第06講拓展一：數列求通項一、知識點歸納知識點一：數列求通項（法、法）1對于數列，前項和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關系；或與的關系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關系；或與的關系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側含有：作差法（類似）例子：已知求2對于數列，前項積記為；①；②①②：法歸類角度1：已知和的關系角度1：用，得到例子：的前項之積.角度2：已知和的關系角度1：用替換題目中例子：已知數列的前n項積為，且.知識點二：累加法（疊加法）若數列滿足，則稱數列為“變差數列”，求變差數列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=知識點三：累乘法（疊乘法）若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：知識點四：構造法類型1：用“待定系數法”構造等比數列形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.標準模型：（為常數，）或（為常數，）類型2：用“同除法”構造等差數列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，從而構造數列為等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式.（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，換元令：，則原式化為：，先利用構造法類型1求出，再求出的通項公式.（3）形如的數列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式.知識點五：倒數法用“倒數變換法”構造等差數列類型1：形如（為常數，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構造法類型1：用“待定系數法”構造等比數列：形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.）知識點六：隔項等差數列已知數列，滿足，則；（其中為常數）；或則稱數列為隔項等差數列，其中：①構成以為首項的等差數列，公差為；②構成以為首項的等差數列，公差為；知識點七：隔項等比數列已知數列，滿足，則；（其中為常數）；或則稱數列為隔項等比數列，其中：①構成以為首項的等比數列，公比為；②構成以為首項的等比數列，公比為；二、題型精講題型01法（用，得到）1．（多選）（2023秋·吉林長春·高三校考階段練習）設為數列的前項和，已知，，，，則（

）A．是等比數列 B．C． D．【答案】BD【詳解】因為，，，，所以，又，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，故D正確；當時，，當時，，不滿足上式，所以，故A錯誤；因為，故B正確；因為，故C錯誤．故選：BD．2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考階段練習）已知數列的前項和，的通項公式為.【答案】【詳解】當時，，當時，，不適合上式，故的通項公式為，故答案為：3．（2023秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學校考階段練習）已知數列的前項和，．若是等差數列，則的通項公式為．【答案】【詳解】由知，當時，；當時，，此時，當時，，當時，，而，若數列是等差數列，則，所以，則.故答案為：.4．（2023秋·甘肅慶陽·高二校考階段練習）已知各項均為正數的數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，故兩式相減可得：，化簡得，由于各項均為正數，所以，故（常數），又當時，，由于，故，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列；故．（2）由（1）得：時，；所以當時，；當也符合上式，故5．（2023秋·福建廈門·高三廈門大學附屬科技中學校考階段練習）已知各項為正的數列的前n項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，，，，，…，依此類推，求的通項公式.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為①，所以②②－①兩得，即，又因，所以；當時，解得，所以.（2）設數列的前n項和為，數列的前n項和為.為中的n項之和，為中的前項和.，，當時，，.6．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知正項數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)將數列和數列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數列，求的前100項和.【答案】(1)(2)9089【詳解】（1）依題意，當時，解得，，當時，有，作差得：，，，數列是首項為3，公差為2的等差數列，.（2）由（1）得，，又，同時，.所以的前100項和為9089.題型02法（將題意中的用替換）1．（多選）（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知數列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．數列的前n項和為B．數列的通項公式為C．數列不是遞增數列D．數列為遞增數列【答案】CD【詳解】，則，即，故是首項為，公差為的等差數列，故，即，，.對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，，故數列不是遞增數列，正確；對選項D：，故數列為遞增數列，正確；故選：CD.2．（2023·全國·高三專題練習）設數列的前n項和為，且，，則．【答案】【詳解】由，得到，然后兩邊同除以得到，即，于是數列是公差為的等差數列．而，于是，進而得到，所以當時，有（）．綜上所述，．故答案為：3．（2023秋·貴州黔東南·高三天柱民族中學校聯考階段練習）已知正項數列的前項和為，且.(1)求；(2)設，數列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，即，由數列為正項數列可知，，又，即數列是首項為1，公差為1的等差數列，即，則，當時，，當時，成立，所以（2）由（1）可知，，則，當時，，成立，，成立，當時，，即.綜上可知，，得證.4．（2023春·河南許昌·高二統考期末）已知數列，，其前n項的和為，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，又因為，所以，即，則，又，所以數列是以3為首項，3為公差的等差數列，所以，則，從而當時，，顯然，不符合上式，故數列的通項公式為（2）由（1）得，當時，，所以，故不等式成立.5．（2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考期中）設正項數列的前n項和為，且，當時，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，且，求數列的通項公式．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，因為，所以，所以是以為首項，1為公差的等差數列，所以，所以，當時，，當時，也滿足上式，所以數列的通項公式為．（2）由知：當時，，①，則②，由得：，化簡得：，當時，也滿足上式，所以數列的通項公式為．6．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學校考三模）已知數列的前n項和為，.(1)若，證明：數列為等差數列.(2)若，，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)33【詳解】（1）（1）由已知，，，，所以，故數列為公差為1等差數列（2）因為，不滿足條件，此時，，由（1）知數列為首項為1公差為1等差數列，所以，故，當時，，由，故，即，因為，所以.故滿足的n最小值為33.題型03法（已知等式中左側含有：）1．（多選）（2023秋·山東濰坊·高三統考階段練習）已知數列滿足，則（

）A．B．的前項和為C．的前100項和為D．的前20項和為284【答案】ABD【詳解】當時，，當時，，兩式相減可得：，所以，當時，滿足，故，故A正確；的前項和為，故B正確；令，的前100項和為：，故C錯誤；令，所以的前20項和為：，故D正確.故選：ABD.2．（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知數列滿足，，記數列的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題設且(n≥2)，故且，所以，又也滿足，故，則，所以.故選：B3．（2023秋·湖北·高三黃石二中校聯考階段練習）數列滿足，，且.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：，當時，，作差，得，即.因為，，所以，滿足，即為常數列，即，.4．（2023春·湖北恩施·高二校聯考期中）已知數列的前項之積為，且．(1)求數列和的通項公式；【答案】(1)，【詳解】（1）①，②，①②可得也滿足上式，③．數列的前項之積為當時，，代入③可得，．5．（2023秋·四川眉山·高三校考開學考試）已知數列的前項和為，，．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）數列的前項和為,①,當時,②,①②得：，所以,又，也滿足上式，故．6．（2023春·河南南陽·高二校考階段練習）已知數列滿足．(1)求的值；【答案】(1)【詳解】（1）由題意可知：數列的前n項和，當時，可得，所以；當時，可得．所以；又因為也符合，所以．題型04累加法1．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學校考階段練習）已知數列滿足，則的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∴，故選：C.2．（2023春·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考階段練習）已知各項均為正數的數列滿足，，則取最小值時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由已知可得，，…，，,將上面式子左右兩邊分別相加可得，，令，，，當時，為減函數，時，為增函數，且，又，，且∴，故當時，取得最小值.故選：B.3．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）已知數列滿足，，則．【答案】【詳解】因為數列滿足，所以，，…，，當時，；當時，，滿足上式．綜上所述，．故答案為：．4．（2023·全國·高三專題練習）若數列滿足：，，則數列的通項公式為．【答案】/【詳解】由，得，所以當時，，而滿足上式，所以.故答案為：.5．（2023秋·重慶九龍坡·高三重慶實驗外國語學校校考階段練習）已知數列{}中，，且.其中，(1)求數列{}的通項公式；【答案】(1)，；【詳解】（1）（法一）由題意知，，則，累加得：且，又，故，而符合上式，故.（法二）由題意知，則，所以則.6．（2023秋·高二課時練習）在數列中，，且，求數列的通項公式．【答案】【詳解】由題設，所以且，顯然滿足上式，所以7．（2023·全國·高三專題練習）若在數列中，，，求通項．【答案】.【詳解】由，得以上個式子相加，又，所以．題型05累乘法1．（2023秋·福建漳州·高二校考階段練習）已知數列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，上述各式相乘得，因為，所以，經檢驗，滿足，所以.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，若，，則的通項公式為．【答案】【詳解】由題意知，故，故，故答案為：3．（2023·全國·高二專題練習）在數列中，（n∈N*），且，則數列的通項公式.【答案】【詳解】解：由，得，則，，，，累乘得，所以.故答案為：.4．（2023·全國·高二專題練習）若數列的首項，且，則數列的通項公式為.【答案】【詳解】解：數列中，，，，．故答案為：．5．（2023秋·江蘇·高二專題練習）已知：，（）求數列的通項.【答案】.【詳解】在數列中，，當時，，顯然，則，，也滿足上式，所以數列的通項是.6．（2023·全國·高二專題練習）已知數列滿足：，，求數列的通項公式.【答案】.【詳解】由題意得，當時，，又也滿足上式，所以.故.題型06構造法1．（2023春·河南許昌·高二校考階段練習）已知數列滿足，則的通項公式（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，而，故是首項為2，公比為2的等比數列，所以，即.故選：D2．（2023·全國·高二專題練習）已知數列中，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】所以所以數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，所以.故選：C3．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）已知數列滿足，，則滿足的最小正整數．【答案】5【詳解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首項為，公比為3的等比數列，所以，易知是遞增數列，又，，所以滿足的最小正整數．故答案為：5．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考階段練習）數列中，，，則此數列的通項公式.【答案】【詳解】因為，所以，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，則.故答案為：5．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，且，則數列的通項公式．【答案】【詳解】∵，∴，即．又，，∴數列是以3為首項，1為公差的等差數列，∴，∴數列的通項公式．故答案為：.6．（2023秋·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學校考階段練習）已知在數列中，，，則．【答案】【詳解】因為，，所以，整理得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，解得．故答案為：.題型07倒數法1．（多選）（2023春·湖南岳陽·高二校考開學考試）已知數列滿足，則下列結論正確的有（）A．為等比數列B．的通項公式為C．為遞增數列D．的前n項和【答案】ABD【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數列是以4為首項，2為