專題5.22平面直角坐標系背景下面積問題（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】已知點的坐標求圖形面積【考點一】三角形有一邊在坐標軸上【例1】（2021秋·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形OABC各個頂點的坐標分別是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求這個四邊形的面積．【答案】．【分析】分別過C點和B點作x軸和y軸的平行線，根據S四邊形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF結合三角形面積公式解題．解：分別過C點和B點作x軸和y軸的平行線，如圖，則E（5，3），A（3，0），B（5，2），C（2，3）,所以S四邊形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=．【點撥】本題考查了坐標與圖形性質：利用點的坐標計算相應線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關系，會運用面積的和差計算不規則圖形的面積．【舉一反三】【變式1】（2021秋·八年級單元測試）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面積．

【答案】2【分析】首先根據題意求出AB的長度和AB邊上的高的長度，然后根據三角形面積公式求解即可．解：作CD⊥x軸，垂足為點D．A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，OA=5，OB=3，CD=2，AB=OA-OB=5-3=2．S△ABC=AB·CD=×2×2=2．【點撥】此題考查了網格中三角形面積的求法，解題的關鍵是根據題意求出AB的長度和AB邊上的高．【變式2】（2021秋·全國·八年級專題練習）已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四邊形ABCD的面積．【答案】42【分析】把原圖形分解成一個三角形加一個梯形加一個三角形，再利用面積公式即可求解．解：過點C作CF⊥x軸于點F，過D作DE⊥x軸于點E則AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5∴

．【點撥】本題考查平面直角坐標系下的不規則圖形面積計算，靈活拆解不規則圖形是解題關鍵．【考點二】三角形有一邊平行于坐標軸【例2】（2023春·北京朝陽·七年級校考階段練習）已知在平面直角坐標系中有三點A（﹣2，1）、B（3，1）C（2，3），請回答如下問題：（1）在坐標系內描出點A、B、C的位置；（2）求出以A、B、C三點為頂點的三角形的面積．【答案】（1）5．【分析】（1）根據平面直角坐標系的知識即可描出點A，B，C的位置；（2）將AB看成底邊，則C到AB的距離為高，根據圖象得出高為2，再用三角形的面積公式即可得出三角形ABC的面積．解：（1）A，B，C的位置如圖所示，（2）以AB為底邊，則C到AB的距離為AB邊上的高，∵A（-2，1），B（3，1），∴AB=3-（-2）=5，由圖可知C到AB的距離為2，∴三角形ABC的面積為5．

【點撥】本題主要考查平面直角坐標系和三角形的面積公式，關鍵是要牢記三角形的面積公式，能恰當的找到三角形ABC的底邊和高．【舉一反三】【變式1】（2022春·黑龍江牡丹江·七年級校考期末）如圖在直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三點，若a，b，c滿足關系式：＝0．（1）求a，b，c的值．（2）求△ABC的面積．（3）是否存在點P（x，2x），使△BCP的面積為△AOB的面積的兩倍？若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)a，b，c的值分別為2，3，4；(2)△ABC的面積為6；(3)存在，點P的坐標為（0，0），（6，12）【分析】（1）根據“幾個非負數相加和為0，則每一個非負數的值均為0”解出a,b,c的值；（2）由點A、B、C的坐標可得△ABC的面積；（3）設存在點P（x，2x），使△BCP的面積為△AOB的面積的兩倍，根據面積列出方程，解方程即可．（1）解：∵，∴，∴，（2）∵A（0，2），B（3，0），C（3，4）；∴（3）設存在點P（x，2x），使△BCP的面積為△AOB的面積的兩倍，∵，∴，，即，解得或，∴P的坐標為（0,0），（6,12）．【點撥】本題考查了坐標與圖形，非負數的性質，三角形的面積，數形結合是解題的關鍵．【變式2】（2023秋·八年級單元測試）如圖，已知四邊形．（1）分別寫出點的坐標；（2）試求四邊形的面積．（網格中每個小正方形的邊長均為1）．【答案】(1),,,；(2)【分析】（1）根據各點所在的象限，對應的橫坐標、縱坐標，分別寫出點的坐標；（2）首先把四邊形分割成規則圖形，再求其面積和即可．解：（1）,,,（2）【點撥】此題主要考查了點的坐標，以及求不規則圖形的面積，關鍵是把不規則的圖形正確的分割成規則圖形．【考點三】三角形沒有一邊平行于坐標軸【例3】（2022春·重慶榮昌·七年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（3，3），B（5，1），C（﹣2，﹣3）．（1）在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并直接寫出點A1，B1，C1的坐標．（2）求△ABC的面積．【答案】(1)圖見詳解，（﹣3，3），（﹣5，1），（2，﹣3）；(2)11【分析】（1）利用軸對稱的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面積看成矩形面積減去周圍三個三角形面積即可．（1）解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．并直接寫出點A1（﹣3，3），B1（﹣5，1），C1（2，﹣3）．故答案為：（﹣3，3），（﹣5，1），（2，﹣3）；（2）解：S△ABC＝6×7-×6×5﹣×2×2﹣×7×4＝11．【點撥】本題考查作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，學會用分割法求三角形面積．【舉一反三】【變式1】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）中，A、B、C三點坐標分別為、、．（1）求的面積；（2）若B、C點坐標不變，A點坐標變為，則的面積為______．【答案】（1）；（2）8．【分析】（1）分別過點作的垂線交于兩點，并反向延長，交于點，則的面積為長方形面積減去三個直角三角形的面積，即可求解；（2）分別過點作的垂線，分別相交于點，則的面積為長方形面積減去三個直角三角形的面積，即可求解．解：（1）分別過點作的垂線交于兩點，并反向延長，交于點，如下圖：則：、、、、、由圖形可得：所以，（2）分別過點作的垂線，分別相交于點，如下圖：則：、、、、由圖形可得：所以，【點撥】此題考查了平面直角坐標系的應用，割補法求解三角形面積，解題的關鍵是根據直角坐標系的性質構造出矩形求解三角形面積．【變式2】（2021秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學校考期中）如圖是由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格，ABC的三個頂點都在格點上．（1）點A的坐標為，點B的坐標為；（2）圖中線段BC的長為；（3）ABC的面積為；（4）點P在y軸上，且ABP的面積等于ABC的面積，則點P的坐標為．【答案】（1）A（3，4），B（0，2）；（2）；（3）；（4）（0，）或（0，）【分析】（1）根據點的位置直接寫出坐標；（2）利用勾股定理結合點的坐標計算；（3）利用割補法計算即可；（4）根據△ABC的面積得到△ABP的面積，再設P（0，a），根據三角形面積公式列出方程，解之即可．解：（1）由圖可知：A（3，4），B（0，2）；（2）BC==；（3）S△ABC==；（4）由題意可得：S△ABP=，∵點P在y軸，則設P（0，a），∴，解得：或，∴點P的坐標為（0，）或（0，）．【知識點2】已知圖形面積求點的坐標【考點四】由圖形的面積求點的坐標【例4】（2022秋·新疆塔城·七年級塔城地區第二中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b滿足|a+1|+=0．（1）填空：___________，___________；（2）若在第三象限內有一點M（-2，m），請用含m的式子表示△ABM的面積；（3）在（2）條件下，當時，在x軸上是否存在點P（不與點A重合），使得，若存在請求出點P的坐標，不存在說明理由．【答案】(1)-1，3；(2)-2m；(3)存在，P（7，0）【分析】（1）根據非負數性質可得a、b的值；（2）根據三角形面積公式列式整理即可；（3）先根據（2）計算，根據=列方程求解可得．（1）解：∵|a+1|+=0，∴a+1=0且b-3=0，解得：a=-1，b=3，故答案為：-1，3；（2）解：過點M作MN⊥x軸于點N，由（1）得：A（-1，0），B（3，0），∴AB=1+3=4，又∵點M（-2，m）在第三象限，∴MN=|m|=-m，∴=AB?MN=×4×（-m）=-2m；（3）解：當m=-時，M（-2，-），∴=-2×（-）=3，=×PB×，由題意得×PB×=3，解得PB=4，∵P不與A重合∴P（7，0）．【點撥】本題主要考查非負數的性質，坐標與圖形的性質，第3問根據題意建立方程是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·湖北荊州·七年級統考期末）如圖，已知，（1）求點C到x軸的距離；（2）求的面積；（3）點P在y軸上，當的面積為6時，請直接寫出點P的坐標．【答案】(1)3；(2)18；(3)或【分析】（1）點C的縱坐標的絕對值就是點C到x軸的距離解答；（2）根據三角形的面積公式列式進行計算即可求解；（3）設點P的坐標為，根據△ABP的面積為6，，整理得，所以或，即可解答．（1）解：∵，∴，∴點C到x軸的距離為3；（2）解：∵，∴，點C到邊的距離為：，∴的面積為：．（3）解：設點P的坐標為，∵的面積為6，，∴，∴，∴或，∴P點的坐標為或．【點撥】本題考查了坐標與圖形，點到坐標軸的距離，以及一元一次方程的應用，解決本題的關鍵是利用數形結合的思想．【變式2】（2023春·廣東湛江·七年級校考期中）已知，點．且點A在x軸上，（1）A點的坐標為．（2）若點C坐標為，求的面積．（3）在（2）的條件下，若點P為y軸上一動點，且的面積為5，求點P的坐標．【答案】(1)；(2)2；(3)或【分析】（1）由點A在x軸上可得其縱坐標為0，求出a即可得到答案；（2）根據三角形的面積公式求解即可；（3）根據題意可求出，再分兩種情況：①當點P在y軸正半軸時，