1.2

空間向量基本定理一、回顧舊知1、平面向量基本定理：

如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量有且只有一對實數λ1、λ2,使其中叫做表示這一平面內所有向量的一組基底2、平面向量的正交分解及坐標表示AyxO(x,y)任一向量

的坐標表示：二、探究新知探究1、我們知道，平面內的任意一個向量

都可以用兩個不共線的向量來表示(平面向量基本定理)。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？xyzOQP如圖，設

是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O.對于任意一個空間向量

，設

所確定的平面上的投影向量，則又向量

共線，因此存在唯一的實數z，使得

，我們先從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論．二、探究新知探究1、我們知道，平面內的任意一個向量

都可以用兩個不共線的向量來表示(平面向量基本定理)。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？xyzOQP我們先從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論．而在

所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)使得

從而二、探究新知探究1、我們知道，平面內的任意一個向量

都可以用兩個不共線的向量來表示(平面向量基本定理)。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？xyzOQP因此，如果

是空間三個兩兩垂直的向量，那么對任意一個空間向量

，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得二、探究新知探究2、在空間中，如果用任意三個不共面向量

代替兩兩垂直的向量

，你能得出類似的結論嗎？1、空間向量基本定理：

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組(x，y，z)，使都叫做基向量

空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.這不共面的三個向量

叫做空間的一個基底。(1)空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。特別提示：對于基底

，除了應知道

不共面，還應明確：(3)一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯的不同概念。(2)因為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是。推論：設O、A、B、C是不共線的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使

當且僅當x+y+z=1時，P、A、B、C四點共面。二、探究新知

特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用

表示.

由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量

，均可以分解為三個向量

，使.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

由空間向量基本定理可知，如果把三個不共面的向量作為空間的一個基底，那么所有空間向量都可以用三個基本向量表示出來.隨堂練習1、已知向量

是空間的一個基底．求證：向量能構成空間的一個基底.三、例題解析ABCMNPO例1、如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且三、例題解析ABCMNPO例1、如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且隨堂練習2、空間四邊形OABC中，

，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC的中點，則OABCMNB隨堂練習3、如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點.用向量BOACPNMQ隨堂練習4、已知平行六面體OABC-O1A1B1C1，點G是側面BB1C1C的中心，且BCOA1B1C1O1AG三、例題解析例2、如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB=60o，∠BAA1=60o，∠DAA1=60o，M，N分別為D1C1，C1B1的中點.求證：MN⊥AC1ABCDMNB1A1C1D1三、例題解析例2、如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB=60o，∠BAA1=60o，∠DAA1=60o，M，N分別為D1C1，C1B1的中點.求證：MN⊥AC1ABCDMNB1A1C1D1所以MN⊥AC1隨堂練習5、課本14頁練習1三、例題解析例3、如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F，G分別為C′D′，A′D′，D′D的中點.(1)求證：EF//AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值.A′B′C′D′ABCDGEFO三、例題解析例3、如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F，G分別為C′D′，A′D′，D′D的中點.(1)求證：EF//AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值.∴EF//ACA′B′C′D′ABCDGEFO三、例題解析例3、如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F，G分別為C′D′，A′D′，D′D的中點.(1)求證：EF//AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值.A′B′C′D′ABCDGEFO隨堂練習A′B′C′D′ABCDFEG6、棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F、G分別為棱DD′、D′C′、BC的中點，以

為基底，表示下列向量：四、課堂小結這不共面的三個向量

叫做空間的一