專題1.3正方形的性質與判定（第2課時）北師大版九年級上冊導入新課講授新課當堂練習課堂小結1．掌握正方形的判定方法．（重點）2．會運用正方形的判定條件進行有關的論證和計算

.(難點)學習目標問題1：什么是正方形？正方形有哪些性質？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形.正方形性質：①四個角都是直角;

②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分.O導入新課問題2：你是如何判斷是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個角是直角四條邊相等定義三個判定定理定義對角線相等定義對角線垂直正方形判定的定理一動一動：過點A作射線AM的垂線AN,分別在AM

,

AN上取點B

,

D

,使AB=AD

,作DC∥AB

,

BC∥AD

,得四邊形ABCD.AMNBDC問題1：上面所畫四邊形ABCD是正方形嗎？為什么？講授新課想一想：將矩形紙片對折兩次，怎樣裁剪才能使剪下的三角形展開后是個正方形？（1）（2）（3）（4）菱形問題2：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對角線互相垂直問題3：滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角對角線相等1.對角線相等的菱形是正方形.

2.對角線垂直的矩形是正方形.

3.有一個角是直角的菱形是正方形.定理正方形判定的兩條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件(1)(2)一個直角對角線相等一組鄰邊相等對角線垂直例1：如圖,在矩形ABCD中,

BE平分∠ABC

,

CE平分∠DCB

,

BF∥CE

,

CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.正方形判定定理的應用二典例精析FABECD解析：先由兩組平行線得出四邊形BECF平行四邊形；再由一個直角，得出是矩形；最后由一組鄰邊相等可得正方形；45°45°FABECD證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC

=90°,

∠DCB=90°,

∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC

=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠

ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC

=45°,∠ECB

=45°,∴∠BEC

=90°,∴菱形BECF是正方形.例2：已知：如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC

,∠ABC的平分線于點D,

DE⊥BC于點E

,

DF⊥AC于點F.求證：四邊形CEDF是正方形.證明:如圖所示,過點D作DG⊥AB于點G.∵DF⊥AC

,

DE⊥BC

,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四邊形CEDF是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）.∴AD平分∠BAC

,

DF⊥AC

,

DG⊥AB.∴DF=DG.同理可得DE=DG

,∴DE=DF.∴四邊形CEDF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.CEBAFDG例3：如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACBOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF做一做：順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形、正方形各邊中點能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH1.下列命題正確的是（）A.四個角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形2．四個內角都相等的四邊形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形DC當堂練習3.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對角線BD平分

ABC

,

P是BD上一點,過點P作PM

AD

,

PN

CD

,垂足分別為M、N.(1)求證：

ADB=

CDB;(2)若

ADC=90

,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∴△ABD≌△CBD(AAS).∴∠ADB=∠CDB.12CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB;∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPMD是矩形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.4.已知：如圖，平行四邊形ABCD中，O是CD的中點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E．（1）求證：△AOD≌△EOC；（2）連接AC、DE，當∠B＝∠AEB＝45°時，求證四邊形ACED是正方形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中點，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四邊形ACED是平行四邊形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴?ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．課后作業1.下列說法錯誤的是（）A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】A【解答】解：A、正方形是對角線互相垂直平分且相等的四邊形，故選項錯誤；B、根據矩形的判定：對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項正確；C、根據菱形的判定，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項正確；D、根據平行四邊形的判定對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項正確．故選：A．2.下列條件中，能判定一個四邊形是正方形的是（）A．有一個角是直角的菱形 B．對角線互相垂直且平分的四邊形 C．有一組鄰邊相等的平行四邊形 D．對角線相等且互相平分的四邊形【答案】A【解答】A、有一個角是直角的菱形是正方形，符合題意；B、對角線互相垂直且平分且相等的四邊形是正方形，不符合題意；C、有一組鄰邊相等且鄰角相等的平行四邊形是正方形，不符合題意；D、對角線互相垂直且平分且相等的四邊形是正方形，不符合題意；故選：A．3.下列說法：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，②對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，③對角線互相垂直的四邊形是菱形，④對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．其中正確說法的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，說法正確；②對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，說法正確；③對角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形，說法錯誤；④對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，說法正確．故選：C．4.如圖，平行四邊形ABCD的對角線互相垂直，要使ABCD成為正方形，還需添加的一個條件是（只需添加一個即可）【答案】∠ABC=90°或AC=BD【解答】解：條件為∠ABC＝90°或AC＝BD，理由是：∵平行四邊形ABCD的對角線互相垂直，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°或AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形，故答案為：∠ABC＝90°或AC＝BD．5.在菱形ABCD中，MNPQ分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合）．對于任意菱形ABCD，下面四個結論中，①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數個四邊形MNPQ是菱形；③存在無數個四邊形MNPQ是矩形；④存在無數個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結論的序號是

．【答案】①②③【解答】解：①如圖，連接AC，BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，連接AC，BD交于O，過點O直線MP和QN，分別交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是平行四邊形，故存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確；②如圖，當PM＝QN時，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數個四邊形MNPQ是矩形；故正確；③如圖，當PM⊥QN時，存在無數個四邊形MNPQ是菱形；故正確；④當四邊形MNPQ是正方形時，MQ＝PQ，則△AMQ≌△DQP（AAS），∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，當四邊形ABCD為正方形時，四邊形MNPQ是正方形，故存在無數個四邊形MNPQ是正方形；故④錯誤；故答案為①②③．10.如圖，AD是△ABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點E、F，連接DE，DF．（1）試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明你的結論；（2）若∠BAC＝60°，AE＝6，求四邊形AEDF的面積；（3）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？請說明理由．【解答】解：（1）四邊形AEDF是菱形，∵AD平分∠BAC，∴