專題11等差數列專題11等差數列-【好題匯編】備戰2023-2024學年高二數學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第二冊）含解析求等差數列的基本量1．（2023上·河北石家莊·高二石家莊實驗中學校考期末）已知數列是等差數列，是其前n項和，，則（

）A．160 B．253 C．180 D．1902．（2023上·山東泰安·高二寧陽縣第四中學校考期末）在等差數列中，若，，則等于（

）A．8 B．9 C．10 D．113．（2023上·福建寧德·高二統考期中）在等差數列中，以表示的前項和，則使達到最大值的是（

）A．11 B．10 C．9 D．84．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學校考期末）設為等差數列的前項和，若，，則（）A． B． C． D．5．（2023上·山東聊城·高二統考期末）記公差不為0的等差數列的前n項和為，若，則．6．（2023上·浙江臺州·高二期末）已知等差數列滿足，則．7．（2023上·山東煙臺·高二統考期末）已知等差數列的前項和為，若，，則公差的值為.8．（2023上·江蘇蘇州·高二統考期末）已知數列的前項和為，若與均為等差數列且公差不為0，則的值為.等差數列的判定與證明9．（2023上·河北唐山·高二開灤第一中學校考期末）若不全相等的非零實數成等差數列且公差為，那么（

）A．可能是等差數列 B．一定不是等差數列C．一定是等差數列，且公差為 D．一定是等差數列，且公差為10．（2023上·河南商丘·高二校聯考期末）已知數列滿足，，則（

）A． B． C．12 D．2111．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知數列的前項和為.若，，則（

）A． B． C． D．12．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考期末）已知數列滿足，，設數列的前項和為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．13．（2023上·山東威海·高二統考期末）設為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．(1)求，；(2)求證：數列為等差數列；(3)求數列的通項公式．14．（2023上·山東青島·高二校考期末）已知數列中，，．(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的通項公式．15．（2023上·浙江寧波·高二統考期末）已知正項數列的前n項和為．若（且）．(1)求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；(2)若，求前n項和．16．（2023上·湖南益陽·高二統考期末）已知數列滿足，且．(1)求證：數列等差數列，并求出數列的通項公式；(2)求數列的前項和．等差數列的常見性質17．（2023上·山東青島·高二校考期末）已知為等差數列，，，則數列的公差（

）A． B． C． D．18．（2023上·江蘇南京·高二南京大學附屬中學校考期末）若等差數列的前項和為，且，則的值為（

）A． B． C． D．19．（2023上·天津南開·高二統考期末）在等差數列中，，則（

）．A．3 B．4 C．6 D．820．（2023上·廣東江門·高二統考期末）已知為等差數列，，，則等于（

）A．250 B．410 C．50 D．6221．（2023上·山西運城·高二康杰中學校考期末）已知是等差數列的前項和，且，則（

）A．數列為遞增數列 B．C．的最大值為 D．22．（2023上·河南許昌·高二禹州市高級中學校考期末）設等差數列、的前項和分別為、，若對任意的，都有，則．23．（2023上·甘肅天水·高二統考期末）已知等差數列中，，若，則．24．（2023上·浙江寧波·高二統考期末）已知等差數列，，=25．（2023上·廣西貴港·高二統考期末）如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，圖中虛線上的數1,3,6,10,…構成數列，則（

）

A．20099 B．20100 C．21000 D．21100126．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）在公差大于的等差數列中，，且、、成等比數列，則數列的前項和為（

）A． B． C． D．27．（2023上·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余2且被7除余2的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．10528．（2023上·上海楊浦·高二復旦附中校考期末）設等差數列的前n項和為，首項，公差，若對任意的正整數n，總存在正整數k，使，則的最小值為（

）A．－74 B．－8 C．－53 D．－1329．（2023上·廣西貴港·高二統考期末）(多選題)我國古代數學著作《算法統宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.關于該問題，下列結論正確的是（

）A． B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里30．（2023上·新疆·高二校聯考期末）已知等差數列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．31．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期末）已知數列滿足，則數列的通項公式為.32．（2023上·海南·高二統考期末）記等差數列的前項和為，若，則.33．（2023上·吉林遼源·高二校聯考期末）已知等差數列中，(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和，并求的最小值34．（2023上·貴州黔西·高二統考期末）已知數列的前項和為，，．(1)求證：數列是等差數列；(2)設，求數列的前項和．專題11等差數列求等差數列的基本量1．（2023上·河北石家莊·高二石家莊實驗中學校考期末）已知數列是等差數列，是其前n項和，，則（

）A．160 B．253 C．180 D．190【答案】B【分析】根據條件，求出等差數列的首項，再利用等差數列的前項和公式即可求出結果.【詳解】設數列的首項為，公差為，因為，所以，解得，所以，故選：B.2．（2023上·山東泰安·高二寧陽縣第四中學校考期末）在等差數列中，若，，則等于（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】設出等差數列的公差，然后根據等差數列通項公式的基本量進行求解.【詳解】設等差數列的公差為，則，故而.故選：D3．（2023上·福建寧德·高二統考期中）在等差數列中，以表示的前項和，則使達到最大值的是（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】利用等差數列性質求出數列公差d，再求出其通項公式，并探討數列的單調性即可得解.【詳解】在等差數列中，，，即，，從而得等差數列公差，，于是得的通項公式為，則是單調遞減等差數列，其前10項均為正，從第11項起的以后各項均為負，因此，數列的前10項和最大，所以，使達到最大值的n是10.故選：B.4．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學校考期末）設為等差數列的前項和，若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用等差數列通項公式及等差數列前n項和公式的基本量計算即可.【詳解】設等差數列的公差為，∵，，∴，解得：，∴.故選：A.5．（2023上·山東聊城·高二統考期末）記公差不為0的等差數列的前n項和為，若，則．【答案】6【分析】利用等差數列的性質，結合等差數列的通項公式與前項和公式化簡可得關于的方程，解之即可.【詳解】因為是公差不為0的等差數列，設公差為，所以，，又，所以，即則，所以，又，所以，則．故答案為：66．（2023上·浙江臺州·高二期末）已知等差數列滿足，則．【答案】49【分析】根據等差數列定義可得，利用裂項求和計算可得，再由等差數列通項公式計算可得.【詳解】設等差數列的公差為d，則，所以，可得；又，即，解得．故答案為：7．（2023上·山東煙臺·高二統考期末）已知等差數列的前項和為，若，，則公差的值為.【答案】或/或【分析】由等差數列的求和公式以及等差中項的性質可求得的值，由此可求得的值.【詳解】由等差數列的求和公式可得，則，可得.當時，；當時，.綜上所述，或.故答案為：或.8．（2023上·江蘇蘇州·高二統考期末）已知數列的前項和為，若與均為等差數列且公差不為0，則的值為.【答案】2【分析】設出數列的公差，利用給定條件列式，求出首項與公差的關系即可計算作答.【詳解】設數列的公差為，則，，因為數列是等差數列，則有，即，化簡整理得：，解得，顯然，與均為等差數列，，則，所以的值為2.故答案為：2等差數列的判定與證明9．（2023上·河北唐山·高二開灤第一中學校考期末）若不全相等的非零實數成等差數列且公差為，那么（

）A．可能是等差數列 B．一定不是等差數列C．一定是等差數列，且公差為 D．一定是等差數列，且公差為【答案】B【分析】利用等差中項的概念結合條件可得，進而即得.【詳解】若是等差數列，則，因為成等差數列，則，則，整理得，與非零實數不全相等矛盾，所以一定不是等差數列.故選：B.10．（2023上·河南商丘·高二校聯考期末）已知數列滿足，，則（

）A． B． C．12 D．21【答案】A【分析】由數列的遞推關系式推出是等差數列，然后求解即可．【詳解】正項數列滿足，，所以，可得，所以是等差數列，首項為，公差為，所以，所以，故選：A．11．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知數列的前項和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由與關系可化簡已知等式證得數列為等差數列，利用等差數列求和公式可求得結果.【詳解】由得：，又，數列是以為首項，為公差的等差數列，，.故選：C.12．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考期末）已知數列滿足，，設數列的前項和為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據等差數列定義和通項公式可推導得到，由此可得，利用裂項相消法可求得，由可構造不等式求得的范圍，進而得到最小值.【詳解】，，數列是以為首項，為公差的等差數列，，則，，，由得：，解得：，又，.故選：B.13．（2023上·山東威海·高二統考期末）設為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．(1)求，；(2)求證：數列為等差數列；(3)求數列的通項公式．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通過得到，兩式相除整理后可證明數列為等差數列；（3）當時，通過可得數列的通項公式，注意驗證時是否符合.【詳解】（1）由，且，當時，，得，當時，，得；（2）對于①，當時，②，①②得，即，，又，數列是以1為首項，1為公差的等差數列；（3）由（2）得，，當時，，又時，，不符合，.14．（2023上·山東青島·高二校考期末）已知數列中，，．(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的通項公式．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據題意，將原式兩邊同時取倒數，即可得到證明；（2）由（1）可得數列的通項公式，從而求得數列的通項公式．【詳解】（1）因為，，所以，即，所以，即數列是首項為1，公差為3的等差數列.（2）由（1）可知，數列是首項為1，公差為3的等差數列，所以，所以.15．（2023上·浙江寧波·高二統考期末）已知正項數列的前n項和為．若（且）．(1)求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；(2)若，求前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，結合已知遞推關系進行轉化，然后結合等差數列的通項公式及遞推關系可求；（2）由已知先求，根據錯位相減即可求和．【詳解】（1）由題意得：當時，，因為，所以，所以，因為，所以數列是以1為首項，以為公差的等差數列，則，所以，當時，，由于不適合上式，故；（2）當時，，當時，，所以，當時，，，相減得，故，此時也適合，故．16．（2023上·湖南益陽·高二統考期末）已知數列滿足，且．(1)求證：數列等差數列，并求出數列的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）利用等差數列的定義可證得結論成立，并確定數列的首項和公差，即可求得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）證明：，所以，，即，又，則數列是等差數列，且該數列首項為，公差為，所以，，解得．（2）解：，①∴，②①②，得，所以，．等差數列的常見性質17．（2023上·山東青島·高二校考期末）已知為等差數列，，，則數列的公差（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等差數列下標和性質和通項公式直接求解即可.【詳解】由等差數列性質知：，，，，.故選：A.18．（2023上·江蘇南京·高二南京大學附屬中學校考期末）若等差數列的前項和為，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據結合即可求解.【詳解】等差數列的前項和為，且，由等差數列的基本性質，得，.故選：C.19．（2023上·天津南開·高二統考期末）在等差數列中，，則（

）．A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】應用等差數列項數相同且下標和相等的性質即可確定答案.【詳解】由等差數列的性質知：.故選：C.20．（2023上·廣東江門·高二統考期末）已知為等差數列，，，則等于（

）A．250 B．410 C．50 D．62【答案】C【分析】利用等差數列的性質，求出首項和公差，由此能求出．【詳解】為等差數列，，，，，，，公差，，．故選：C21．（2023上·山西運城·高二康杰中學校考期末）已知是等差數列的前項和，且，則（

）A．數列為遞增數列 B．C．的最大值為 D．【答案】B【分析】由且，所以，所以公差，所以時，時，逐項分析判斷即可得解.【詳解】由且，所以，故B正確；所以公差，數列為遞減數列，A錯誤；由，，，所以，，時，，的最大值為，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B22．（2023上·河南許昌·高二禹州市高級中學校考期末）設等差數列、的前項和分別為、，若對任意的，都有，則．【答案】【分析】根據等差數列的性質即可求解.【詳解】，由于，故答案為：23．（2023上·甘肅天水·高二統考期末）已知等差數列中，，若，則．【答案】【分析】根據下標和性質求出、，即可求出公差，再根據計算可得.【詳解】因為，又，所以，又，，所以，所以公差，所以，即，解得.故答案為：24．（2023上·浙江寧波·高二統考期末）已知等差數列，，=【答案】e【分析】由等差中項的性質計算即可.【詳解】由等差數列性質可知：，又，故.故答案為：e25．（2023上·廣西貴港·高二統考期末）如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，圖中虛線上的數1,3,6,10,…構成數列，則（

）

A．20099 B．20100 C．21000 D．211001【答案】B【分析】先歸納出數列的遞推公式，然后利用累加法即可求解.【詳解】由題意，，，…，所以數列的遞推公式為，且，所以.所以，故.故答案為：B.26．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）在公差大于的等差數列中，，且、、成等比數列，則數列的前項和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設等差數列的公差為，則，根據題中條件可得出關于的方程，求出的值，可得出數列的通項公式，再利用并項求和法可求得數列的前項和.【詳解】設等差數列的公差為，則，所以，，所以，，，因為、、成等比數列，則，即，即，因為，則，所以，，對任意的，，所以，的前項和為.故選：A.27．（2023上·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余2且被7除余2的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【分析】根據已知條件進行轉化得到數列通項公式，由題意解出不等式即可判斷項數.【詳解】由題意，被3除余2且被7除余2的數即為被21除余2的數，故，則.故選：B28．（2023上·上海楊浦·高二復旦附中校考期末）設等差數列的前n項和為，首項，公差，若對任意的正整數n，總存在正整數k，使，則的最小值為（

）A．－74 B．－8 C．－53 D．－13【答案】D【分析】首先根據等差數列的前項和公式得到，令，化簡得到，又因為，所以，得，再利用等差數列前項和公式得到，利用二次函數的性質即可得到答案.【詳解】由題意得，則得，即，令得，即①，即得.因為首項，公差，則得，即.又因為，所以，代入①得.當時，由得即，所以因此當或時，的最小值為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查等差數列前項和公式，根據題意化簡得到，從而得到為解決本題的關鍵.29．（2023上·廣西貴港·高二統考期末）（多選題）我國古代數學著作《算法統宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.關于該問題，下列結論正確的是（

）A． B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里【答案】BCD【分析】根據等差數列的前9項和和首項求出公差判斷A，根據通項公式計算第3項判斷B，根據求和公式計算前7項和及前8項和即可判斷C、D.【詳解】由題意,設此人第一天走里，第天走里，則是等差數列，，由，可得，故選項A錯誤；所以，故選項B正確；所以，所以，，故選項C、D正確.故選：BCD.30．（2023上·新疆·高二校聯考期末）已知等差數列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據等差數列通項和前項和的函數性可證得數列為等差數列，結合已知等式可求得，由可構造