專題03軸對(duì)稱考點(diǎn)類型考點(diǎn)一遍過考點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形的識(shí)別典例1：（2022·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)“軸對(duì)稱圖形”的定義進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】解：A選項(xiàng)中的圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C選項(xiàng)中的圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D選項(xiàng)中的圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意.故選B.【點(diǎn)睛】熟記“軸對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形沿某條直線折疊，若直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形就叫軸對(duì)稱圖形”是解答本題的關(guān)鍵.【變式1】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列漢字中，能看成軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，若直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，由軸對(duì)稱圖形的概念不難判斷是軸對(duì)稱圖形的是：草．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，掌握軸對(duì)稱圖形的概念是關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；B選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；C選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形．D選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）下列四幅照片中，主體建筑的構(gòu)圖不對(duì)稱的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、該主體建筑的構(gòu)圖是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、該主體建筑的構(gòu)圖找不到對(duì)稱軸，不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C、該主體建筑的構(gòu)圖是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、該主體建筑的構(gòu)圖是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別．關(guān)鍵是能否找到一條直線，使圖形折疊后能夠完全重合．考點(diǎn)2：生活中的軸對(duì)稱典例2：（2022秋·河南濮陽·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問題，如圖所示，∠1=∠2，若∠3=35°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證∠1為（

）

A．65° B．60° C．55° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)圖形得出∠2的度數(shù)，即可求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵∠2+∠3=90°，∠3=35°，∴∠2=55°，∵∠1=∠2，∴∠1=55°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023春·四川樂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔．若一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（

）

A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，臺(tái)球走過的路徑為：

該球最后落入2號(hào)袋．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．軸對(duì)稱的性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；（2）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．注意結(jié)合圖形解題的思想；嚴(yán)格按軸對(duì)稱畫圖是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點(diǎn)D，一束光線AO照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點(diǎn)B在PD上，若∠AOC=35°，則∠OBD的度數(shù)為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據(jù)題意可得∠AOC=∠BOD，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】解：依題意，∠AOC=∠BOD，∠AOC=35°∴∠BOD=35°，∵PD⊥CD，∴∠OBD=90°-∠BOD=55°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中兩個(gè)銳角互余，入射角等于反射角，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到長方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球從P點(diǎn)出發(fā)第1次碰到長方形邊上的點(diǎn)記為A點(diǎn)，第2次碰到長方形邊上的點(diǎn)記為B點(diǎn)，……第2020次碰到長方形邊上的點(diǎn)為圖中的()A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2020除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖所示，經(jīng)過6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)P，∵2020÷6=336…4，∴當(dāng)點(diǎn)P第2020次碰到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的第4次反彈，∴第2020次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)D；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：軸對(duì)稱的性質(zhì)與應(yīng)用典例3：（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線A．△AA'P是等腰三角形 B．C．△ABC與△A'B'C'周長相等 D．直線【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線又∵對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，∴AP=A∴△AA'P∵軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，∴MN垂直平分CC'，選項(xiàng)∵軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)的角、線段都相等，∴△ABC與△A'B∵直線AB、A'B'關(guān)于直線MN∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)的角、線段都相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等．【變式1】（2023春·山東棗莊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中：①△ABC≌△A'B'C'；②∠BAC'

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)來進(jìn)行解答即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱性可得：△ABC≌△A'B'C'；∠BAC'=∠B'AC；直線l垂直平分CC'；線故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，（1）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形；（2）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)一定在在對(duì)稱軸上．【變式2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=55°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B'，則

A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】先求出∠C=35°，∠AB【詳解】解：∵∠B=55°，∠ABC=90°，∴∠C=90°-55°=35°，∵AD⊥BC，△ADB與△ADB關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴∠AB∵∠AB∴∠CAB故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P'，P″分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，且P'P″

A．5cm B．6cm C．7cm D【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PM=P【詳解】解：∵點(diǎn)P'，P″分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，∴PM=P∴△PMN的周長=PM+MN+PN=P故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱軸上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相等．考點(diǎn)4：線段垂直平分線的應(yīng)用典例4：（2023·山東濟(jì)南·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分別以邊A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于F、G兩點(diǎn)，連接F、G分別交于AB于E、BC于D，連接AD，若CD=3，則BC

A．6 B．63 C．9 D．【答案】C【分析】利用基本作圖得到DE垂直平分AB，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DA，所以∠DAB=∠B=30°，求出∠CAD=30°，利用含30度角直角三角形三邊的關(guān)系求AD，然后計(jì)算BD+CD即可．【詳解】解：由作法得DE垂直平分AB，∴DB=DA，∵∠B=30°，∴∠DAB=∠B=30°，∵∠C=90°，∴∠BAC=60°，∴∠CAD=60°-30°=30°，在Rt△ACD中，AD=2CD=6∴BD=6，∴BC=BD+CD=6+3=9．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：作已知線段的垂直平分線．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角直角三角形的性質(zhì)．【變式1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）電信部門要再S區(qū)修建一座手機(jī)信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路OC，OD的距離也必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)建在（

）A．∠COD的平分線上任意某點(diǎn)處 B．線段AB的垂直平分線上任意某點(diǎn)處C．∠COD的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 D．∠COD的平分線和線段AB垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】D【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，∴發(fā)射塔應(yīng)建在線段AB垂直平分線上．∵發(fā)射塔到兩條高速公路OC，OD的距離相等，∴發(fā)射塔應(yīng)建在∠COD的平分線上．∴發(fā)射塔應(yīng)建在∠COD的平分線和線段AB垂直平分線的交點(diǎn)處．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線和角平分線的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式2】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知△ABCAC<BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PC=BC，則符合要求的作圖痕跡是（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)圖形及垂直平分線的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得到答案；【詳解】解：A：由圖像可得，BA=BP，可得AB+PC=BC，不符合題意，B：由圖像可得，PA=PC，可得PA+PC=2PC≠BC，不符合題意，C：由圖像可得，CA=CP，可得AC+PC=BC，不符合題意，D：由圖像可得，PA=PB，可得PA+PC=BC，符合題意，故選D；【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【變式3】（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C為三個(gè)居民小區(qū)，在三個(gè)小區(qū)之間建有一個(gè)超市，如果超市恰好在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，那么超市（

）

A．距離A較近 B．距離B較近C．距離C較近 D．與A，B，C三點(diǎn)的距離相同【答案】D【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，又∵超市恰好在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，∴超市與A，B，C三點(diǎn)的距離相同，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【變式4】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)做了一個(gè)如圖所示的風(fēng)箏，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．則下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A．EH=FH B．∠DEH=∠DFHC．EF垂直平分DH D．點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線DH對(duì)稱【答案】C【分析】先證明△EDH≌△FDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的判定及性質(zhì)可依次判斷各選項(xiàng)的正確性．【詳解】解：在△EDH和△FDH中ED=FD∴△EDH≌△FDH．∴EH=FH，∠DEH=∠DFH．故選項(xiàng)A，B不符合題意．∵ED=FD，EH=FH，∴DH為線段EF的垂直平分線，即DH垂直平分EF．∴點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線DH對(duì)稱．故選項(xiàng)C符合題意，選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)和線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，牢記全等三角形的判定及性質(zhì)和線段垂直平分線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將長方形紙片沿AC折疊后點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則下列關(guān)于線段BE與AC的關(guān)系描述正確的是（

）

A．AC=BE B．AC和BE相互垂直平分C．AC⊥BE且AC=BE D．AC⊥BE且AC平分BE【答案】D【分析】只要證明AC是線段BE的垂直平分線即可解決問題．【詳解】解：∵△ACE是由△ACB翻折得到，∴AE=AB，CB=CE，∴AC⊥EB，AC平分EB，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、線段的垂直平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的判定，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．【變式6】（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）下列條件中，不能判定直線CD是線段AB（C，D不在線段AB上）的垂直平分線的是（）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線的概念與判定逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直線CD是線段AB（C，D不在線段AB上）的垂直平分線，不符合題意；B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直線CD是線段AB（C，D不在線段AB上）的垂直平分線，不符合題意；C、如圖，

CA=DA，CB=DB，不能判定直線CD是線段AB（C，D不在線段AB上）的垂直平分線，符合題意；D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直線CD是線段AB（C，D不在線段AB上）的垂直平分線，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的概念與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的概念與判定方法．【變式7】（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，BC=2，∠BAC=90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，則△AEF的周長為（

）

A．2 B．1 C．4 D．3【答案】A【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，F(xiàn)A=FC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，∴EA=EB，F(xiàn)A=FC，∴△AEF的周長=AE+EF+AF=EB+EF+FC=BC，∵BC=2，∴△AEF的周長為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式8】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE．若AD=4，△ABC的周長為24，則△ACE的周長為（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=8，根據(jù)已知條件得出AC+BC=16，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA=EB，AD=DB∴AB=2AD=8，∵△ABC的周長為24，則AB+AC+BC=8+AC+BC=24∴AC+BC=16∴△ACE的周長為AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=16，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱——求坐標(biāo)典例5：（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)校考期中）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為2m,-n，其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)3-n,-m+1，則m-n2022的值為（

A．32022 B．-1 C．1 D．【答案】C【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此求出m和n，再代入求值．【詳解】解：∵E2m,-n與F3-n,-m+1關(guān)于∴2m=-3-n解得m=-4n=-5∴m-n2022故選C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變形的性質(zhì)．【變式1】（2023春·湖北襄陽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)Pa+1,2a-3關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)<-1 B．-1<a<32 C．-3【答案】B【分析】首先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系得到點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為a+1,3-2a，根據(jù)點(diǎn)在第一象限可得不等式組，解之即可．【詳解】解：∵點(diǎn)Pa+1,2a-3關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為a+1,3-2a∴a+1>03-2a>0解得：-1<a<3故選B．【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，此題利用關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)之間的關(guān)系以及第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，借助于不等式組來解決．【變式2】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校考期中）平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P2-m,12m關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限，則A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)Px,y，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是x,-y，記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶，另一種記憶方法是記?。宏P(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù)．P2-m,12m關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限，則點(diǎn)P在第一象限，從而橫縱坐標(biāo)都大于0【詳解】解：根據(jù)題意得：2-m>012解得：0<m<2．在數(shù)軸上表示其解集如下圖：

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．是需要識(shí)記的內(nèi)容．本題根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式組的問題．同時(shí)，本題還考查了用數(shù)軸表示不等式組的解集．【變式3】（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(4,3)．A'與A關(guān)于直線x=1對(duì)稱．則A'的坐標(biāo)為（A．-4,3 B．4,-1 C．-2,1 D．-2,3【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，軸對(duì)稱的性質(zhì)和對(duì)稱軸求解即可．【詳解】解：∵A(4,3)，A'與A關(guān)于直線x=1∴A'故選D．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)變化——軸對(duì)稱．掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)6：軸對(duì)稱變換——坐標(biāo)規(guī)律典例6：（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4CA．0 B．3×2332017 C．【答案】B【分析】根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OA2=23OC2=3×233；OA3=【詳解】解：∵∠A2O∴OA2=23∴OA∵2018=4×504+2，∴點(diǎn)A2018與A2位置相同，在∴點(diǎn)A2018故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型問題探究-點(diǎn)的坐標(biāo)：通過從一些特殊的點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．【變式1】（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)等腰直角三角形按如圖所示的規(guī)律擺放．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著“O→A1→A2→A3→A4…”的路線運(yùn)動(dòng)(每秒一條直角邊)，已知A1坐標(biāo)為1,1,A22,0A．2020,0 B．2019,1 C．1010,0 D．2020,-1【答案】A【分析】通過觀察可知，縱坐標(biāo)每6個(gè)進(jìn)行循環(huán)，先求出前面6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從中得出規(guī)律，再按規(guī)律寫出結(jié)果便可．【詳解】解：由題意知，A1（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0），A5（5，-1），A6（6，0），A7（7，1），…由上可知，每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于序號(hào)，縱坐標(biāo)每6個(gè)點(diǎn)依次為：1，0，1，0，-1，0這樣循環(huán)，∴A2020（2020，0），故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)規(guī)律題，根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從中找出規(guī)律來，這是解題的關(guān)鍵所在．【變式2】（2022·河南·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1,1,B1,-1,C-1,-1,D-1,1，y軸上有一點(diǎn)P0,2，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P2，作點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)P3，作點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)P4，作點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A．0,2 B．2,0 C．0,-2 D．-2,0【答案】C【分析】首先求出點(diǎn)P1，P2，P3，P4的坐標(biāo)，從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)以4為周期，作循環(huán)往復(fù)的周期變化，即可解決問題．【詳解】解：∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），∴點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B（1，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)（0，-2），點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C（-1，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)D（-1，1）的對(duì)稱點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（0，2），即點(diǎn)P4與點(diǎn)P重合了；∵2018=4×504+2，∴點(diǎn)P2018的坐標(biāo)為（0，-2），故選C．【點(diǎn)睛】該題以平面直角坐標(biāo)系為載體，以探索點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律為考查的核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是首先探索出個(gè)別點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，然后從特殊到一般去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，進(jìn)而利用規(guī)律去解決問題．【變式3】（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱；在射線AD上取點(diǎn)E，連接BE，CE，如圖2，在射線AD上取點(diǎn)F，連接BF，CF，如圖

A．10 B．15 C．21 D．28【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定方法先得出圖1和圖2中全等三角形的對(duì)數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是nn+1【詳解】解：∵△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD（∴圖1中有1對(duì)三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE（∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，在△BDE，△CDE中，∴△BDE≌△CDE（∴圖2中有1+2=3對(duì)三角形全等；同理：圖3中有1+2+3=6對(duì)三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是nn+1所以：第6個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是6×72故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)7：軸對(duì)稱變換——作圖典例7：（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（﹣2，1），（﹣1，3）．（1）請(qǐng)你在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出原點(diǎn)；（2）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′，然后寫出A′，B′，C′的坐標(biāo)；（3）小芳在（2）中的操作時(shí)來了靈感，并發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律：若將（2）中作軸對(duì)稱圖記作第1次操作（變換），那么從△ABC開始順次沿y軸、x軸進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，則原來的點(diǎn)A經(jīng)過第2021次變換后所得的坐標(biāo)是_______（請(qǐng)直接寫出坐標(biāo)）．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；A（﹣4，5），A′（4，5），B′（2，1），C′（1，3）；（3）（4，5）．【分析】（1）根據(jù)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)作出平面直角坐標(biāo)系即可；（2）作出平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可；（3）先求出變換前4次的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到4次一個(gè)循環(huán)，從而2021次變換后所得的坐標(biāo)與A′相同，即可求解．【詳解】解：（1）平面直角坐標(biāo)系如圖所示：（2）由（1）得：A（﹣4，5）；如圖，△A′B′C′即為所求作；然后寫出A′（4，5），B′（2，1），C′（1，3）．（3）第一次變換后得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′（4，5）；第二次變換后得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A″（4，-5第三次變換后得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A?（-4，-5第四次變換后得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'?（-4，??由此發(fā)現(xiàn)，變換4次為一個(gè)循環(huán)，∵2021÷4＝505…1，∴2021次變換后所得的坐標(biāo)與A′相同，即（4，5）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變換——軸對(duì)稱，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征及規(guī)律性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握畫軸對(duì)稱圖形的步驟，對(duì)于圖象的變換關(guān)鍵看點(diǎn)的變換．【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)△ABC，頂點(diǎn)A-1，3，B

(1)將△ABC向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，作出平移后的△A(2)畫出△A1B1C(3)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長為1，則△A2B【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)9【分析】（1）按要求將△ABC向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，即各點(diǎn)的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)減1，可作出△A（2）在（1）前提下，按要求作出△A（3）運(yùn)用割補(bǔ)法進(jìn)行列式，即可得△A【詳解】（1）解：將△ABC向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，則A11，2，如圖所示：

；（2）解：如圖所示：

；（3）解：S△【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，正確掌握平移作圖是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A-3,5，B-2,1，(1)若△ABC和△A1B1C1關(guān)于x軸成軸對(duì)稱，畫出(2)在y軸上求作一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出P點(diǎn)．【答案】(1)圖見解析，C(2)見解析【分析】（1）先找出點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可得出△A1B（2）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交y軸于點(diǎn)P【詳解】（1）如圖，△A1B故答案為：C1（2）如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱作圖，寫出平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，以及軸對(duì)稱最短問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·江蘇淮安·七年級(jí)淮安市徐楊中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在8×8正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱△(2)在直線l上找一點(diǎn)P，使得PC'【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可畫出圖形；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可得答案．【詳解】（1）解：（1）如圖，由對(duì)稱性分別作出點(diǎn)A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)A'、B∴△A'B'C'即為所求；

（2）解：如圖，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，PB=PB∴|PC'-PB|=∴當(dāng)P、B'∴延長C'B，交直線l與點(diǎn)

此時(shí)|PC'-PB|最大．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱-最短路線問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8：網(wǎng)格中的軸對(duì)稱設(shè)計(jì)典例8：（2023春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將正方形網(wǎng)格圖中的某兩個(gè)白色方格涂上顏色，使整個(gè)圖形有四條對(duì)稱軸．正確的涂色位置是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．①③【答案】C【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的作圖方法作圖，即可得出答案．【詳解】解：如圖：故在②③位置涂色，即可滿足有4條對(duì)稱軸，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格圖中再涂黑一個(gè)小正方形，使它與原來涂黑的小正方形組成的新圖案為軸對(duì)稱圖形，則涂法有（

）

A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，找到對(duì)稱軸即可得答案．【詳解】解：如下圖，

∵圖形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線AB，∴把1、2、3三個(gè)正方形涂黑，與原來涂黑的小正方形組成的新圖案仍然是軸對(duì)稱圖形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是找到對(duì)稱軸．【變式2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）圖1，圖2均是由大小相等的的正方形組成的，現(xiàn)在圖2中添加一個(gè)同樣大小的正方形，若所得圖形與圖1不全等，則添加的正方形是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)圖示，通過變換比較即可求解．【詳解】解：A選項(xiàng)，添加①，水平翻轉(zhuǎn)與圖1全等，不符合題意；B選項(xiàng)，添加②，垂直翻轉(zhuǎn)與圖1全等，不符合題意；C選項(xiàng)，添加③，水平翻轉(zhuǎn)，再垂直翻轉(zhuǎn)與圖1全等，不符合題意；D選項(xiàng)，添加④，與圖1不全等，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】考查的是圖形的變換，掌握?qǐng)D形變換，從不同角度分析圖形是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)校聯(lián)考期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉執(zhí)圓子，淇淇執(zhí)方子．棋盤中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉將第4枚圓子放入棋盤后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．則嘉嘉放的位置是（

）A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）【答案】B【分析】首先根據(jù)題意確定出（0，0）的位置，其次根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義確定出位置即可．【詳解】解：由右下角方子的位置用（2，－1）表示，得：左上角的圓子可以用（0，0）表示，整個(gè)圖形若為軸對(duì)稱圖形，則其所棋子放的位置在（1，1）處，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱圖形、平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形定義，即一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線為對(duì)稱軸．考點(diǎn)9：最短路徑問題——將軍飲馬典例9：（2022秋·廣東江門·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面積為12，CD⊥AB于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接BP，PD，則△PBD的周長的最小值是（

）

A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】連接PC，由AC=BC得到△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)及△ABC的面積為12得到DB=12AB=3，CD=4，由直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則PB=PC，由P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)得到PB+PD=PC+PD≥CD，即當(dāng)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，【詳解】解：如圖，連接PC，

∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB=6，CD⊥AB于點(diǎn)D，△ABC的面積為12，∴DB=12AB=∴CD=4，∵直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，∴PB=PC，∵P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PB+PD=PC+PD≥CD，∴當(dāng)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，∴△PBD的周長為PB+PD++BD≥CD+BD=4+3=7，即△PBD的周長的最小值是7．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱最短路線問題的應(yīng)用、三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確當(dāng)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，【變式1】（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（

A．EF B．AB C．AC D．BC【答案】C【分析】連接AK，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AK=BK，求得BK+CK=AK+CK，得到AK+CK的最小值=BK+CK的最小值，于是得到當(dāng)AK+CK=AC時(shí)，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AK，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AK=BK，∴BK+CK=AK+CK，∴AK+CK的最小值=BK+CK的最小值，∵AK+CK≥AC，∴當(dāng)AK+CK=AC時(shí)，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是線段AC的長度，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·山西運(yùn)城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)A關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B∴A'∴AC+BC=A在街道上任取除點(diǎn)C以外的一點(diǎn)C'，連接A'C'，∴AC在ΔA∴A'∴AC∴點(diǎn)C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。?/p>

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短路線的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題．會(huì)作對(duì)稱點(diǎn)是解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用．另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會(huì)有變式：請(qǐng)你找出點(diǎn)C的位置．【變式3】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分別找到一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A'，A''，即可得出∠A【詳解】解：作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A'，A''，連接A'，A''，交BC于M，交ED于N，則A'，A''即為

∵∠BAE=120°，∴∠HAA∴∠A∵∠A'=∠MA且∠A'+∠MA∴∠A故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式4】（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠C=α°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（

）A．α B．2α C．180-α D．180-2α【答案】D【分析】要使△AEF的周長最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，即可得出【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于E∴AF=A″F∴∠EA'A=∠EA則A'A″∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°∴∠DAB=180°-α，∴∠AA∵∠EA'A=∠EA∴∠EAA∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．【變式5】（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是BD，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在BC上，且BM=1，則PM+PN的最小值為（

）A．3 B．23 C．3.5 D．【答案】A【分析】作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接PM'，則PM'=PM，BM=BM'=1，當(dāng)N，P，M'在同一直線上，且【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接PM'，則P∴PN+PM=PN+PM當(dāng)N，P，M'在同一直線上，且M'N⊥AC時(shí)，PN+P此時(shí)，∵Rt△AM'N∴M∴PM+PN的最小值為3，故選擇A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線問題，30°直角三角形性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．考點(diǎn)10：等腰三角形的性質(zhì)——求角、周長典例10：（2023春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M、N，連接CD．若∠B=30°，∠A=55°，則∠ACD=（

A．65° B．60° C．55° D．45°【答案】A【分析】先根據(jù)題意得出MN是線段BC的垂直平分線，故可得出CD=BD，即∠B=∠BCD，再由∠B=30°，∠A=55°知∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，根據(jù)∠ACD=∠ACB-∠BCD可得答案．【詳解】解：∵根據(jù)題意得出MN是線段BC的垂直平分線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD=30°．∵∠B=30°，∠A=55°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=65°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？奸_學(xué)考試）如圖，已知△ABC≌△A'BC'，AA'

A．40° B．35° C．50° D．20°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAA【詳解】解：∵AA∴∠BAA∵△ABC≌△A∴BA=BA'，∴∠BAA∴∠A∴∠ABC∴∠CBC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC和△A'B'C'中，A．30° B．n° C．n°或180°-n° D．30°或150°【答案】C【分析】分情況BC=B'C【詳解】解：當(dāng)BC=B'C∴∠C當(dāng)BC≠B'C∵A'∴∠A∴∠A∴∠C'=n°故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等證明、等腰三角形的性質(zhì)，正確構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵.【變式3】（2023秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)北京豐臺(tái)二中?？奸_學(xué)考試）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=7，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得AD=BC=7，AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得AB=AE，最后根據(jù)【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=7，∴∠AEB=∠CBE.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=∴DE=故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定等，理解平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，AD=6，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若△AED的周長為16，則邊AB的長為（）

A．10 B．8 C．6 D．16【答案】A【分析】由題意可知∠ABD=∠DBC，∠EDB=∠DBC，有∠ABD=∠EDB，可知BE=DE，由三角形的周長可求AE+ED的值，由AB=AE+BE=AE+DE可求AB的值．【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線∴∠ABD=∠DBC∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC∴∠ABD=∠EDB∴BE=DE∵△AED的周長為16，∴AE+ED+AD=16∵AD=6，∴AE+ED=10∴AB=AE+BE=AE+DE=10故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出BE=DE．【變式5】（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)D作直線EF平行于BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若BE=2，CF=3，則線段EF的長是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)可求出∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD．根據(jù)角平分線的定義可得出∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，從而得出∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，進(jìn)而得出ED=EB，F(xiàn)D=FC，最后即可求出EF的長．【詳解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD．∵BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，∴ED=EB，F(xiàn)D=FC，∴EF=DE+DF=BE+CF=2+3=5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定．能結(jié)合角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明△BDE與△CDF【變式6】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AD=5，將長方形沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，DE與BC交于點(diǎn)F，且BF=3，則EF的長為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得出∠FDB=∠FBD，根據(jù)等角對(duì)等邊得出FB=FD=3，即可得出答案．【詳解】解：在長方形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠FBD，由折疊的性質(zhì)可知，DE=AD=5，∠FDB=∠ADB，∴∠FDB=∠FBD，∴FB=FD=3，∴EF=DE=DF=5-3=2，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出FB=FD=3．【變式7】（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，連接AC，作AE垂直CD于E，若AB=AC，∠BAC=∠CAE=20°，∠BCD的度數(shù)為（

）

A．160° B．150° C．135° D．120°【答案】B【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC=∠ACB=80°，再根據(jù)垂直定義可得∠AEC=90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠ACE=70°，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，∴∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∵∠CAE=20°，∴∠ACE=90°-∠CAE=70°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACE=150°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)11：等腰三角形的性質(zhì)——三線合一典例11：（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，AE=AD，求∠CDE的度數(shù)．

【答案】∠CDE=20°．【分析】由AB=AC，AD⊥BC，得∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD=40°，由AD=AE得∠ADE=∠AED=1【詳解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD=40°（三線合一），∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠EAD=∴∠ADE=∠AED=1∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【變式1】（2023秋·陜西榆林·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，連接OB，OC．

(1)試說明：BO=AO；(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)15°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，結(jié)合線段的垂直平分線性質(zhì)證明；（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，等腰三角形中等邊對(duì)等角原理，直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．【詳解】（1）因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，所以AD是BC的垂直平分線，所以BO=CO，因?yàn)镺E是AC的垂直平分線，所以AO=CO，所以BO=AO；（2）因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以AD平分∠BAC，因?yàn)椤螩AD=25°，所以∠BAD=∠CAD=25°，所以∠BAC=50°，因?yàn)镺E⊥AC，所以∠AEF=90°，所以∠EFA=90°-50°=40°，所以∠BFO=180°-∠EFA=140°，因?yàn)锳O=BO，所以∠OBA=∠BAD=25°，所以∠BOF=180°-∠BFO-∠OBA=15°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC．

(1)若AD=AE，求證：BD=CE；(2)若BD=CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，求證：AF⊥BC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等腰三角形三線合一，得BG=CG，（2）先求證BF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一求證結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴BG=CG，∴BG-DG=CG-EG，∴BD=CE；（2）∵BD=CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD+DF=CE+EF，∴BF=CF∵AB=AC，∴AF⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)；熟練運(yùn)用三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說明AD與EF的關(guān)系．【答案】AD垂直平分EF，理由見解析【分析】首先證明△ADE≌△ADF，得到AE=AF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到直線AD垂直平分EF．【詳解】解：AD垂直平分EF．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD=∠FAD，DE=DF．在△ADE和△ADF中，∵∠DAE=∠DAF∴△ADE≌△ADFAAS∴AE=AF，∵AD平分∠BAC，∴直線AD垂直平分EF．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【變式4】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）命題：等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等.請(qǐng)你依據(jù)所給圖形，寫出已知，求證，并證明它是定理.已知：______求證：______證明：【答案】如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB與E，DF⊥AC與F；DE=DF；證明見解析【分析】先寫出已知、求證，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明．【詳解】已知：如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：DE=DF．證明：連接AD，如圖，∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∴AD為∠BAC的平分線（三線合一的性質(zhì)），又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊相等），∴等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等．故答案為：如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F；DE=DF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．【變式5】（2022秋·新疆阿勒泰·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC平分線AD與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E向AB作垂線EF，DE與EF相等嗎？說明你的理由【答案】DE=EF，理由見解析．【分析】首先利用AB=AC，AD平分∠BAC得到AD⊥BC，然后根據(jù)BG平分∠ABC，EF⊥AB證得DE=EF即可．【詳解】解：DE=EF；理由如下：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴DE=EF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．【變式6】（2022秋·北京海淀·八年級(jí)北京二十中?？茧A段練習(xí)）如圖：在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．(1)求證：DE=DF；(2)若∠A=60°,BE=2，求△ABC的周長．【答案】(1)見解析(2)24【分析】（1）連接AD，可得AD平分∠BAC，再根據(jù)AAS證明△ADE≌△ADF，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件證明△ABC為等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=1【詳解】（1）證明：連接AD，∵AB=AC，D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，又AD=AD，∴△ADE≌△ADFAAS，∴DE=DF；（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠B=60∵∠BED=90°，∴∠BDE=30°，∴BE=1∵BE=2，∴BD=4，∴BC=2BD=8，∴△ABC的周長為24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三線合一，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式7】（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．（1）如圖①，求證：AD平分∠BAC；（2）如圖②，連接BC，延長AD交BC于點(diǎn)E．求證：AE⊥BC．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接BC，利用等腰三角形的性質(zhì)以及角的和與差，得到∠DBC＝∠DCB，DB=DC，再利用SSS證明△ABD≌△ACD，即可證明AD平分∠BAC；（2）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：連接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB=DC，在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=ADDB=DC∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）證明：由（1）可知：AD平分∠BAC，即AE平分∠BAC，又∵AB=AC，∴AE⊥BC【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)12：等腰三角形的判定與性質(zhì)——平行+角平分典例12：（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（

）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】①根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義可以得∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，從而得到△DFB，△FEC都是等腰三角形；②同①有DF=DB，F(xiàn)E=EC，所以DE=DF+FE=DB+EC；③由②得：△ADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC；④因?yàn)椤螦BC不一定等于∠ACB，所以∠FBC不一定等于∠FCB，所以BF與CF不一定相等．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．故①正確；∴DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，故②正確；∴△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC，故③正確；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF與CF不一定相等，故④錯(cuò)誤；①②③正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來判定等腰三角形；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·山東德州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，∠1=58°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠FGB的度數(shù)等于（

）A．29° B．151° C．122° D．109°【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠EFD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠GFD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答．【詳解】∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=12∠EFD=12∵AB∥CD，∴∠FGB=180°-∠GFD=151°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，比較簡單，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，∠B、∠C的平分線相交于F，過點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論正確的是(①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長為AB+AC；④BD=CE．A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】解：∵DE∥∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．故①正確，∴DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，故②正確，∴△ADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故③正確，BD，CE不一定相等，故故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的兩個(gè)內(nèi)角的平分線BO，CO相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，若△AMN的周長為15，BC=8，則△ABC的周長為（A．15 B．19 C．23 D．31【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可知MO=MB，NO=NC，根據(jù)△AMN的周長可知AB+AC的長，進(jìn)一步可得【詳解】解：∵△ABC的兩個(gè)內(nèi)角的平分線BO，CO相交于點(diǎn)∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO∵M(jìn)N∥∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠BCO∴∠MOB=∠MBO，∠NCO=∠NOC∴MO=MB，NO=NC∴MN=MB+NC，∵△AMN的周長為15，∴AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=15，∵BC=8，∴△ABC的周長為15+8=23，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2023·浙江嘉興·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN=1，則BC的長為（）A．4 B．6 C．43 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可以求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)可以求得NC的長，從而可以求得BC的長．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查30°角的直角三角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式5】（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】∵∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，設(shè)∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵DE//BC，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF與△CEF為等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，△ADE的周長為AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，∵只有當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，∴②③正確，①④不正確，∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝180°-80°2＝50°∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)13：等邊三角形的性質(zhì)——30°角直角三角形典例13：（2023春·福建三明·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，則S△BCDS

A．14 B．13 C．12【答案】C【分析】由直角三角形性質(zhì)，得∠ABC=60°，進(jìn)一步計(jì)算得證∠ABD=∠A，于是AD=BD，而BD=2CD，進(jìn)一步根據(jù)面積公式求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=30°．∴∠ABD=∠A．∴AD=BD．Rt△BCD中，BD=2CD∴AD=BD=2CD．∴S△BCD故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形等角對(duì)等邊，30°角直角三角形性質(zhì)；由直角三角形性質(zhì)得出線段間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE是∠ACB的平分線，CE交AD于點(diǎn)P．若AB=12，則AP的長為(

)

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出AE=4，進(jìn)而證明△AEP是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，∴∠ACB=60°，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠BCE=∠ACE=1∴在Rt△ACE中，AE=又∵∠BCE=∠B=30°，∴EB=EC，∠AEC=∠B+∠BCE=60°，∴AB=EB+AE=EC+AE=2AE+AE=3AE，∵AB=12，∴AE=4，∵AD⊥BC，∠ACB=60°，∴∠DAC=90°-60°=30°，∴∠EAP=∠BAC-∠DAC=60°∴△AEP是等邊三角形，∴AP=AE=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等邊三角形的性質(zhì)，得出△AEP是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，AC=6，則CD的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接BD，由垂直平分線得BD=AD，可求得∠CBD=30°，于是CD=12BD=12【詳解】解：連接BD，∵DE是AB的垂直平分線，∴BD=AD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=180°-90°-30°×2=30°，∴∠CBD=∠ABD=30°，∴CD=1∵AC=6，∴3CD=6，∴CD=2．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，30o角直角三角形性質(zhì)；添加輔助線，運(yùn)用垂直平分線導(dǎo)出角之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=3，則AD的長度為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠BCD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】∵∠ACB=90°,∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°，∵∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-60°=30°，在Rt△CDB中，∠BCD=30°∴BC=2BD=6，在Rt△ACB中，∠A=30°∴AB=2BC=12，∴AD=AB-BD=12-3=9，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【變式4】（2022秋·福建莆田·八年級(jí)校考期末）在Rt△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長為10，則AB的長為（

A．12 B．20 C．10 D．5【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用定理：在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【詳解】解：Rt△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長為10∴AB=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題中的直角邊與斜邊，再利用定理進(jìn)行求解．【變式5】（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期中）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，下列說法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ，④BP＝2PQ，其中一定正確的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，通過全等的性質(zhì)得到∠1＝∠2，證得∠APE＝∠C＝60°，故②正確；再根據(jù)BQ⊥AD，得到∠PBQ＝30°，進(jìn)而BP＝2PQ，故④正確；由BD＝CE，得到AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正確；根據(jù)題中條件，無法判斷BQ＝AQ，故③錯(cuò)誤，從而得到結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE和△CAD中，{AB∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠1＝∠2，∴∠BPQ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝60°，∴∠APE＝∠C＝60°，故②正確；∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝90°?∠BPQ＝90°?60°＝30°，∴BP＝2PQ，故④正確；∵AC＝BC，AE＝DC，∴BD＝CE，∴AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正確；根據(jù)題中條件，無法判斷BQ＝AQ，故③錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．考點(diǎn)14：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合典例14：（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖（1），在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s

(1)當(dāng)x=時(shí)，PQ⊥AC；(2)當(dāng)0<x<2時(shí)，求出使PQ∥AB的(3)當(dāng)2<x<4時(shí)，①是否存在x，使△BPQ是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；②設(shè)PQ與AD交于點(diǎn)O，探索：OP與OQ的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)45(2)x=4(3)165【分析】（1）先證△ABC為等邊三角形，則當(dāng)∠CPQ=30°時(shí)，PQ⊥AC，即2x=1（2）當(dāng)0<x<2，點(diǎn)P在BD上，點(diǎn)Q在AC上，證△PCQ為等邊三角形，則PC=CQ，即4-x=2x，求解即可；（3）當(dāng)2<x<4時(shí)，點(diǎn)P在CD上，點(diǎn)Q在AB上，①分兩種情況，當(dāng)∠BPQ=90°或∠BQP=90°時(shí)，②作QH⊥AD于H，證△OQE≌△OPDAAS【詳解】（1）如圖（1），BP=xcm，CQ=2x∵AB=BC=CA=4cm∴△ABC為等邊三角形，∴∠C=60°，∴當(dāng)∠CPQ=30°時(shí)，PQ⊥AC，∴CQ=12PC，即2x=故答案為：45（2）當(dāng)0<x<2，點(diǎn)P在BD上，點(diǎn)Q在AC上，如圖（2）(備用)，

∵PQ∥∴∠QPC=∠B=60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴PC=CQ，即4-x=2x，解得：x=4（3）當(dāng)2<x<4時(shí)，點(diǎn)P在CD上，點(diǎn)Q在AB上，AQ=2x-4，BP=x，