專題6.3三角形的中位線1.掌握三角形中位線的概念與其性質(zhì)定理，并能用其進(jìn)行計(jì)算和證明。知識(shí)點(diǎn)01三角形的中位線定理【知識(shí)點(diǎn)】1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，.【知識(shí)拓展1】與中位線相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題例1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)F在上，且，連接，E為的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【即學(xué)即練】1．（2022·山東濰坊市·八年級(jí)期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2022·福建安溪·九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若∠EPF＝130°，則∠PEF的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．50°【知識(shí)拓展2】與中位線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用例2．（2023春·福建廈門·八年級(jí)校考期中）如圖，，兩地被池塘隔開(kāi)，小明在外選一點(diǎn)，連接，，分別取，的中點(diǎn)，，為了測(cè)量，兩地間的距離，則可以選擇測(cè)量以下線段中哪一條的長(zhǎng)度（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，某居民小區(qū)為了美化居住環(huán)境，要在一塊三角形空地上圍一個(gè)四邊形花壇．已知點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，量得米，則邊的長(zhǎng)是(

)A．6米 B．7米 C．8米 D．9米【知識(shí)拓展3】三角形的中位線與面積例3．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，分別取三邊的中點(diǎn)，，，得△；再分別取△三邊的中點(diǎn)，，，得△；這樣依次下去，經(jīng)過(guò)第2021次操作后得△，則△的面積為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2022·長(zhǎng)春市格致中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，有一塊形狀為△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一個(gè)形狀為□的工件，使在邊BC上,、兩點(diǎn)分別在邊、上，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則的面積為_(kāi)________．【知識(shí)拓展4】與中位線相關(guān)的證明問(wèn)題例4．（2022·山東東平八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，AE平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：；（2）如圖2，中，，求線段EF的長(zhǎng)．【即學(xué)即練4】1．（2022·山東煙臺(tái)市·八年級(jí)期末）如圖，在中，是邊的中線，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．3 D．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，D，E分別是，的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，．若的面積為，則的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（天津市北辰區(qū)第三學(xué)區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，在中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，、分別是、邊的中點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為18，則的周長(zhǎng)為(

)A．6 B．8 C．9 D．125．（2023春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知，，平分交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．6．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊上的定點(diǎn)，連接，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)P在由C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度（）A．保持不變 B．逐漸變小C．先變大，再變小 D．逐漸變大7．（2023春·河北廊坊·八年級(jí)廊坊市第四中學(xué)校考期中）如圖，在中，是的中位線，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，連接，若，，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．8 B．10 C．12 D．148．（2023春·廣東珠海·八年級(jí)校考期中）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）．A．12 B．6 C．3 D．1.59．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，D、E分別為的中點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．10．（2023春·廣西·八年級(jí)期中）如圖，D是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)是（）A．7 B．9 C．11 D．1311．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)F在上，且，連接，E為的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中校考期中）如圖，在中，，在邊上截取，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．已知，，如果是邊的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．13．（2023·北京海淀·清華附中校考模擬預(yù)測(cè)）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，中，、分別是、的中點(diǎn)．求證：，且．方法一證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．方法二證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于．14．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖所示，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，且交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：______．題組B能力提升練1．（2022·四川宣漢·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，，四邊形的周長(zhǎng)為10，則平行四邊形的周長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．15 D．202．（2023春·山東日照·八年級(jí)校考期中）如圖，中，，斜邊，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)到，使，連接，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，若厘米，的周長(zhǎng)是18厘米，則的長(zhǎng)度是（

）．A． B． C． D．4．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，以B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)，分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A． B．2 C． D．35．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形中，與不平行，M，N分別是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)可能是（

）A．4 B．6 C．8 D．106．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）如圖在中，已知，于D，，若是的中點(diǎn)，則（

）A．2.5 B．2 C． D．7．（2022·山東東營(yíng)市·八年級(jí)期末）如圖，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次連接的三邊中點(diǎn)，得到，再依次連接的三邊中點(diǎn)，得到，，按這樣的規(guī)律下去，的周長(zhǎng)為_(kāi)___．8．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)模擬）在中，E是邊上的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．已知，，：則__________，__________．9．（2022·江蘇鹽城市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，．（1）尺規(guī)作圖：（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的平分線交于點(diǎn)D；②作邊的中點(diǎn)E，連接；（2）在（1）所作的圖中，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．10．（2022·黑龍江肇源·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四邊形DEFB的周長(zhǎng)．11．（2022·吉林·長(zhǎng)春市九年級(jí)階段練習(xí)）（教材呈現(xiàn)）如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容．請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖23.4．2，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．（結(jié)論應(yīng)用）如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是BO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF、FG、GD．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）若△ADE的面積為12，則四邊形DEFG的面積為．12．（2022·山東淄博市·八年級(jí)期末）如圖1，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)，平分，，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．（3）點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，若的面積，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積（不需要寫(xiě)出解答過(guò)程）．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·山東·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）中，點(diǎn)D、E、F分別為邊的中點(diǎn)，作．若的面積是12，則的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．62．（2022·河南·淅川縣九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于點(diǎn)D．延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)N．若AB＝4，DM＝1，則AC的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022·遼寧大東·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，BE，點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上，連接DM，若∠MDB＝∠A，則四邊形DMBE的周長(zhǎng)為（）A．16 B．24 C．32 D．404．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考期中）如圖，中，平分，平分的外角，于D，交于點(diǎn)F，于E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，，，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．105．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）已知：如圖，、分別是的中線和角平分線，，，的長(zhǎng)為（

）A．10 B． C． D．6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．2 C． D．8．（2022·江西撫州市·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD，連接OE交BC于點(diǎn)F，若BC＝4，則CF＝_____．9．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請(qǐng)對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明．(1)如圖1，點(diǎn)D，E分別是的邊，的中點(diǎn)，求證：，且；(2)如圖2，四邊形中，