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文檔簡介
第2講不等式與線性規劃1.(2014·大綱全國)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx+2>0,,|x|<1))的解集為()A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}2.(2015·廣東)若變量x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x+5y≥8,,1≤x≤3,,0≤y≤2,))則z=3x+2y的最小值為()A.4B.eq\f(23,5)C.6D.eq\f(31,5)3.(2015·浙江)有三個房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色,且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用(單位:元/m2)分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用(單位:元)是()A.ax+by+cz B.az+by+cxC.ay+bz+cx D.ay+bx+cz4.(2015·重慶)設a,b>0,a+b=5,則eq\r(a+1)+eq\r(b+3)的最大值為________.1.利用不等式性質比較大小,利用基本不等式求最值及線性規劃問題是高考的熱點;2.一元二次不等式常與函數、數列結合考查一元二次不等式的解法和參數取值范圍;3.利用不等式解決實際問題.熱點一不等式的解法1.一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系,確定一元二次不等式的解集.2.簡單分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0);(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3.指數不等式、對數不等式及抽象函數不等式,可利用函數的單調性求解.例1(1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<-1或x>\f(1,2))),則f(10x)>0的解集為()A.{x|x<-1或x>-lg2}B.{x|-1<x<-lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}(2)已知函數f(x)=(x-2)(ax+b)為偶函數,且在(0,+∞)單調遞增,則f(2-x)>0的解集為()A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}思維升華(1)對于和函數有關的不等式,可先利用函數的單調性進行轉化;(2)求解一元二次不等式的步驟:第一步,二次項系數化為正數;第二步,解對應的一元二次方程;第三步,若有兩個不相等的實根,則利用“大于在兩邊,小于夾中間”得不等式的解集;(3)含參數的不等式的求解,要對參數進行分類討論.跟蹤演練1(1)關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=________.(2)已知f(x)是R上的減函數,A(3,-1),B(0,1)是其圖象上兩點,則不等式|f(1+lnx)|<1的解集是________________.熱點二基本不等式的應用利用基本不等式求最大值、最小值,其基本法則是:(1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),當x=y時,x+y有最小值2eq\r(p)(簡記為:積定,和有最小值);(2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值),當x=y時,xy有最大值eq\f(1,4)s2(簡記為:和定,積有最大值).例2(1)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均為正數,則eq\f(3,x)+eq\f(2,y)的最小值是()A.eq\f(5,3) B.eq\f(8,3)C.8 D.24(2)已知關于x的不等式2x+eq\f(2,x-a)≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實數a的最小值為()A.1 B.eq\f(3,2)C.2 D.eq\f(5,2)思維升華在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現錯誤.跟蹤演練2(1)(2015·天津)已知a>0,b>0,ab=8,則當a的值為________時,log2a·log2(2b)取得最大值.(2)若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則eq\f(1,a)+eq\f(1,b)的最小值是________.熱點三簡單的線性規劃問題解決線性規劃問題首先要找到可行域,再注意目標函數表示的幾何意義,數形結合找到目標函數達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要準確,整點問題要驗證解決.例3(1)(2015·北京)若x,y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y≤0,,x+y≤1,,x≥0,))則z=x+2y的最大值為()A.0B.1C.eq\f(3,2)D.2(2)(2014·安徽)x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y-2≤0,,x-2y-2≤0,,2x-y+2≥0.))若z=y-ax取得最大值的最優解不唯一,則實數a的值為()A.eq\f(1,2)或-1 B.2或eq\f(1,2)C.2或1 D.2或-1思維升華(1)線性規劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區域面積;三是確定目標函數中的字母系數的取值范圍.(2)一般情況下,目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.跟蹤演練3已知x,y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x,,y≤-x+2,,x≥a,))且目標函數z=2x+y的最小值為9,則實數a的值是()A.1 B.2C.3 D.71.若點A(a,b)在第一象限,且在直線x+2y=1上,則ab的最大值為()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)2.已知A(1,-1),B(x,y),且實數x,y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-y+2≥0,,x+y≥2,,x≤2,))則z=eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最小值為()A.2B.-2C.-4D.-63.已知函數f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x+3,x-2)x>2,,log22-xx<2,))則不等式f(x)≤4的解集為____________.4.已知不等式eq\f(2,x-1)≥eq\f(1,5)|a2-a|對于x∈[2,6]恒成立,則a的取值范圍是________.提醒:完成作業專題一第2講
二輪專題強化練專題一第2講不等式與線性規劃A組專題通關1.下列選項中正確的是()A.若a>b,則ac2>bc2B.若ab>0,a>b,則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C.若a>b,c<d,則eq\f(a,c)<eq\f(b,d)D.若a>b,c>d,則a-c>b-d2.不等式x2+x<eq\f(a,b)+eq\f(b,a)對任意a,b∈(0,+∞)恒成立,則實數x的取值范圍是()A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-2,1) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)3.(2015·山東)已知x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y≥0,,x+y≤2,,y≥0,))若z=ax+y的最大值為4,則a等于()A.3B.2C.-2D.-34.(2014·重慶)若log4(3a+4b)=log2eq\r(ab),則a+b的最小值是()A.6+2eq\r(3) B.7+2eq\r(3)C.6+4eq\r(3) D.7+4eq\r(3)5.已知二次函數f(x)=ax2+bx+c的導函數為f′(x),f′(0)>0,且f(x)的值域為[0,+∞),則eq\f(f1,f′0)的最小值為()A.3B.eq\f(5,2)C.2D.eq\f(3,2)6.已知函數f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x,x>0,,\f(1,3)x,x≤0,))那么不等式f(x)≥1的解集為________________.7.(2015·綿陽市一診)某商場銷售某種商品的經驗表明,該產品生產總成本C與產量q(q∈N*)的函數關系式為C=100-4q,銷售單價p與產量q的函數關系式為p=25-eq\f(1,16)q.要使每件產品的平均利潤最大,則產量q=________.8.(2015·資陽市測試)若兩個正實數x,y滿足eq\f(2,x)+eq\f(1,y)=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實數m的取值范圍是________.9.設0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B,求集合D10.運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規限制50≤x≤100)(單位:千米/小時).假設汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油(2+eq\f(x2,360))升,司機的工資是每小時14元.(1)求這次行車總費用y關于x的表達式;(2)當x為何值時,這次行車的總費用最低,并求出最低費用的值.B組能力提高11.(2015·陜西)設f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(eq\r(ab)),q=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2))),r=eq\f(1,2)(f(a)+f(b)),則下列關系式中正確的是()A.q=r<p B.q=r>pC.p=r<q D.p=r>q12.(2015·課標全國Ⅰ)若x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-1≥0,,x-y≤0,,x+y-4≤0,))則eq\f(y,x)的最大值為________.13.已知x>0,y>0,x+y+3=xy,且不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,則實數a的取值范圍是______________________________________.14.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數.(1)當0≤x≤200時,求函數v(x)的表達式;(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數,單位:輛/小時)f(x)=x·v(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).
學生用書答案精析第2講不等式與線性規劃高考真題體驗1.C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx+2>0,,|x|<1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0或x<-2,,-1<x<1,))所以0<x<1,所以原不等式組的解集為{x|0<x<1},故選C.]2.B[不等式組所表示的可行域如下圖所示,由z=3x+2y得y=-eq\f(3,2)x+eq\f(z,2),依題當目標函數直線l:y=-eq\f(3,2)x+eq\f(z,2)經過Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(4,5)))時,z取得最小值即zmin=3×1+2×eq\f(4,5)=eq\f(23,5),故選B.]3.B[令x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3.A項:ax+by+cz=1+4+9=14;B項:az+by+cx=3+4+3=10;C項:ay+bz+cx=2+6+3=11;D項:ay+bx+cz=2+2+9=13.故選B.]4.3eq\r(2)解析∵a,b>0,a+b=5,∴(eq\r(a+1)+eq\r(b+3))2=a+b+4+2eq\r(a+1)eq\r(b+3)≤a+b+4+(eq\r(a+1))2+(eq\r(b+3))2=a+b+4+a+b+4=18,當且僅當a=eq\f(7,2),b=eq\f(3,2)時,等號成立,則eq\r(a+1)+eq\r(b+3)≤3eq\r(2),即eq\r(a+1)+eq\r(b+3)最大值為3eq\r(2).熱點分類突破例1(1)D(2)C解析(1)由已知條件0<10x<eq\f(1,2),解得x<lgeq\f(1,2)=-lg2.(2)由題意可知f(-x)=f(x).即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0恒成立,故2a-b=0,即b=2a,則f(x)=a(x-2)(x+2).又函數在(0,+∞)單調遞增,所以a>0.f(2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.故選C.跟蹤演練1(1)eq\f(5,2)(2)(eq\f(1,e),e2)解析(1)由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)·(x-4a)<0,因為a>0,所以不等式的解集為(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=eq\f(5,2).(2)∵|f(1+lnx)|<1,∴-1<f(1+lnx)<1,∴f(3)<f(1+lnx)<f(0),又∵f(x)在R上為減函數,∴0<1+lnx<3,∴-1<lnx<2,∴eq\f(1,e)<x<e2.例2(1)C(2)B解析(1)∵a∥b,∴3(y-1)+2x=0,即2x+3y=3.∵x>0,y>0,∴eq\f(3,x)+eq\f(2,y)=(eq\f(3,x)+eq\f(2,y))·eq\f(1,3)(2x+3y)=eq\f(1,3)(6+6+eq\f(9y,x)+eq\f(4x,y))≥eq\f(1,3)(12+2×6)=8.當且僅當3y=2x時取等號.(2)2x+eq\f(2,x-a)=2(x-a)+eq\f(2,x-a)+2a≥2·eq\r(2x-a·\f(2,x-a))+2a=4+2a,由題意可知4+2a≥7,得a≥eq\f(3,2),即實數a的最小值為eq\f(3,2),故選B.跟蹤演練2(1)4(2)4解析(1)log2a·log2(2b)=log2a·(1+log2b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log2a+1+log2b,2)))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log2ab+1,2)))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log28+1,2)))2=4,當且僅當log2a=1+log2b,即a=2b時,等號成立,此時a=4,b=2.(2)易知圓x2+y2+2x-4y+1=0的半徑為2,圓心為(-1,2),因為直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,所以直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)過圓心,把圓心坐標代入得:a+b=1,所以eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=(eq\f(1,a)+eq\f(1,b))(a+b)=2+eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥4,當且僅當eq\f(b,a)=eq\f(a,b),a+b=1,即a=b=eq\f(1,2)時等號成立.例3(1)D(2)D解析(1)可行域如圖所示.目標函數化為y=-eq\f(1,2)x+eq\f(1,2)z,當直線y=-eq\f(1,2)x+eq\f(1,2)z過點A(0,1)時,z取得最大值2.(2)如圖,由y=ax+z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距,故當a>0時,要使z=y-ax取得最大值的最優解不唯一,則a=2;當a<0時,要使z=y-ax取得最大值的最優解不唯一,則a=-1.跟蹤演練3C[依題意,不等式組所表示的可行域如圖所示(陰影部分),觀察圖象可知,當目標函數z=2x+y過點B(a,a)時,zmin=2a+a=3a;因為目標函數z=2x+y的最小值為9,所以3a=9,解得a=3,故選C.]高考押題精練1.D[因為點A(a,b)在第一象限,且在直線x+2y=1上,所以a>0,b>0,且a+2b=1,所以ab=eq\f(1,2)·a·2b≤eq\f(1,2)·(eq\f(a+2b,2))2=eq\f(1,8),當且僅當a=2b=eq\f(1,2),即a=eq\f(1,2),b=eq\f(1,4)時,“=”成立.故選D.]2.C[畫出不等式組所表示的可行域為如圖所示的△ECD的內部(包括邊界),其中E(2,6),C(2,0),D(0,2).目標函數z=eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=x-y.令直線l:y=x-z,要使直線l過可行域上的點且在y軸上的截距-z取得最大值,只需直線l過點E(2,6).此時z取得最小值,且最小值zmin=2-6=-4.故選C.]3.{x|-14≤x<2或x≥eq\f(11,3)}解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2,,\f(x+3,x-2)≤4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2,,log22-x≤4,))解得x≥eq\f(11,3)或-14≤x<2,故不等式f(x)≤4的解集為{x|-14≤x<2或x≥eq\f(11,3)}.4.[-1,2]解析設y=eq\f(2,x-1),y′=-eq\f(2,x-12),故y=eq\f(2,x-1)在x∈[2,6]上單調遞減,即ymin=eq\f(2,6-1)=eq\f(2,5),故不等式eq\f(2,x-1)≥eq\f(1,5)|a2-a|對于x∈[2,6]恒成立等價于eq\f(1,5)|a2-a|≤eq\f(2,5)恒成立,化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-a-2≤0,,a2-a+2≥0,))解得-1≤a≤2,故a的取值范圍是[-1,2].
二輪專題強化練答案精析第2講不等式與線性規劃1.B[若a>b,取c=0,則ac2>bc2不成立,排除A;取a=2,b=-1,c=1,d=2,則選項C不成立,排除C;取a=2,b=1,c=1,d=-1,則選項D不成立,排除D.選B.]2.C[根據題意,由于不等式x2+x<eq\f(a,b)+eq\f(b,a)對任意a,b∈(0,+∞)恒成立,則x2+x<(eq\f(a,b)+eq\f(b,a))min,∵eq\f(a,b)+eq\f(b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))=2,∴x2+x<2,求解此一元二次不等式可知其解集為(-2,1).]3.B[不等式組表示的平面區域如圖陰影部分所示.易知A(2,0),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y=0,,x+y=2,))得B(1,1).由z=ax+y,得y=-ax+z.∴當a=-2或a=-3時,z=ax+y在O(0,0)處取得最大值,最大值為zmax=0,不滿足題意,排除C,D選項;當a=2或3時,z=ax+y在A(2,0)處取得最大值,∴2a=4,∴a4.D[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(ab)>0,,ab≥0,,3a+4b>0,))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,b>0.))又log4(3a+4b)=log2eq\r(ab),所以log4(3a+4b)=log4ab,所以3a+4b=ab,故eq\f(4,a)+eq\f(3,b)=1.所以a+b=(a+b)(eq\f(4,a)+eq\f(3,b))=7+eq\f(3a,b)+eq\f(4b,a)≥7+2eq\r(\f(3a,b)·\f(4b,a))=7+4eq\r(3),當且僅當eq\f(3a,b)=eq\f(4b,a)時取等號.故選D.]5.C[f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0,函數f(x)的值域為[0,+∞),所以a>0,且b2-4ac=0,即4ac=b2,所以c>0.又f(1)=a+b+c,所以eq\f(f1,f′0)=eq\f(a+b+c,b)=1+eq\f(a+c,b)≥1+eq\f(2\r(ac),b)=1+eq\f(\r(4ac),b)=1+1=2(當且僅當b=2a=2c時取等號),所以eq\f(f1,f′0)的最小值為2,故選C.]6.(-∞,0]∪[3,+∞)解析當x>0時,由log3x≥1可得x≥3,當x≤0時,由(eq\f(1,3))x≥1可得x≤0,∴不等式f(x)≥1的解集為(-∞,0]∪[3,+∞).7.40解析每件產品的利潤y=25-eq\f(1,16)q-eq\f(100-4q,q)=29-(eq\f(q,16)+eq\f(100,q))≤29-2eq\r(\f(q,16)·\f(100,q))=24,當且僅當eq\f(q,16)=eq\f(100,q)且q>0,即q=40時取等號.8.(-4,2)解析∵x+2y=(x+2y)(eq\f(2,x)+eq\f(1,y))=4+eq\f(x,y)+eq\f(4y,x)≥4+2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))=8,∴(x+2y)min=8,令m2+2m<8,得-4<m<2.9.解令g(x)=2x2-3(1+a)x+6a其對稱軸方程為x=eq\f(3,4)(1+a),Δ=9(1+a)2-48a=9a2-30a+9=3(3①當0<a≤eq\f(1,3)時,Δ≥0,x=eq\f(3,4)(1+a)>0,g(0)=6a>0,方程g(x)=0的兩個根分別為0<x1=eq\f(3a+3-\r(9a2-30a+9),4)<x2=eq\f(3a+3+\r(9a2-30a+9),4),∴D=A∩B=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3a+3-\r(9a2-30a+9),4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a+3+\r(9a2-30a+9),4),+∞));②當eq\f(1,3)<a<1時,Δ<0,則g(x)>0恒成立,所以D=A∩B=(0,+∞).綜上所述,當0<a≤eq\f(1,3)時,D=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3a+3-\r(9a2-30a+9),4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a+3+\r(9a2-30a+9),4),+∞));當eq\f(1,3)<a<1時,D=(0,+∞).10.解(1)行車所用時間為t=eq\f(130,x)(h),y=eq\f(130,x)×2×(2+eq\f(x2,360))+14×eq\f(130,x),x∈[50,100].所以,這次行車總費用y關于x的表達式是y=eq\f(2340,x)+eq\f(13,18)x,x∈[50,100].(2)y=eq\f(2340,x)+eq\f(13,18)x≥26eq\r(10),當且僅當eq\f(2340,x)=eq\f(13,18)x,即x=18eq\r(10)時,上述不等式中等號成立.故當x=18eq\r(10)時,這次行車的總費用最低,最低費用為26eq\r(10)元.11.C[∵0<a<b,∴eq\f(a+b,2)>eq\r(ab),又∵f(x)=lnx在(0,+∞)上為增函數,故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))>f(eq\r(ab)),即q>p.又r=eq\f(1,2)(f(a)+f(b))=eq\f(1,2)(lna+lnb)=eq\f(1,2)lna+eq\f(1,2)lnb=ln(ab)eq\f(1,2)=f(eq\r(ab))=p.故p=r<q.選C.]12.3解析畫出可行域如圖陰影所示,∵eq\f(
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