（給出兩個時間需類數據的例子，畫出圖形，一個是宏觀經濟數據GDP（4.1設時點t1,2,,Ty1（給出兩個時間需類數據的例子，畫出圖形，一個是宏觀經濟數據GDP（4.1設時點t1,2,,Ty1y2yT列，可以表示為{ytt1,2,,T或者{y}T。yy,ytt T（realization1）相關性和自相關函關函數（AC:Autocorrelationfunction）cov(ys,ytr(s,t)Var(ys)Var(yt，其中cov(ysytysyt的協方差，Varys和Varytysyt的方差。這種表示方法十分有用。例r(ss10.4r(ssk)0,k2，表明時間上相鄰的兩個變量具有負相關關系，而時間間隔大于12）平穩粗略地將，平穩性是指時間序列的分布規律不隨時間的推移而改變。考慮如果對任何的時間間隔kkT￠￡Ty1,y2yT￠的聯合分布函數y1ky2+k,yT￠+kstationaryE(yt)=2Var(y)=,s,t=tr(s,t)=r(t-stationary設y1,y2,yT為平穩時間序列的一組樣本，則時間序列的數學期望、方差和自stationary設y1,y2,yT為平穩時間序列的一組樣本，則時間序列的數學期望、方差和自相關函T1m?=Tts?2=1(yt-T-1t T(yt-y)(yt-k-T-t=kT1(-tT-t3）滯后和滯后算將{yt,t1,2,,T}沿時間后移得到的時間序列{yt,tk,k+1,,T}稱為滯后（lag，如果后移k個時間間隔，則稱為kytkytk階滯，例如yt-11節滯后時間序列后移的操作稱為滯后運滯后運算可以用滯后算子表示。滯后算子L定義為：Lky=,k=0tt算2yt-35yt-23yt-12yt用滯后算子多項式表示為(2L35L23L2yt(2L3+5L2+3L+2)y=2+5++2tt- 4.21）白噪聲（1）E(e)=0，Var(e)=stte（2）對任意兩個不同時stet和es不相關E(etes)2）自回歸模型2）自回歸模型yt=c+j1yt-1+不相關。從模型中看出，除了常數項c之外，y在t時刻的值分為兩是由前期值確定的部分，第二部分 是不能從前期值推出的部分，是白噪聲序列，分，第一部分（innovation型，很多時間序列模型都可以用自回歸模型表示。在一階自回歸模型中，回歸系數j1的大小和3）移動平均模型（MA：Movingyt=c+j1yt-1+=c+j(c+j+e)=c+jc+yt=c+j1yt-1+=c+j(c+j+e)=c+jc+j2+je+11t- 1t- 1t- ==c(1+j+j2+jk+j)+e+j++j 1 1t- t- 1t-。如果序列為無限時間的時間序列，則kfi￥jkfi0，得1cy+e+j++j+t 1t- t-1-1。由此看出，除常數項外，y可以用白噪聲序列的無窮和式表示。考慮到jkfi0，只t1 yt=c1+(1+q1L++qkLk-4）自回歸移動平均模型（ARMA：AutoRegressionMoving+qkyt-以轉化為AR模型，也可以轉化為MA模型。4.21）0均值yt=c+j1yt-1+jkyt-k+，其中c為常數，回歸系數j1,,jk稱為自回歸系數，{et為白噪聲序列。用AR(k)表示如果{yt}為平穩時間序列，則不同時點隨機變量數學期望相等，即EytEyt-km，對（4.6）兩邊取數學期望得出mcj1mjkm，由此c=(1-j1jk)m，帶入（4.6）yt-m=j1(yt-1-c=(1-j1jk)m，帶入（4.6）yt-m=j1(yt-1-m)+jk(yt-k-m)+0yt0均值化后的時間序列，此時的模型相當于取（4.6）中的c0yt=j1yt-1+jkyt-k+482）平穩性回歸系數必須滿足一定的條件。采用滯后算子L將模型（4.8）表示為其中F(L1j1LjkLkAR(k)模型的滯后多項式。自回歸過程平穩的充分必要F(L)=L滿足|L|1。其中當L為實根時|L|表示絕對值，當L為虛根時|L|表示虛數的模。例如，如果j11L1為（4.9）的根（單位根）1位于單位圓上，不滿足模型平穩條件，對應的時間序列是非平穩的。此時的時間序列稱為單位根過程（unitrootprocess。因此常常把模型是否平穩的檢驗稱為單位根檢驗。再如，如果j1+jk1L1jk1是模型平穩的必要條件（4.9）的根，模型是非平穩的。可以證明j13）自相關函數和偏自相關函（1）AR(1)模型的自相關首先計算AR(1模型中變量的方差。用g0表示變量的方差。考慮0均值化模型g=E(y2)=E(j+e)2=j2E( )+E(e2)=j2g+s0t1t- 1 sg0=Var(yt)=e1-ytyt-1的協方差（用g1表示）為（etyt-1不相關e2g1=cov(y )=E[(je) ]=jt-1 01t1tt-1-。采用同樣的推導可以得出ytyt-k的協方差（用gk表示）jksk1gk=cov(y,)=jge,k= t- 11-1jksk1gk=cov(y,)=jge,k= t- 11-1r(k)=gk=jk,k=10。由于平穩性要求|j1|1，因此當kfi￥r(k)fi0，即自相關系數隨時間間隔的增（2）AR(2)模型的自相關函數和偏自相關函（i）自相關函0均值化的AR(2)模型ytb1yt-1b2yt-2et。同AR(1)模型的計算和所有符號相同有g=E(y2)=E(y(j+e))=jg+jg+s+j0t 1t- 2t- 1 2 (1-j2g 0(1+j)[(1-j)2-j2221r(1)=j11-j1r(2)=j2r(k)=j1r(k-1)+j2r(k-2),k>可得出自回歸系數j1和j2的估計值。可以證明，二階自回歸模型的自相r(k)k的（ii）偏自相關函+jkyt-k+et則自回歸系數 ,jk稱為Correlation)偏自相關函數。AR(k)模型的偏自相關函偏自相關函數。AR(k)模型的偏自相關函數的l￡lf(l)=jl0,l>=4.31）模型識AR模型的功能來對模型進行定階：在主菜單中點擊>SeriesStatistics——（leveldifferenceEviews先將原始數據差分，再對差分后include。選擇后include。選擇后點OK，屏幕顯示計算結果及其圖示inc210沒有顯著差異，因此可以AR模型對數據建模。而從偏自相關函數看，數據的偏自相關函數的截尾特征十分明顯：2）模型估（1）最小二乘從（4.6）看出，自回歸模型是一種線性回歸模型的形式，誤差項etyt-2yt-假設，并且與解釋變不相關，因此采用最小二乘法得出的估計具有一AR(k)y1k（2）極大似然方如果假定誤差項服從正態分布，則可以采用極大似然方法估計模型。由于e~N(0,s2)，因此以 ,,tet-t+j ,s2y~N(c+j+t1t-kt- yt-1,,yt-，條件分布密度k)21(y-c-jy1-+j ,s2y~N(c+j+t1t-kt- yt-1,,yt-，條件分布密度k)21(y-c-jy1--jkft1t-y|y,, (y| ,,)tt- t-2ee。給定樣本y1,,yT，則似然函T/(y-c-j --j)21Texp 1t- kt- L(y ,y|c,j1,,jk)= 2 et=ke，取自然對數得到對數似然函TT2lnL(y ,y|c,j,,j)=-ln(2p)-ln(s1 e22T(y-c-j-j+-t1t-kt-et=k。極大化似然函數，可以得出與最小二乘相同的估計結果自回歸模型的估計可以很容易地在Eviews中實現。以文件c:\program在打開的工作文件界面中點擊主菜單的Quick—>EstimateEquation，進入模型設定對話框設定模型時，首先寫出要建立AR模型的時間序列變量名字，空格后寫出ar(1)ar(2)等，y2ar(1)ar(2)表示要估計的模型為形如y2tcj1y2t-1j2y2t-2et的自回歸模型。如果模型設定y2ar(2)ar(4) 估計初值進行設定，然后點 OK，得出如下結果合效果。調R2、AIC準則SC準則都是選擇模型的重要標準。選擇不同的滯后階數時顯然，0.75位于單位圓之內，因此對應的時間序列平穩3）模型檢（1）白噪聲檢驗的Q統計量（Q-聲檢驗。設時間序yt的自相關系數為r(3）模型檢（1）白噪聲檢驗的Q統計量（Q-聲檢驗。設時間序yt的自相關系數為r(kyt為白噪聲，則對所有的kr(k)H1k使得r(kH0:r(k)=0,k=1,2,,M (y-y)(-tt-r?(k)=T-k-t=k,k=1,2,,1 (y-T-tBoxPierce（1970）證明，如果原假設成樣本量Tfi￥時，樣本自相關函數r?(kMQ=Tr?2k好的漸進效果，Ljung和Box（1978）將Q統計量改進為如下形式：MQ=T(T+T-k（3）回歸模型誤差項的白噪聲檢相關函數為r(k，待檢驗假設為：H1k使得r(kH0:r(k)=0,k=1,2,,M設e?1,,e?T為回歸的殘差序列，類似與（4.17，定義殘差的樣本自相關系數為（殘差均0 Tt-tT-k-t=kr?(k),k=1,2,,1 T-tMQ=MQ=T(T+2)k=1T-，則在原假設成Q漸進服從自由度為Mp的c2分布，p為自回歸模型的階數。給定顯著水平表得c2分布的臨界值c2(a)將實際計算出的Q值和臨界值c2(a)比較，如果Qc2(a，則拒絕原假設，即不能認為誤差項為白噪聲。反之，不能拒絕誤差項為白噪聲。Eviews殘差檢驗采用殘差Q統計量。p（2）用Eviews進行殘差項白噪聲檢當模型估計完成后，在Eviews彈出的估計結果界面，點擊（ProbProb值小于0.01，則在0.01水平上拒絕原假設。y2ar(1)ar(2)c，估計結果輸出，滯后多項式根的倒數表明，AR(2)是平穩的。再次對殘差進行白噪聲檢驗，的如下結Q統計值及顯著水平看出，當最大相關階3時0.05水平上拒絕原假設，即殘和8階滯后變量。需要重新設定模型。采用類似的方法可以驗證，用AR(3)對原數據建模模型殘差為白噪聲序列。因此，AR(3)為合適的模型3）用AR模型進行預自回歸模型將時間序列在t時的值表示為歷史值的線性組合加上一個新息，這種遞推結設時間yt的樣本區間為t1,2,,T，往前l期的時間序列值yT+l,l1,2。我（1）一期差，數學期望E[e2(1)]=E[ error （4.6一期最優預+jpy(T+1)-+jpyT-(kE[e(1)]2=E(e2)=sTTE[e(1)]2=E(e2)=sTT 。（2）多期+jpy(T+l)-yT+l-1,yT+l-2yT+1未知，不能直接進行lyT+1step1：用一步預測yT+1的預測值y?T(1)step2y?T(1)yT+1用一步預測計yT+2的預測y?T(2，+jpy(T+l)-+stepl：用y?T(1),y?T(2), y?T(l)=c+j1y?T(l-1)+j2y?T(l-2)++jpy?T(l-，如果lk￡0y?T(lk)yT+l-kytcj1yt-1ety1,yT，則一期預測和二期預測為T1 1，依此類推得出l期預測y?(l)=c(1+j+j2l+j)+jT 11=c(1+j)+j2+j -y?+ 1T+l- T 1T