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專題6.3三角形的中位線1.掌握三角形中位線的概念與其性質(zhì)定理,并能用其進(jìn)行計(jì)算和證明。知識(shí)點(diǎn)01三角形的中位線定理【知識(shí)點(diǎn)】1)三角形的中位線:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段稱為中位線(三角形中有3條中位線)2)三角形中位線定理:如下圖,三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半,即若點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),.【知識(shí)拓展1】與中位線相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題例1.(2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,在中,,平分交于點(diǎn)D,點(diǎn)F在上,且,連接,E為的中點(diǎn),連接,則的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.4 D.5【即學(xué)即練】1.(2022·山東濰坊市·八年級(jí)期末)如圖,在中,是上一點(diǎn),于點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),若,則的長(zhǎng)為()A. B. C. D.2.(2022·福建安溪·九年級(jí)期中)如圖,四邊形ABCD中,AD=BC,點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn),E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),若∠EPF=130°,則∠PEF的度數(shù)為()A.25° B.30° C.35° D.50°【知識(shí)拓展2】與中位線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用例2.(2023春·福建廈門·八年級(jí)校考期中)如圖,,兩地被池塘隔開(kāi),小明在外選一點(diǎn),連接,,分別取,的中點(diǎn),,為了測(cè)量,兩地間的距離,則可以選擇測(cè)量以下線段中哪一條的長(zhǎng)度(
)A. B. C. D.【即學(xué)即練】1.(2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖所示,某居民小區(qū)為了美化居住環(huán)境,要在一塊三角形空地上圍一個(gè)四邊形花壇.已知點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn),量得米,則邊的長(zhǎng)是(
)A.6米 B.7米 C.8米 D.9米【知識(shí)拓展3】三角形的中位線與面積例3.(2021·四川內(nèi)江·中考真題)如圖,在邊長(zhǎng)為的等邊中,分別取三邊的中點(diǎn),,,得△;再分別取△三邊的中點(diǎn),,,得△;這樣依次下去,經(jīng)過(guò)第2021次操作后得△,則△的面積為()A. B. C. D.【即學(xué)即練】1.(2022·長(zhǎng)春市格致中學(xué)九年級(jí)期末)如圖,有一塊形狀為△的斜板余料,∠=90°,=6,=8,要把它加工成一個(gè)形狀為□的工件,使在邊BC上,、兩點(diǎn)分別在邊、上,若點(diǎn)是邊的中點(diǎn),則的面積為_(kāi)________.【知識(shí)拓展4】與中位線相關(guān)的證明問(wèn)題例4.(2022·山東東平八年級(jí)階段練習(xí))如圖,在中,AE平分,于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)(1)如圖1,BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D,求證:;(2)如圖2,中,,求線段EF的長(zhǎng).【即學(xué)即練4】1.(2022·山東煙臺(tái)市·八年級(jí)期末)如圖,在中,是邊的中線,是的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).求證:.題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.(2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,在中,平分,點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接,若,則的長(zhǎng)為()A. B.2 C.3 D.2.(2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,在中,D,E分別是,的中點(diǎn),是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,,.若的面積為,則的面積是()A.3 B.4 C.5 D.63.(天津市北辰區(qū)第三學(xué)區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)如圖每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為,在中,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),則線段的長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.4.(2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在中,、分別是、邊的中點(diǎn),已知的周長(zhǎng)為18,則的周長(zhǎng)為(
)A.6 B.8 C.9 D.125.(2023春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在中,已知,,平分交邊于點(diǎn)E,點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),則等于(
)A. B. C. D.6.(2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,在四邊形中,點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是邊上的定點(diǎn),連接,,E,F(xiàn)分別是,的中點(diǎn),連接,點(diǎn)P在由C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段的長(zhǎng)度()A.保持不變 B.逐漸變小C.先變大,再變小 D.逐漸變大7.(2023春·河北廊坊·八年級(jí)廊坊市第四中學(xué)校考期中)如圖,在中,是的中位線,F(xiàn)是邊的中點(diǎn),連接,若,,則四邊形的周長(zhǎng)為(
)A.8 B.10 C.12 D.148.(2023春·廣東珠海·八年級(jí)校考期中)如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是,的中點(diǎn),連接,若,則的長(zhǎng)為(
).A.12 B.6 C.3 D.1.59.(2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校考期中)如圖,在中,,D、E分別為的中點(diǎn),平分,交于點(diǎn)F,若,則的長(zhǎng)為(
)A.1 B. C.2 D.10.(2023春·廣西·八年級(jí)期中)如圖,D是內(nèi)一點(diǎn),,,,,E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn),則四邊形的周長(zhǎng)是()A.7 B.9 C.11 D.1311.(2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,在中,,平分交于點(diǎn)D,點(diǎn)F在上,且,連接,E為的中點(diǎn),連接,則的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.4 D.512.(2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中校考期中)如圖,在中,,在邊上截取,連接,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).已知,,如果是邊的中點(diǎn),連接,求的長(zhǎng).13.(2023·北京海淀·清華附中校考模擬預(yù)測(cè))下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,完成證明.已知:如圖,中,、分別是、的中點(diǎn).求證:,且.方法一證明:如圖,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接.方法二證明:如圖,過(guò)點(diǎn)作交于.14.(2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)如圖所示,點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),平分,且交于點(diǎn),點(diǎn)為邊的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且.(1)證明:四邊形是平行四邊形;(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系:______.題組B能力提升練1.(2022·四川宣漢·八年級(jí)期末)如圖,在平行四邊形中,為對(duì)角線,點(diǎn)是的中點(diǎn),且,,四邊形的周長(zhǎng)為10,則平行四邊形的周長(zhǎng)為()A.10 B.12 C.15 D.202.(2023春·山東日照·八年級(jí)校考期中)如圖,中,,斜邊,為的中點(diǎn),是上一點(diǎn),且,延長(zhǎng)到,使,連接,則的長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.3.(2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,的對(duì)角線相交于點(diǎn),點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),若厘米,的周長(zhǎng)是18厘米,則的長(zhǎng)度是(
).A. B. C. D.4.(2023春·河北石家莊·八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,在中,,以B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)M,交于點(diǎn),分別以,為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn),射線交于點(diǎn),若點(diǎn)為的中點(diǎn),則的長(zhǎng)是(
)A. B.2 C. D.35.(2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖,四邊形中,與不平行,M,N分別是的中點(diǎn),,則的長(zhǎng)可能是(
)A.4 B.6 C.8 D.106.(2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中)如圖在中,已知,于D,,若是的中點(diǎn),則(
)A.2.5 B.2 C. D.7.(2022·山東東營(yíng)市·八年級(jí)期末)如圖,在中,已知AB=8,BC=6,AC=7,依次連接的三邊中點(diǎn),得到,再依次連接的三邊中點(diǎn),得到,,按這樣的規(guī)律下去,的周長(zhǎng)為_(kāi)___.8.(2022·浙江杭州市·八年級(jí)模擬)在中,E是邊上的中點(diǎn),連接,并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.已知,,:則__________,__________.9.(2022·江蘇鹽城市·八年級(jí)期末)如圖,在中,,.(1)尺規(guī)作圖:(要求:保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)①作的平分線交于點(diǎn)D;②作邊的中點(diǎn)E,連接;(2)在(1)所作的圖中,若,則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.10.(2022·黑龍江肇源·八年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CF=3BF,連接DB,EF.(1)求證:四邊形DEFB是平行四邊形;(2)若∠ACB=90°,AC=12cm,DE=4cm,求四邊形DEFB的周長(zhǎng).11.(2022·吉林·長(zhǎng)春市九年級(jí)階段練習(xí))(教材呈現(xiàn))如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容.請(qǐng)根據(jù)教材提示,結(jié)合圖23.4.2,寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.(結(jié)論應(yīng)用)如圖,△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O,F(xiàn)、G分別是BO、CO的中點(diǎn),連結(jié)DE、EF、FG、GD.(1)求證:四邊形DEFG是平行四邊形;(2)若△ADE的面積為12,則四邊形DEFG的面積為.12.(2022·山東淄博市·八年級(jí)期末)如圖1,在中,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),點(diǎn)在內(nèi),平分,,點(diǎn)在邊上,.(1)求證:四邊形是平行四邊形.(2)判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系?證明你所得到的結(jié)論.(3)點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn),若的面積,請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積(不需要寫(xiě)出解答過(guò)程).題組C培優(yōu)拔尖練1.(2022·山東·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))中,點(diǎn)D、E、F分別為邊的中點(diǎn),作.若的面積是12,則的面積是()A.2 B.3 C.4 D.62.(2022·河南·淅川縣九年級(jí)期中)如圖,△ABC中,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),AD平分∠BAC,且BD⊥AD于點(diǎn)D.延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)N.若AB=4,DM=1,則AC的長(zhǎng)為()A.5 B.6 C.7 D.83.(2022·遼寧大東·九年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=18,BC=14,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),連接DE,BE,點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上,連接DM,若∠MDB=∠A,則四邊形DMBE的周長(zhǎng)為()A.16 B.24 C.32 D.404.(2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考期中)如圖,中,平分,平分的外角,于D,交于點(diǎn)F,于E,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,,,,則(
)A.4 B.6 C.8 D.105.(2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中)已知:如圖,、分別是的中線和角平分線,,,的長(zhǎng)為(
)A.10 B. C. D.6.(2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,是的中線,E是的中點(diǎn),F(xiàn)是延長(zhǎng)線與的交點(diǎn),若,則(
)A.3 B.2 C. D.8.(2022·江西撫州市·九年級(jí)期末)如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使CE=CD,連接OE交BC于點(diǎn)F,若BC=4,則CF=_____.9.(2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形的中位線有如下性質(zhì):三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半.下面請(qǐng)對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明.(1)如圖1,點(diǎn)D,E分別是的邊,的中點(diǎn),求證:,且;(2)如圖2,四邊形中,
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