

oyNDNEd/2d/2q這表明拱在法向均布荷載作用下處于無彎矩狀態時，截面的軸力為一常數。因N為一常數，q也為一常數，所以任一點的曲率半徑R也是常數，即拱軸為園弧。DE例3、設三鉸拱上承受填土荷載，填土表面為一水平面，試求拱的合理軸線，設填土的容重為，拱所受的分布荷載為 。qc+.ffxyyy*[解]由拱截面彎矩計算式在本例的座標系中可表達為：因事先 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：對簡支梁來說，而即特征方程為：設其特解

設懸鏈線§3-8剛體體系的虛功原理計算靜定結構內力的另一個普遍方法—虛功原理，它等價于平衡方程。一、虛功原理設體系上作用任意的平衡力系，又設體系發生符合約束的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。兩種應用:虛設位移—虛位移原理求靜定結構內力。虛設力系—虛力原理求剛體體系的位移。RCABCabPXXP幾何關系：或設相應的小結：1）虛功原理（這里是用虛位移原理）的特點是用幾 何方法解決平衡問題。2）求解問題直接，不涉及約束力。bc3cpABCDEFaxpxp例：求機構相應的平衡力X=？[解]：（1）建立虛功方程（2）幾何關系當有虛位移時，b和c的變化由于（3）解方程求Xxx二、應用虛功原理求解靜定結構的約束力（單位支座位移法）

PXABCabABCabPXpx將求約束力的問題轉化為求平衡力的問題單位支座位移法的步驟：①撤去與所求約束力相應的約束，用約束力代替約束作用于體系上，使結構變為機構；②使機構沿所求力的方向發生單位位移，作出整個機構的虛位移圖；③求出各主動力作用點的虛位移（帶符號），代入虛功方程求解。用虛位移原理求內力的問題1）求截面C的彎矩mbaclmbalbaclqbalq2）求截面C的剪力§3-9靜定結構總論一、用零載法判斷體系的幾何構造S-W=n，若W＝0①s=n＝0時，無多余約束的幾何不變體；②s=n＜0時，有多余約束的幾何可變體或瞬變體系。在W＝0的體系上，作用一個特殊的荷載（其值大小為0）荷載為0而內力不全為0的狀態稱為自內力。結論：①體系存在自內力，則體系為幾何可變或瞬變體系。②體系不存在自內力，則體系為幾何不變體系。零載法的特點：將幾何構造問題轉化為了靜力分析問題。二、靜定結構的一般性質靜定結構的幾何特性:

無多余約束的幾何不變體系;靜定結構的靜力特性:

全部反力和內力均可由靜力平衡條件求得，解答是唯一的。

(1)非荷載因素(支座移動、材料收縮、制造誤差、溫度變化）不產生反力和內力。

溫度作用下支座位移作用下靜定結構特性(2)局部平衡特性：若取出的結構部分（不管其可變性）能夠平衡外荷載，則其他部分將不受力。ABCPPPPP靜定結構在平衡力系作用下，只在其作用的最小幾何不變體系上產生內力，其它結構構件上不產生彈性變形和內力。注意：（3）荷載等效變換特性：在結構某幾何不變部分上荷載做等效變換時，荷載變化部分之外的反力、內力不變。PAB（a）AB（b）ABP（c）PAB（4）構造等效變換特性：結構某幾何不變部分，在保持與結構其他部分連接方式不變的前提下，用另一方式組成的不變體代替，其他部分的受力情況不變。PNNABAB第四章影響線4.1移動荷載和影響線的概念4.2靜力法作簡支梁的影響線4.3結點荷載作用下梁的影響線4.4靜力法作桁架的影響線4.5機動法作影響線4.6影響線的應用4.7簡支梁的包絡圖和絕對最大彎矩固定荷載：荷載的大小、方向和作用點不隨時間改變的荷載。移動荷載：大小、方向不變，荷載作用點隨時間改變的荷載。如：橋梁上行駛的車輛，在吊車梁上行駛的吊車等。4.1移動荷載及影響線的概念結構在固定荷載作用下，其支座反力和內力及位移不發生變化，為固定值。結構在移動荷載作用下，其支座反力和內力隨荷載的移動而發生變化。本章主要研究結構在移動荷載作用下的內力計算。移動荷載的類型很多，在研究其內力效應時，我們采用的是廣義的單位移動荷載。P=1FRP=1FR=1P=1FR=0YX3/41/21/41----反力FR的影響線影響線定義

單位移動荷載作用下某物理量隨荷載位置變化規律的圖形。影響線作法

其一是靜力法，另一為機動法（虛功法）。P=1FR=3/4l/4P=1FR=1/2l/2P=1FR=1/43l/44.2靜力法作簡支梁的影響線靜力法

首先利用靜力平衡條件程建立影響線方程，然后由函數作圖的方法作出影響線----靜力法。FRB影響線方程FRB影響線FRA影響線11P=1xlAB111、簡支梁的影響線a.支座反力的影響線FRA影響線FRB影響線b.內力的影響線P=1xlABCab分段考慮P=1P=1在AC段，取CB段P=1P=1在CB段，取AC段11P=1bB分段考慮P=1在AC段，取CB段P=1在CB段，取AC段CaAba11FRA影響線FRB影響線MC影響線FQC影響線P=1（5）內力影響線與內力圖的比較P=1lABPabl荷載大小影響線內力圖P=1實際荷載性質移動固定橫坐標表示荷載位置表示截面位置縱坐標表示某一截面內力變化規律表示截面內力值11baFQC影響線MC影響線FQ圖M圖練習:作YA,MA,MK,QK影響線.l/2l/2l/2KP=1Axx解:MAYAMA影響線lYA影響線1QKMKx<l/2MK=0QK=0X>l/2P=1QK=1MK=-(x-l/2)QK影響線1MK影響線l/2練習:作YB,MA,MK,QKMi,Qi影響線.l/4l/4kP=1AMAYBiBl/4l/4xx解:YB影響線1x<l/4MK=l/4QK=-1X>l/4P=1QK=0MK=l/4-(x-l/4)=l/2-xMA影響線l/2l/2QKMKYBMK影響線l/2l/4QK影響線1QKMKP=1x<3l/4Mi=0Qi=0X>3l/4Mi=3l/4-xQi=1Mi影響線l/4Qi影響線12、伸臂梁的影響線P=1xP=111FRA影響線FRB影響線lABCabbaP=1xlABCab分段考慮P=1在C以左，取C以右P=1在C以右，取C以左11P=1xlAB伸臂部分影響線dd1P=1DP=1l=4dAB主梁只承受結點荷載（1）FRA和FRB與以前一樣；C（2）MC

影響線與以前一樣C點的縱標：DE（3）MD影響線。先作后證明,先假設為非結點荷載，D點的縱標值由比例可得：在C、E兩點間連一直線，MD影響線

當P=1作用在C和E兩點時,與直接作用一樣,縱標值仍為和1xCEdCED利用疊加原理,4.3結點荷載作用下梁的影響線P=1l=4dABCDEMD影響線FQD影響線11（4）FQD影響線結論①在結點荷載作用下，結構任何影響線在相鄰兩結點之間為一直線。②先作直接荷載作用下的影響線，用直線連接相鄰兩結點的豎距，就得到結點荷載作用下的影響線。做法：

1.作荷載直接作用于主梁時量值的影響線;2.將結點投影到該影響線上;3.將相鄰投影點的豎標連以直線。上承下承P=1方法：結點法與截面法1、

FRA及FRG影響線0=?CM

1CP=1ABCDEFGabcdefghl=6dABCDEFGabcdefghl=6dCP=1AB2.FN1影響線FN1影響線ABCDEFGabcdefghl=6dcP=1P=1AB3.FN2影響線2取截面Ⅱ－ⅡⅡⅡFN2影響線ABCDEFGabcdefghl=6d5、豎桿FN4影響線4N4P=1P=1ABＰ＝１在C以左：Ｐ＝１在D以右：11下承上承6、FN5影響線ABCDEFGabcdefghl=6d51下承上承FN4影響線FN5影響線

理論基礎：虛位移原理。

特點：把作影響線的靜力問題化為作位移圖的幾何問題。

優點：不經計算就能很快繪出影響線的輪廓。P=1xP=1xlAB1令⑴FRB影響線FRB影響線4.5機動法作影響線CxP=1ABab1xP=1ABabCb令⑵MC影響線⑶FQC影響線MC影響線FQC影響線機動法步驟:①解除與所求量對應的約束,得到幾何可變體系。②令其發生虛位移,并使與該量對應的廣義位移為1,方向與該量正向相同。③虛位移圖即為該量影響線,基線上部為正。P=12m2m2m1m2m2m1m4m2mABCDEFGHABCDEFGH111.25ABCDEFGH110.51例：繪制2m2m2m1m2m2m1m4m2mABCDEFGH2ABCDEFGHABCDEFGH1.00.251.00.25解決兩個問題：①確定最不利荷載位置②求量值的最大值一、利用影響線求固定荷載作用下的內力、反力等①集中荷載作用下的影響4.6影響線的應用abC②均布荷載作用下的影響y(x)yk0當q(x)為常數時xq(x)xx+dxkabXaXbMk影響線ω－影響線的圖形在受載段上的面積。若在受載段內的影響線有正負，則應為ω應為正負面積的代數和。二、求荷載的最不利位置最不利荷載位置:結構中某量達到最大值(或最小值)時的荷載位置.對于一些簡單的情況，判斷最不利荷載位置的一般原則是：應當把數量大、排列密的荷載放在影響線豎標較大的部位。同時注意位于同符號影響線范圍內的荷載應盡可能多。（１）一個集中荷載（２）一組集中荷載（３）任意分布荷載qqq三、臨界位置的判定為確定最不利荷載位置，通常分兩步：1）求出使Z達到極值的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置，而且可能不止一個。2）從Z的極大值中選出最大值，從Z的極小值中選出最小值，從而確定最不利荷載位置。

FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx下面以多邊形影響線為例，說明臨界荷載位置的特點及其判定方法。

在影響線圖中，α1>0，α2>0，α3<0。

因為是x的一次函數，所以Z也是x的一次函數。若荷載右移動Δx，則豎標的增量為：則Z的增量為：

由上面影響線圖可得出:

因為Z是x的一次函數，所以Z-x圖形是折線圖形。于是ΔZ/Δx是折線圖形中各折線段的斜率。對于折線圖形，極值發生在使ΔZ/Δx變號的尖點處。xZ+-+00-極大值點xZ-+-00+極小值點

若移動荷載組在某位置剛好使Z取得極大值，則：當Δx>0，即荷載稍向右移，。當Δx<0，即荷載稍向左移，。

若移動荷載組在某位置剛好使Z取得極小值，則：當Δx>0，即荷載稍向右移，。當Δx<0，即荷載稍向左移，。

總之，當荷載在Z的極值點位置稍向左、右移動時，必須變號。如何使變號？是常數，可以變化的只是FRi。為了使FRi變化，必須有一個集中力位于影響線的頂點，此荷載記作FPcr，當FPcr位于影響線的頂點以左或以右時，會引起FRi發生變化，如下圖示。FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2

當移動荷載組左右移動時，能使改變符號的荷載FPcr稱為臨界荷載，相應的移動荷載組的位置稱為臨界位置。

在給定的移動荷載組中，能使變號的臨界荷載可能不止一個。確定最不利荷載位置的步驟如下：1)

選定一個集中力作為FPcr，使它位于影響線的一個頂點上；2）當FPcr稍作左右移動時，分別計算的值。若變號，則此FPcr即為一臨界荷載，相應的荷載位置為臨界位置。用同樣的方法可以確定其它的FPcr及相應的荷載臨界位置。3)

對于每個荷載臨界位置求出相應的Z值，比較各個Z值，可確定Zmax及Zmin，進而確定相應的最不利荷載位置。---臨界荷載判別式此式表明:臨界荷載計入哪一側，哪一側的荷載的平均集度大。當影響線為三角形時例

如下圖多邊形影響線及移動荷載組，試求荷載最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影響線6m4m8mα1α310.75α21）將FP4放在影響線的最大點，移動荷載組的位置如下圖示。2）計算。解：Z的影響線FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷載稍向右移，各段荷載合力為：Z的影響線FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷載稍向左移，各段荷載合力為：Z的影響線FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m1α26m4m8mα1α310.750.810.9063.5/8

因為變號，故FP4為臨界荷載，相應的荷載位置為臨界位置。3）計算Z值

容易確定只有FP4是臨界荷載，所以相應的荷載位置就是最不利荷載位置。4.7簡支梁的包絡圖和絕對最大彎矩

設計時要求在實際荷載作用下各截面的最大和最小內力值。P=1xlABCab0.090.160.210.240.25分別將各截面的最大和最小內力值連成的曲線稱為內力包絡圖。12mAB3.5m3.5m1.56.001.22.412m21536646555957457821217915312794.365.041.725.316.48.20.0彎矩包絡圖（kN·m）剪力包絡圖（kN）例：繪制簡支梁在兩臺吊車作用下的彎矩包絡圖和剪力包絡圖。簡支梁的絕對最大彎矩

簡支梁彎矩包絡圖中的最大豎標稱為絕對最大值，即梁各截面最大彎矩中的最大值。作簡支梁彎矩包絡圖一般不能求得絕對最大彎矩，因為等分截面不可能正好選中產生絕對最大彎矩的截面。對于同一簡支梁，給定不同的移動荷載就可以求得不同的絕對最大彎矩。與求指定截面的最不利荷載位置不同的是，絕對最大彎矩產生的截面位置并不知道。1）它出現在那一個截面？2）在那一個集中荷載下面？設移動荷載的合力FR在FPcr的右側：考慮AD段平衡：b1FP1FPcrFRFPnl/2l/2ACx…Ba/2a/2DFPiFPn-1FRAbiFP1FPcrAx…DFPiFRAb1biMD

上式中Mcr為D截面左側荷載對截面D力矩的代數和。令得到

上式表明，當MD取得極值時，FPcr與FR之間的距離a被梁中點平分。荷載FPcr可以有不同的選擇，實際上因為a較小，截面D靠近跨中截面C，故FPcr通常是使跨中截面的彎矩取得極大值的臨界荷載。確定FPcr以后，按照FPcr與FR之間的距離a被梁中點平分的原則確定移動荷載在梁上的位置，進而求出彎矩的極值。

當FR在FPcr左側時，在公式中，a<0。6.001.22.412m215366465559574578彎矩包絡圖（kN·m）續前例：計算簡支梁在兩臺吊車作用下的絕對最大彎矩。3.5m3.5m1.56mAB6mR第5章靜定結構的位移計算5.1應用虛力原理求剛體體系的位移5.2結構位移計算的一般公式5.3荷載作用下的位移計算5.4圖乘法5.5溫度作用時的位移計算5.6互等定理§5-1應用虛力原理求剛體體系的位移一、結構位移計算概述1.計算位移的目的：（1）結構的剛度驗算；在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。（2）為分析超靜定結構打下基礎。AP2.產生位移的原因⑴荷載作用；⑵溫度變化和材料脹縮；⑶支座沉降和制造誤差。3.位移與變形由于上述三種因素均可使結構產生位移，但其內部不一定有變形。A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉角位移角位移線位移AP以上都是絕對位移以上都是相對位移二.虛功原理求位移----單位荷載法abABCP=1ABCab虛功方程設虛力狀態單位荷載其虛功正好等于擬求位移。三、支座移動時靜定結構的位移計算已知位移求:（1）C點的豎向位移ΔC;（2）桿CD的轉角β。ABCDABCD1ABCD1求解步驟⑴沿所求位移方向虛設單位荷載；⑵由平衡條件求出有支座移動處的支座反力；⑶建立虛功方程求解所得正號表明位移方向與假設的單位力方向一致。§5-2結構位移計算的一般公式一、局部變形時靜定結構的位移計算BABA1AB

虛功方程：

例1、懸臂梁在截面B處由于某種原因產生相對轉角，試求A點在i－i方向的位移Δｍ。例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產生相對剪位移，試求A點在i－i方向的位移ΔQ。BA

BA1

A

例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產生軸向位移

試求A點在ｉ－ｉ方向的位移ΔN

。BABA

BA

1由平衡條件：虛功方程：

當截面B同時產生三種相對位移時，在i－i方向所產生的位移，即是三者的疊加，有：ds

dsdsRds

二、結構位移計算的一般公式

一根桿件各個微段變形引起的位移總和：如果結構由多個桿件組成，則整個結構變形引起某點的位移為：若結構的支座還有位移，則總的位移為：適用范圍與特點：2）形式上是虛功方程，實質是幾何方程。關于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結構類型：各種桿件結構。（4）材料種類：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。

三、廣義位移的計算求圖a）結構A、B截面相對水平位移。a)

qABΔAHΔBHκ,γ0,

εb)AB11q求ΔφΔφ11單位荷載AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBVABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面豎向位移之和）(A，B截面相對豎向位移）原結構§5-3荷載作用下的位移計算研究對象：靜定結構、線性彈性材料。重點在于解決荷載作用下應變的表達式。一、計算步驟（1）在荷載作用下建立的方程，可經由荷載內力應力應變過程推導應變表達式。（2）由上面的內力計算應變，其表達式由材料力學知k--為截面形狀系數1.2(3)荷載作用下的位移計算公式二、各類結構的位移計算公式（1）梁與剛架（2）桁架（3）組合結構例1：已知圖示梁的E、G,求A點的豎向位移。解：構造虛設單位力狀態.l

對于細長桿,剪切變形對位移的貢獻與彎曲變形相比可略去不計.位移方向是如何確定的?求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC5P－8PP=15/3－4/30000000000－1－3PPP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例1、計算屋架頂點的豎向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGBADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼CEAEEG1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ABCDEFG例:1)求A點水平位移

所加單位廣義力與所求廣義位移相對應,該單位廣義力在所求廣義位移上做功.三.單位力狀態的確定2)求A截面轉角3)求AB兩點相對水平位移4)求AB兩截面相對轉角BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。

§5-4圖乘法

剛架與梁的位移計算公式為：在桿件數量多、荷載復雜的情況下,用積分法計算位移不方便.下面介紹計算位移的圖乘法.òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿Mkdxxx0ωαMiMi=xtgαyxy0y0=x0tgα①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應用條件：a）EI=常數；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。③豎標y0取在直線圖形中，對應另一圖形的形心處。④面積ω與豎標y0在桿的同側，ωy0

取正號，否則取負號。?ò?==DPEIydxEIMM0w⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點圖（

）圖BAq例:求圖示梁(EI=常數,跨長為l)B截面轉角解:應用圖乘法時的幾個具體問題①如果兩個圖形都是直線圖形，則y0可取自任一個圖形；②如果直線圖形是由幾段直線組成的折線，則應分段圖乘；③當同一桿件的各桿段EI不相等時，也應分段圖乘；④如果圖形復雜，需分解為簡單圖形。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？非標準圖形乘直線形

a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在基線同側乘積取正，否則取負。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標準拋物線乘直線形P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BFNP=ql/2FNP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==D?PNEAqlEAlqlEAlFNFN§5-5溫度作用時的位移計算溫度改變對靜定結構不產生內力，變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結果。圖示剛架的外側溫度升高t1，內側溫度升高t2，且設溫度沿截面高度方向線性分布。設溫度沿桿件截面厚度為線性分布，桿軸溫度與上、下邊緣的溫差為：線膨脹系數t1t2t0hh1h2dsdθαt0dsαt1dsαt2ds上