第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年湖北省十堰市部分普通高中高二（上）期中數學試卷一、選擇題1.直線y+3=0的斜率為(

)A.不存在 B.?3 C.13 D.2.已知空間向量a=(3,2,1)，則向量a在坐標平面Oxz上的投影向量是(

)A.(3,0,1) B.(1,0,3) C.(0,2,1) D.(0,2,0)3.經過點(1,0)且與直線x?2y+1=0垂直的直線方程為(

)A.x?2y?1=0 B.2x?y?2=0 C.2x+y?2=0 D.2x+y?1=04.若圓C：x2+y2?2(m?2)x+2(m?2)y+2mA.2或1 B.?2或?1 C.1 D.?25.在空間四邊形ABCD中，連接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E為其中心，則AB+12BCA.AB B.2BD C.0 D.6.若直線kx?y?2=0與曲線1?(y?1)2=x?1有兩個不同的交點，則實數kA.(43,2] B.(43,4]7.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點，F為線段BBA.53

B.305

C.8.已知圓C：x2+y2?4x?4y?10=0，直線l：x?y+c=0，c的取值范圍是[?2,2]，則圓C上到直線l的距離為A.4個 B.3個 C.3個或4個 D.2個或4個9.下列命題中，錯誤的是(

)A.垂直于同一個平面的兩個平面平行

B.三個平面兩兩相交，則交線平行

C.一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行

D.平行于同一條直線的兩個平面平行10.已知圓O：x2+y2=4和圓M：x2+yA.圓O與圓M有兩條公切線

B.圓O與圓M關于直線AB對稱

C.線段AB的長為112

D.E，F分別是圓O和圓M上的點，則|EF|11.已知直線l1：ax+(a+1)y+2=0，l2：(1?a)x+ay?1=0，則(

)A.l1恒過點(2,?2) B.若l1//l2，則a=22

C.若12.如圖，在棱長為4的正四面體ABCD中，E，F分別在棱DA，DC上，且EF/?/AC，若DE=sDA，EP=tEF，s∈(0,1)，t∈(0,1)，則A.BP∈[436,4)

B.當s=12時，直線BP與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍為(23,225]

C.當s+t=1時，點P的軌跡為一條線段(不含端點13.圓x2+y214.有一組數據2，2，3，3，3，5，7，8，這組數據的第25百分位數是______．15.過點(3,?2)，且在x軸，y軸上的截距互為相反數的直線方程為______．16.已知實數x1、x2、y1、y2滿足：x12+17.已知△ABC中，點A(?1,0)，點B(2,0)，點C(0,3)．

(1)求邊BC上的高所在直線的方程；

(2)求∠BAC18.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，M，N，G分別是棱AA1，BC，A1D1的中點，設Q是該正方體表面上的一點，若MQ19.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E為AB的中點．

(1)證明：20.已知圓C：x2+y2?6x=0，直線l恒過點P(6,1)．

(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；

(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=421.已知圓C的方程為x2+y2=2，點P是直線x?2y?5=0上的一個動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，A、B為切點，

(1)求則四邊形PACB的面積的最小值；

(2)22.已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=3，BC=2AD=2，E為CD的中點，PB⊥AE

(1)證明：平面PBD⊥平面ABCD；

(2)若PB=PD，PC與平面ABCD所成的角為π4，試問“在側面PCD內是否存在一點N，使得BN⊥平面PCD？”若存在，求出點N到平面ABCD

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由直線y+3=0，表示與x軸平行的直線，所以直線y+3=0的斜率為0．

故選：D．

根據題意，得到直線y+3=0表示與x軸平行的直線，即可求解．

本題主要考查直線的斜率，屬于基礎題．2.【答案】A

【解析】解：設坐標原點為O(0,0,0)，a=OA=(3,2,1)，所以A(3,2,1)，

故A(3,2,1)在坐標平面Oxz上的投影點為A′(3,0,1)，

故向量a在坐標平面Oxz上的投影向量為OA′=(3,0,1)．

故選：A．3.【答案】C

【解析】解：設與直線x?2y+1=0垂直的直線方程為2x+y+m=0，

把點(1,0)代入可得：2+m=0，解得m=?2．

∴經過點(1,0)且與直線x?2y+1=0垂直的直線方程為：2x+y?2=0．

故選：C．

設與直線x?2y+1=0垂直的直線方程為2x+y+m=0，把點(1,0)代入解得m，即可得出．

本題考査了相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4.【答案】C

【解析】解：∵圓C：x2+y2?2(m?2)x+2(m?2)y+2m2?6m+4=0過坐標原點，

∴2m2?6m+4=0，解得m=1或m=2，

當m=2時，x2+y2=0，不符合題意舍去，

當m=1時，x2+y2+x?2y=05.【答案】C

【解析】解：設BC的中點為F，由于△BCD是正三角形，且E為其中心，

故AB+12BC?32DE?AD=AB+BF?32DE?AD6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了數形結合思想，屬于中檔題．

可得直線經過點(0,?2)，將曲線方程化簡整理，得該曲線是以(1,1)為圓心，半徑為1的圓位于直線x=1右側的部分，作出圖形，觀察直線的斜率k的變化，再結合計算即可得到實數k的取值范圍．【解答】

解：直線kx?y?2=0化成y=kx?2，可得直線必定經過點(0,?2)，

而曲線1?(y?1)2=x?1，可變形整理為

(x?1)2+(y?1)2=1(x≥1)，

∴該曲線是以(1,1)為圓心，半徑為1的圓位于直線x=1右側的部分(包括(1,0)、(1,2)兩個點)，

設直線在圓下方與圓相切時的斜率為k1，直線過點(1,0)與圓有兩個交點時的斜率為k2．

可得當直線kx?y?2=0與曲線有兩個不同的交點時，斜率k滿足k1<k≤k2，

可知k2=?2?00?1=2，

由點(1,1)7.【答案】D

【解析】解：∵AE//FC1，FC1不在平面AB1E內，AE?平面AB1E，∴FC1/?/平面AB1E，

∴直線FC1到平面AB1E的距離等于點C1到平面AB1E的距離，

如圖，以D點為坐標原點，DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD1所在的直線為z軸，建立直角坐標系，

則A(1,0,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E(0,0,12),F(1,1,12)，

FC1=(?1,0,12),AE=(?1,0,12),AB8.【答案】C

【解析】解：圓C：x2+y2?4x?4y?10=0，配方為：(x?2)2+(y?2)2=18，

∴圓的圓心(2,2)，半徑為32，

∵圓心到直線l：x?y+c=0的距離d=|c|2，

∵c的取值范圍是[?2,2]，∴d≤2，

∴當d=2，圓C上到直線l的距離為22的點有3個，

當d<2時，圓C上到直線l的距離為22的點有9.【答案】ABD

【解析】解：對于A：垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，故A錯誤；

對于B：三個平面兩兩相交，則交線平行或相交，故B錯誤；

對于C：由面面平行的性質定理知，一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行，故C正確；

對于D：平行同一直線的平面，可以平行，也可以相交，故D錯誤．

故選：ABD．

利用空間中線線、線面、面面間的位置關系即可得出真命題．

本題考查直線與平面的位置關系，解題中需要一定的邏輯推理能力，屬于中檔題．10.【答案】C

【解析】解：由題可知圓O圓心為O(0,0)，半徑為r1=2，圓M：x2+y2+4x?2y+1=0化簡得(x+2)2+(y?1)2=4，即圓心為M(?2,1)，半徑為r2=2，

圓心距為5，0<5<4，故兩圓相交，圓O與圓M有兩條公切線，A項正確；

兩圓半徑相等，故關于相交弦AB對稱，故B項正確；

兩圓方程作差可得lAB：4x?2y+5=0，設AB中點為T，作AB的垂直平分線交兩圓于EF，由幾何關系可知，圓心O到直線AB距離為d=520=52，

則|AB|=211.【答案】AD

【解析】解：因為l1：ax+(a+1)y+2=0，所以a(x+y)+y+2=0，

可得x+y=0y+2=0，x=2y=?2，

l1恒過點(2,?2)，A選項正確；

因為l1//l2，所以a2=(1?a)(a+1)?(a+1)≠2a，則a=22或a=?22，故B選項錯誤；

因為l1⊥l2，所以a(1?a)+a(a+1)=0，則a=0，故C選項錯誤；

因為l2不經過第三象限，

則直線與坐標軸不垂直時，l2在x軸截距大于等于0，l2在y軸截距大于等于0，

l2：(1?a)x+ay?1=0，令x=0，則y=1a≥0，∴a>0

令y=0，則x=11?a≥0，∴a<1，

當a=0，l2：x?1=0符合題意，12.【答案】AD

【解析】解：由題意，當s∈(0,1)，t∈(0,1)，則點P的軌跡是△ACD的內部(不含邊界)，

所以BP的最小值是點B到平面ACD的距離，最大值是棱長BA(取不到)，

如圖所示，設O為△ACD的中心，則BO⊥平面ACD，

所以BO與平面ACD內所有的直線垂直，

則DO=23×32×4=433，BO=BD2?DO2=463，

所以BP的取值范圍為[463,4)，故選項A正確；

當s=12時，EF為△ACD的中位線，點P的軌跡是線段EF(不含端點)，

作PM⊥平面ABC，M為垂足，連接BM，

則∠PBM為BP與平面ABC所成角φ，

因為點D到平面ABC的距離為BO=463，EF是△ACD的中位線，P∈EF，

由EF/?/AC，EF?平面ABC，AC?平面ABC，所以EF/?/平面ABC，

則PM等于點E到平面ABC的距離，即點D到平面ABC的距離的一半，所以PM=263，

在△BEF中，BE=EF=23，EF=2，EF邊上的高為(23)2?12=11，

所以11≤BP<23，則sinφ=PMBP，

所以23<sinφ≤26633，故選項B錯誤；

當s=0，t=1時，點P與點D重合，

當s=1，t=0時，點P與點A重合，A，D是兩個極限點(實際上取不到)，

當s=12，t=12時，P是中位線EF的中點N，D，N，A三點不共線，

故選項C錯誤；

在AC上取點Q，使得AQ=13AC，連接DQ，t=13時，點P的軌跡是線段DQ(不含端點)，

如圖所示，由選項A可知，BO⊥平面ACD，

從而BO與平面ACD內所有的直線垂直，BO⊥DQ，

作OR⊥DQ，垂足為R，連接BR，

則由于OR，OB是平面BOR內兩條相交直線，

故DQ⊥平面BOR，又BR?平面BOR，所以DQ⊥BR13.【答案】(0,2)

【解析】解：圓x2+y2?4y?1=0，化為：x2+(y?2)2=5，

圓的圓心坐標14.【答案】2.5

【解析】解：由數據2，2，3，3，3，5，7，8，從小到大排列，共有8個數，

可得8×25%=2，所以這組數據的第25百分位數是2+32=2.5．

故答案為：2.5．

根據題意，結合百分位數的計算方法，即可求解．15.【答案】y=?23x【解析】解：(1)當直線經過原點時，設直線的方程為y=kx，由于該直線經過點(3,?2)，故直線的方程為y=?23x；

(2)當直線不經過原點時，設直線的方程為xa?ya=1，由于該直線經過點(3,?2)，故3a+2a=1，解得a=516.【答案】2【解析】解：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，

由x12+y12=2,x22+y22=2,x1x2+y1y2=1，

可得A，B兩點在圓x2+y2=2上，且OA?OB=2×2×cos∠AOB=1，所以cos∠AOB=12，

即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=2，

|x1+y1?1|2+|x17.【答案】解：(1)∵點A(?1,0)，點C(0,?3)，

∴邊AC所在直線斜率kAC=3，

∴邊AC上的高所在直線BD的斜率k=?33，且過點B(2,0)．

∴邊AC上的高所在直線的方程為y=?33(x?2)．

(2)由kAC=3得∠BAC=60°，∴∠BAC角平分線的傾斜角為30°，

∴∠BAC角平分線所在直線AE【解析】(1)利用直線的垂直關系求出邊AC上的高所在直線的斜率，進而得出答案；

(2)由kAC=3得∠BAC=60°，可得∠BAC角平分線AE的傾斜角為30°，求出18.【答案】解：(1)根據題意，因為MQ=xMG+yMN(x,y∈R)，

由平面向量基本定理，則點Q在平面MGN上，

如圖，分別取AB，CC1，C1D1的中點E，F，O，

連接OG，OF，FN，EN，AD1，OE，NG，

因為M，G分別為AA1，A1D1的中點，故MG//AD1，

又由正方體ABCD?A1B1C1D1可得D1O=12D1C1，AE=12AB，D1C1/?/AB，D1C1=AB，

故M，G，O，N【解析】(1)根據線線平行得四點共面，進而可得Q的軌跡是正六邊形，根據三角形的面積公式即可求解，

(2)根據數量積的幾何意義即可結合圖形求解最值．

本題考查空間向量的應用，涉及平面向量基本定理的應用，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)證明：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，

所以D1E=(1,1,?1)，DA1=(1,0,1)，

因為D1E?DA1=1×1+1×0+(?1)×1=0，

所以D1E⊥DA1，即D1E⊥A1D.

(2)因為AC=(?1,2,0)，AD1=(?1,0,1)，

設n=(x,y,z)為平面ACD1的法向量，則n⊥AC，n⊥AD1，【解析】(1)以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，求出D1E、DA1的坐標，根據D1E?DA120.【答案】解：(1)由題意可知，圓C的圓心為(3,0)，半徑r=3．

①當直線l的斜率不存在時，即l的方程為x=6時，此時直線與圓相切，符合題意；

②當直線l的斜率存在時，設斜率為k，∴直線l的方程為y?1=k(x?6)，

化為一般式：kx?y+1?6k=0，若直線l與圓相切，

則d=|1?3k|k2+1=3，即1?6k+9k2=9k2+9，解得k=?43．

∴l：4x+3y?27=0．

綜上，當直線l與圓C相切時，直線l的方程為x=6或4x+3y?27=0．

(2)由題意可知，直線l的斜率一定存在，設斜率為k，

∴直線l的方程為y?1=k(x?6)，即kx?y+1?6k=0．

設圓心到直線l的距離為d，則d=|1?3k|k2+1，由垂徑定理可得，

d2【解析】(1)由圓的方程求得圓心坐標與半徑，當直線l的斜率不存在時，求得l的方程為x=4時；當直線l的斜率存在時，設斜率為k，可得直線l的方程為kx?y+1?6k=0，由圓心到直線的距離等于半徑列式求得k，可得直線l的方程；

(2)由題意可知，直線l的斜率一定存在，設斜率為k，可得直線方程kx?y+1?6k=0，由垂徑定理列式求解k，則直線方程可求．

本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的應用，訓練了利用垂徑定理求弦長，是中檔題．21.【答案】(1)解：由圓x2+y2=2，得到圓心(0,0)，半徑r=2，

由題意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，

∴SPAOB=2S△PAO=2×12|PA|?|AO|=2|PA|，

在Rt△PAO中，由勾股定理可得：|PA|2=|PO|2?r2=|PO|2?2，

當|PO|最小時，|PA|最小，此時所求的面積也最小，

點P是直線x?2y?5=0上的動點，

當PO⊥l時，|PO|有最小值d=|?5|5=5，此時|PA|=3，

∴所求四邊形PAOB