專題3.28用勾股定理求最值常用方法專題（分層練習）（培優練）一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中點，直線l經過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F，則AE+BF的最大值為（）A．15 B．12 C．10 D．92．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是邊CD上一點，將△ADP沿直線AP對折，得到△APQ．當射線BQ交線段CD于點F時，DF的最大值是（

）A．3 B．2 C． D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形內部有一動點P滿足S△PAB＝3S△PCD，則動點P到點A，B兩點距離之和PA＋PB的最小值為（

）A．5 B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=6，DC=2，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．145．如圖，在中，cm，cm，點D、E分別在AC、BC上，現將沿DE翻折，使點C落在點處，連接，則長度的最小值（

）A．不存在 B．等于1cmC．等于2cm D．等于2.5cm二、填空題6．如圖，點、在直線的同一側，于點，于點，，．點是直線上的一個動點，的最小值為，的最大值為，則的值為________．

7．如圖在三角形紙片ABC中，已知∠ABC=90o，AC=5，BC=4，過點A作直線l平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點B落在直線l上的點P處，折痕為MN，當點P在直線l上移動時，折痕的端點M、N也隨之移動，若限定端點M、N分別在AB、BC邊上（包括端點）移動，則線段AP長度的最大值與最小值的差為________________．8．已知中，，，邊上的高，D為線段上的動點，在上截取，連接，，則的最小值為______．9．如圖，在中，，，，P為邊上的一個動點，D為上的一個動點，連接，當時，線段的最小值是______．10．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點M是DE上一個動點，則線段CM長的最小值為_________．11．如圖，在中，，，，平分交于點D，點E、F分別在、上，則的最小值為________．12．如圖，已知△ABC，BC=10，分別以AB，AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE，CD交于點P，則S△CBP的最大值是_______．13．如圖，正方形ABCD的邊長為2，M是BC的中點，N是AM上的動點，過點N作EF⊥AM分別交AB，CD于點E，F．（1）AM的長為_____；（2）EM+AF的最小值為_____．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝8，BC＞6，點E，F分別在BC，AC邊上，且AF＝CE，則AE+BF的最小值為_____．15．如圖，在中，，，為中點，是射線上的一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接、，點在運動過程中的最小值為_______．16．如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分線，若P、Q分別是AD和AC上的動點，則AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．17．如圖，圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，螞蟻在圓柱側面爬行，從點A爬到點B的最短路程是________cm．18．愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內壁面正方形ABCD上爬行，最終到達內壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是______cm三、解答題19．已知在△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上一點，連接AD，在直線AD右側作等腰△ADE，AD=AE．（1）如圖1，若∠BAC=∠DAE=90°，連接CE．求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖2，若∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2．①當AE∥BC時，求線段BD的長；②取AC邊的中點F，連接EF．當點D從點B運動到點C過程中，求線段EF長度的最小值與最大值．20．發現：如圖1，點為線段外一動點，且．（1）填空：當點位于上時，線段的長取得最小值，且最小值為（用含的式子表示）（2）應用：如圖2，點為線段外一動點，且，分別以為邊，作等腰直角和等腰直角，連接．①請找出圖中與相等的線段，并說明理由；②直接寫出長的最小值．拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點為線段外一動點，且，請直接寫出長的最小值及此時點的坐標．

21．綜合與實踐問題情境：數學活動課上，老師要求學生出示兩個大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC擺在一起，其中直角頂點A重合，延長CA至點F，滿足AF=AC，然后連接DF、BE．實踐猜想：（1）圖1中的BE與DF的數量關系為：，位置關系為：．猜想證明：（2）當△ADE繞著點A順時針旋轉一定角度α（0＜α＜90°）時，如圖2所示，（1）中的結論是否還成立?若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若，△ADE繞著點A順時針旋轉一定角度α（0＜α＜360°）的過程中，求BE的最大值與最小值．參考答案1．A【分析】如圖，連接AD，作，垂足分別為，可證，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知當時，最小，最大，此時有，解得的值，進而求解的值，故可知的最大值．解：如圖，連接AD，作，垂足分別為由題意知在和中∵∴∴∵∴在中，由勾股定理得∴在中，由勾股定理得∵∴∴當時，最小，最大∴此時解得∴∴的最大值為15故選A．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識．解題的關鍵在于將線段和與面積聯系求解．2．C解：如圖1所示，過點作于點，在矩形中，，所以，又，所以，所以，則，因為，，所以當最大、最小時，最小，最大，即當點與點重合時，最大．如圖2所示，此時，點、重合，、、三點共線，由可知，所以，在和中，，所以，所以，故的最大值為．故選C.3．B【分析】首先由，得知動點P在與AB平行且與AB的距離為3的直線上，作點A關于直線的對稱點E，連接AE、BE，則BE的長就是所求的最短距離，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．解：∵，設點P到CD的距離為h，則點P到AB的距離為(4-h),則，解得：h=1，∴點P到CD的距離1，到AB的距離為3，∴如下圖所示，動點P在與AB平行且與AB的距離為3的直線上，作點A關于直線的對稱點E，連接AE、BE，且兩點之間線段最短，∴PA+PB的最小值即為BE的長度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，根據勾股定理：，故選：B．【點撥】本題考查了軸對稱—最短路線問題（兩點之間線段最短），勾股定理，得出動點P所在的位置是解題的關鍵．4．B【分析】過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′＝OC，連接DC′，交AB于P，連接CP，此時DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，連接BC′，由對稱性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根據勾股定理即可得到結論．解：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′＝OC，連接DC′，交AB于P，連接CP．此時DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵DC＝2，BD＝6，∴BC＝8，連接BC′，由對稱性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝8，根據勾股定理可得DC′＝．故選：B．【點撥】此題考查了軸對稱﹣線路最短的問題，確定動點P為何位置時PC＋PD的值最小是解題的關鍵．5．C【分析】當C′落在AB上，點B與E重合時，AC'長度的值最小，根據勾股定理得到AB=5cm，由折疊的性質知，BC′=BC=3cm，于是得到結論．解：當C′落在AB上，點B與E重合時，AC'長度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折疊的性質知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故選：C．【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．6．【分析】作點關于直線的對稱點，連接交于點，則點即為所求點，過點作的延長線于點，則的長即為的最小值，利用勾股定理即可求出的長即的值，延長交于點，當移動到點時，值最大，過點作，利用勾股定理即可求出的長即的值，最后求出結果即可．解：如圖，作點關于直線的對稱點，連接交于點，

則點即為所求點，過點作的延長線于點，則的長即為的最小值為，，，，，的最小值為，如圖，延長交于點，

，，當移動到點時，值最大，，，過點作，則，，，，的最大值為，，故答案為：．【點撥】本題考查的是最短線路問題及勾股定理，熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系是解答此類問題的關鍵．7．【分析】分別找到兩個極端,當M與A重合時，AP取最大值，當點N與C重合時，AP取最小，即可求出線段AP長度的最大值與最小值之差解：如圖所示，當M與A重合時，AP取最大值，此時標記為P1，由折疊的性質易得四邊形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，，∴AP的最大值為AP1=AB=3如圖所示，當點N與C重合時，AP取最小，過C點作CD⊥直線l于點D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折疊的性質有PC=BC=4，在Rt△PCD中，，∴AP的最小值為線段AP長度的最大值與最小值之差為故答案為【點撥】本題考查勾股定理的折疊問題，可以動手實際操作進行探索.8．13【分析】通過過點A作的平行線，并在上截取，構造全等三角形，得到當B，D，H三點共線時，可求得的最小值；再作垂線構造矩形，利用勾股定理求解即可．解：如圖，過點A作的平行線，并在上截取，連接，．則．在和中，∴，∴，∴，∴當B，D，H三點共線時，的值最小，即的值最小，為的長．∵，，，∴在中，由勾股定理，得．如圖，過點H作，交的延長線于點M，則四邊形為長方形，∴，，∴在中，由勾股定理，得．∴的最小值為13．故答案為：13．【點撥】本題屬于沒有共同端點的兩條線段求最值問題這一類型，考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理等知識．解題的關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形．9．【分析】取的中點，連接，．首先證明，求出，，根據，可得結論．解：如圖，取的中點，連接，．，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是依據題意作出輔助線．10．【分析】連接CE，過點C作于點H，首先證明，可推導，，再證明，在中，由勾股定理計算，然后借助三角形面積求出，根據“垂線段最短”可知，當，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，即可獲得答案．解：連接CE，過點C作于點H，如下圖，∵，即，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，∴，，∵∠BAC=90°，∴，∴，即，∴在中，，∵，∴，即，解得，∵點M是DE上一個動點，則當，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，此時．故答案為：．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構建全等三角形是解題關鍵．11．【分析】在AB上取點，使，過點C作，垂足為，先說明可得，推出當C、E、共線，且點與H重合時，的值最小．解：如圖所示：在AB上取點，使，過點C作，垂足為H．∵AE平分，∴∠EAF=∠EA，∵，AE=AE，∴△EAF≌△EA，∴，∴，當C，E，共線，且點與H重合時，的值最小在中，依據勾股定理可知，∵，的最小值為．故答案為．【點撥】本題主要考查的是勾股定理的應用、垂線段最短、全等三角形的判定與性質等知識點，解題的關鍵是利用垂線段最短解答最短路徑問題．12．25【分析】根據題意證明△DAC≌△BAE，根據勾股定理可得，由，得到，進而即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∵AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，∴△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∴∠PDB+∠PBD=90°，∴∠DPB=90°，∴=100，∵，∴，∴BP?PC≤50，∴=BP?PC≤×50=25．故答案為25．【點撥】本題考查的是全等三角形的判定與性質，勾股定理．由，得到是解答本題的關鍵．13．【分析】（1）由正方形的邊長為2，結合線段中點性質得到，利用勾股定理解題得AM的長即可；（2）過點F作于點，先證明，由全等三角形對應邊相等的性質得到，將沿方向平移至，連接，當三點共線時，此時EM+AF的值最小，最后根據勾股定理解題即可．解：（1）四邊形是正方形，且邊長為，是的中點，故答案為：；（2）過點F作于點，則將沿方向平移至，連接，則當三點共線時，此時，故答案為：．【點撥】本題考查正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．14．．【分析】過A點作AG∥BC，截取AG＝AC，連接FG，MG，利用兩點之間線段最短，確定最小值為BG，過B作BR⊥AG，交AG的反向延長線于R，利用勾股定理計算即可．解：過A點作AG∥BC，截取AG＝AC，連接FG，MG，過B作BR⊥AG，交AG的反向延長線于R，則∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即為BG的長，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝6，∴BR＝AR＝6，∵AC＝8，∴AG＝AC＝8，∴RG＝AR+AG＝6+8＝14，∴BG＝=，即AE+BF的最小值為．【點撥】本題考查了勾股定理，三角形的全等，線段和最小值，平行線的性質，熟練掌握通過構造平行線法構造出線段和最小解題模型是解題的關鍵．15．【分析】連接，過點作于點，過點作交的延長線于點，則是等腰直角三角形．推出，根據全等三角形的性質得到，證得是等腰直角三角，求出，，，由，于是得到當時，的值最小．解：連接，過點作于點，過點作交的延長線于點，則是等腰直角三角形．在與中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵為中點，∴，∴，∵，∴，∴當時，的值最小，∴.故答案為：．【點撥】本題考查了旋轉的性質和等腰直角三角形的性質、三角形全等的性質和判定，證明線段最短有一定的難度．但通過構造全等三角形，利用全等三角形和等腰直角三角形的性質就變得容易．16．5【分析】（1）根據勾股定理即可求出AC的長度；（2）過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出AC，再運用S△ABC=AB?CM=AC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴；如圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，∵,∴．故答案為：5；．【點撥】本題考查勾股定理、軸對稱中的最短路線問題，找出點P、Q的位置是解題關鍵．17．10【分析】過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，求出AD和BD的長，根據勾股定理求出斜邊AB即可．解：如圖所示：沿過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案為：10．【點撥】本題考查了平面展開?最短路線問題和勾股定理的應用，關鍵是知道求出AB的長就是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程．18．16【分析】將正方形沿著翻折得到正方形，過點在正方形內部作，使，連接，過作于點，此時最小，運用勾股定理求解即可．解：如圖，將正方形沿著翻折得到正方形，過點在正方形內部作，使，連接，過作于點，則四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，∴，，，，此時最小，∵點是中點，∴cm，∴cm，cm，在中，cm，∴cm，故答案為：16．【點撥】本題考查最短路徑問題，考查了正方形的性質，矩形的性質，平行四邊形的性質和判定，勾股定理，軸對稱性質等，解題的關鍵是將立體圖形中的最短距離轉換為平面圖形的兩點之間線段長度進行計算．19．（1）證明見分析；（2）①BD；②線段EF長度的最小值為，最大值為【分析】（1）由“SAS”可證得；（2）①如圖1，過點D作DM⊥AB于點M，連接CE，根據∠BAC=∠DAE=120°求出∠BAD=∠CAE，然后根據平行性質求出∠ABC=∠ACB=∠EAC=30°，得到是等腰三角形，然后就可以求解了．②如圖2，取AB中點G，連接DG，CG，由“SAS”可證，可得GD=EF,當GD⊥BC時，GD有最小值．當點D與點C重合時，DG有最大值為CG，即EF也有最大值．解：證明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴（SAS）；（2）解：①如圖1，過點D作DM⊥AB于點M，連接CE，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAD=∠CAE．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°．∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB=30°，∴∠BAD=30°，∴AD=BD，∴BMAB=1，∴DM，∴BD．②如圖2，取AB中點G，連接DG，CG，∵AB=AC=2，點F是AC中點，點G是AB中點，∴AG=BG=AF=CF=1．∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAD=∠CAE．∵AD=AE，AG=AF，∴（SAS），∴GD=EF，∴DG有最小值，EF也有最小值，∴當GD⊥BC時，GD有最小值．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=30°，GD⊥BC，BG=1，∴GD，BD，當點D與點C重合時，DG有最大值為CG，即EF也有最大值．∵BD，BC=2，∴CD，∴CG，∴線段EF長度的最小值為，最大值為．故答案為：最小值是，最大值為．【點撥】本題是三角形綜合題，考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．20．（1）；（2）①，證明見分析，②；（3）最小為或．【分析】（1）根據點A位于CB上時，線段AC的長取得最小值，即可得到結論；（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；（3）以AP為邊向右邊作等邊三角形APC，連接BE后，易證，此時AM=BC，然后根據（1）的結論求值即可，點P坐標可根據等邊三角形性質求．解：當位于線段上，取到最小值故答案為：①和均為等腰直角三角形，在和中②而最小值為，當且僅當在線段上取到以為邊向右邊作等邊三角形，連接為正三角形，又在和中最小為，此時在線段上，的橫坐標為縱坐標為．【點撥】本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知