廣西欽州市第三中學2023-2024學年數學高三第一學期期末統考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若非零實數、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．2．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發現落在正方形花紋上的米共有51粒，據此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1473．已知實數，則的大小關系是()A． B． C． D．4．某個命題與自然數有關，且已證得“假設時該命題成立，則時該命題也成立”．現已知當時，該命題不成立，那么（）A．當時，該命題不成立 B．當時，該命題成立C．當時，該命題不成立 D．當時，該命題成立5．已知是函數的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．6．若sin(α+3π2A．-12 B．-137．已知是虛數單位，若，則（）A． B．2 C． D．38．下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數的回眸和中國代表團獎牌總數統計圖，根據表和統計圖，以下描述正確的是（）．金牌（塊）銀牌（塊）銅牌（塊）獎牌總數2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A．中國代表團的奧運獎牌總數一直保持上升趨勢B．折線統計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不具有實際意義C．第30屆與第29屆北京奧運會相比，奧運金牌數、銀牌數、銅牌數都有所下降D．統計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數的中位數是54.59．的展開式中，滿足的的系數之和為（）A． B． C． D．10．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．11．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：，，，，則按照以上規律，若具有“穿墻術”，則（）A．48 B．63 C．99 D．12012．已知數列，，，…，是首項為8，公比為得等比數列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是______.14．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．15．若函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像.則在區間上的最小值為________.16．在三棱錐中，三條側棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設其中為常數.若方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.18．（12分）設的內角、、的對邊長分別為、、.設為的面積，滿足.(1)求；(2)若，求的最大值.19．（12分）定義：若數列滿足所有的項均由構成且其中有個，有個，則稱為“﹣數列”．（1）為“﹣數列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數列”中的任意三項，則存在多少正整數對使得且的概率為.20．（12分）已知函數.其中是自然對數的底數.（1）求函數在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.（1）證明:平面（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）電視傳媒公司為了解某地區觀眾對某體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據已知條件完成下面的列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調查所得到的頻率視為概率．現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

令，則，，將指數式化成對數式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數式與對數式的轉化，考查推理能力，屬于中等題．2、B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題3、B【解析】

根據，利用指數函數對數函數的單調性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點睛】本題考查了指數函數對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4、C【解析】

寫出命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立，則當時該命題也不成立”，由于當時，該命題不成立，則當時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結合逆否命題的等價性進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.5、B【解析】

方法一：令，則，，當，時，，單調遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調遞增，時，，，且，∴，即在上單調遞減，∴是函數的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調遞減，∴時，，所以，這與是函數的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據極值的定義，要使是函數的極大值點，須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據與的圖象關系，可得，故選B．6、B【解析】

由三角函數的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sinα+3π2=3故選B【點睛】本題考查了三角函數的誘導公式和倍角公式，靈活掌握公式是關鍵，屬于基礎題.7、A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復數，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【點睛】考查復數的運算及其模的求法，是基礎題.8、B【解析】

根據表格和折線統計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數不是一直保持上升趨勢，29屆最多，錯誤；B.折線統計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不表示某種意思，正確；C.30屆與第29屆北京奧運會相比，奧運金牌數、銅牌數有所下降，銀牌數有所上升，錯誤；D.統計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數按照順序排列的中位數為,不正確；故選：B【點睛】此題考查統計圖，關鍵點讀懂折線圖，屬于簡單題目.9、B【解析】

，有，，三種情形，用中的系數乘以中的系數，然后相加可得．【詳解】當時，的展開式中的系數為．當，時，系數為；當，時，系數為；當，時，系數為；故滿足的的系數之和為．故選：B．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理和多項式乘法是解題關鍵．10、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點睛】本題主要考查了對數的定義域與指數不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎題.11、C【解析】

觀察規律得根號內分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發現規律，根號內分母為分子的平方減1所以故選：C.【點睛】本題考查了歸納推理，發現總結各式規律是關鍵，屬于基礎題.12、A【解析】

根據題意依次計算得到答案.【詳解】根據題意知：，，故，，.故選：.【點睛】本題考查了數列值的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據流程圖，運行程序即得.【詳解】第一次運行，；第二次運行，；第三次運行，；第四次運行；所以輸出的S的值是.故答案為：【點睛】本題考查算法流程圖，是基礎題.14、【解析】

根據題意，畫出可行域，將目標函數看成可行域內的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示，易知當，時，的最大值為．故答案為：9.【點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規劃問題，屬于中檔題.15、【解析】

注意平移是針對自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查正弦型函數在給定區間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應用，是一道基礎題.16、【解析】

設，可表示出，由三棱錐性質得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【詳解】設則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當時，．故答案為：．【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關鍵是掌握三棱錐的性質：三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側棱的平方和．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）零點分段法，分，，討論即可；（II），分，，三種情況討論.【詳解】原不等式即.當時，化簡得.解得；當時，化簡得.此時無解；當時，化簡得.解得.綜上，原不等式的解集為由題意，設方程兩根為.當時，方程等價于方程.易知當，方程在上有兩個不相等的實數根.此時方程在上無解.滿足條件.當時，方程等價于方程，此時方程在上顯然沒有兩個不相等的實數根.當時，易知當，方程在上有且只有一個實數根.此時方程在上也有一個實數根.滿足條件.綜上，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數求參數范圍，考查學生的運算能力，是一道中檔題.18、(1)；(2).【解析】

(1)根據條件形式選擇，然后利用余弦定理和正弦定理化簡，即可求出；(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分別用角的三角函數值表示出，即可得到，再利用三角恒等變換，化簡為，即可求出最大值．【詳解】(1)∵，即，∴變形得：，整理得：，又，∴；(2)∵，∴，由正弦定理知，，∴，當且僅當時取最大值．故的最大值為.【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應用，以及利用三角恒等變換求函數的最值，意在考查學生的轉化能力和數學運算能力，屬于基礎題19、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據組合的方法求解兩種情況分別的情況數再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據古典概型的方法可知,利用組合數的計算公式可得,當時根據題意有,共個；當時求得,再根據換元根據整除的方法求解滿足的正整數對即可.【詳解】解：（1）三個數乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計數原理得：為“﹣數列”中的任意三項,則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數列”中任取三項共有種,根據古典概型有：,再根據組合數的計算公式能得到：,時,應滿足,,共個,時,應滿足,視為常數,可解得,,根據可知,,,,根據可知,,（否則）,下設,則由于為正整數知必為正整數,,,化簡上式關系式可以知道：,均為偶數,設,則,由于中必存在偶數,只需中存在數為的倍數即可,,．檢驗：符合題意,共有個,綜上所述：共有個數對符合題意．【點睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時也考查了組合數的運算以及整數的分析方法等,需要根據題意20、（1）；（2）.【解析】

(1)利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標即可得在點處的切線方程；（2）令，然后利用導數并根據a的情況研究函數的單調性和最值.【詳解】（1），，∴，又，∴切線方程為，即.（2）令，，①若，則在上單調遞減，又，∴恒成立，∴在上單調遞減，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知與在上單調遞減，∴在上單調遞減，，當即時，在上恒成立，∴在上單調遞減，即在上單調遞減，又，∴恒成立，∴在上單調遞減，又，∴恒成立，當即時，使，∴在遞增，此時，∴，∴在遞增，∴，不合題意.綜上，實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義及構造函數解決含參數的不等式恒成立時求參數的取值范圍問題，第二問的難點是構造函數后二次求導問題，對分類討論思想及化歸與等價轉化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.21、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，由菱形的性質以及中位線，得，由平面平面，