第4章曲面和曲面立體的投影4.1曲線的投影曲線可以看成是不斷改變運動方向的點連續運動的軌跡。曲線可以分成規則曲線和不規則曲線。曲線也可以分成平面曲線與空間曲線。4.1.1曲線的形成與分類曲線的投影一般仍為曲線。曲線是點的集合，畫出曲線上一系列點的投影，并以曲線光滑連接，就得到該曲線的投影。

曲線上過一點的切線，其投影仍與曲線的投影相切于該點的同面投影。

平面曲線的投影：1.曲線平面平行于投影面，投影反映實形；2.曲線平面垂直于投影面，投影是一直線；3.曲線平面傾斜于投影面，投影是相仿形。4.1.2曲線的投影特性例4-1：

已知圓位于鉛垂面P內，圓心為O點，直徑為D，試作出該圓的正面投影。解：根據圓平面對投影面的傾斜狀態，圓的投影而有三種情形：等大的圓長度等于直徑的線段長軸長度等于直徑的橢圓。4.1.2曲線的投影特性例4-1：

已知圓位于鉛垂面P內，圓心為O點，直徑為D，試作出該圓的正面投影。4.1.2曲線的投影特性圓柱螺旋線：右旋

左旋動點繞圓柱軸線作勻速旋轉，同時又沿圓柱軸線方向作勻速移動，動點的運動軌跡即為圓柱螺旋線。動點旋轉一周沿軸線方向移動的距離稱為導程，螺旋線有右旋螺旋線和左旋螺旋線之分。4.1.2曲線的投影特性例4-2：

已知右旋螺旋線的軸線為鉛垂線O，動點的起點為M(m，m’)點，導程為h，試作出該螺旋線的兩投影。4.1.2曲線的投影特性4.2曲面的投影曲面是運動的線按照一定的控制條件運動的軌跡。運動的線稱為母線，任意位置的母線稱為素線，控制母線運動的線或面，稱為導線、導面。4.2.1曲面的形成與分類分類：1、

直紋面與曲線面2、

旋轉曲面與非旋轉曲面在旋轉曲面中，母線上任一點的運動軌跡是圓，稱之為緯圓（緯線），緯圓所在的平面垂直于旋轉軸，圓心在旋轉軸上。比相鄰兩側都大的緯圓稱為赤道，比相鄰兩側都小的緯圓稱為喉圓。在旋轉曲線面中過旋轉軸的平面稱為徑面，徑面與曲面的交線稱為經線。4.2.1曲面的形成與分類原則上說，只要作出確定曲面的幾何要素的投影，就能用投影表示曲面。但在投影圖上表示一個曲面時，需畫出曲面的外形輪廓。4.2.2曲面投影的表示方法為了形象和確切表示曲面，有時還畫出曲面上有規律分布的若干條素線或曲面網格來表示曲面。4.2.2曲面投影的表示方法1.柱面形成：直母線l沿曲導線C運動，且始終保持與某一固定方向T平行。4.2.3常見曲面的投影2.錐面形成：直母線l沿曲導線C運動，且始終通過定點S。4.2.3常見曲面的投影3.柱狀面直母線沿著兩條曲導線運動，且始終平行于某一導平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面。柱狀面橋墩4.2.3常見曲面的投影4.錐狀面直母線沿著一條直導線和一條曲導線移動，且始終平行于某一導平面，這樣形成的曲面稱為錐狀面。4.2.3常見曲面的投影5.螺旋面以圓柱螺旋線及其軸線為導線，直母線沿著它們移動而同時又與軸線保持一定角度，這樣形成的曲面稱為螺旋面。

直母線與軸線始終正交，則形成的是正螺旋面（或直螺旋面、平螺旋面）；若直母線與軸線斜交成某個定角，則形成的是斜螺旋面。4.2.3常見曲面的投影6.雙曲拋物面直母線l沿著兩條交錯的直導線AB、CD移動，且始終平行于某個導平面P，這樣形成的曲面稱為雙曲拋物面。4.2.3常見曲面的投影7.單頁旋轉雙曲面直母線l繞著與其交錯的軸線旋轉，形成的曲面稱為單頁旋轉雙曲面。4.2.3常見曲面的投影8.球面球面是由圓繞自身的任一直徑旋轉生成的曲線面，球面任意方向的正投影都是圓。4.2.3常見曲面的投影4.3曲面立體的投影形成：由圓柱面和兩個底平面圍成的立體，稱為圓柱體，簡稱圓柱。

直圓柱的底平面垂直于圓柱的軸線。4.3.1圓柱例4-3：

已知圓柱面上點M的正面投影m′，求作點M的其余兩投影。解：由于m′可見，所以M點位于前半圓柱面上，利用圓柱面的水平投影有積聚性，可作出水平投影m。由m′、m作出m″，因為M點在左半圓柱面上，所以m″可見。4.3.1圓柱形成：由圓錐面和底平面圍成的立體稱為圓錐體。直圓錐的底平面垂直于圓錐的軸線。4.3.2圓錐和圓臺圓錐用垂直于軸線的另一平面截去錐頂，得到圓臺。4.3.2圓錐和圓臺例4-4：

已知圓錐面上點M的正面投影m′，試作點M的其余兩投影。解：根據m′可見，得點M在前半錐面上，過m′作一素線的正面投影，求出該素線的水平投影，由從屬性可求出m，根據m、m′即可求出m″。借助于圓錐面上素線定點的方法叫做素線法。4.3.2圓錐和圓臺例4-4：

已知圓錐面上點M的正面投影m′，試作點M的其余兩投影。解：也可過點M作緯圓，并求出該緯圓對應的水平投影和側面投影，求得點M的另兩投影。借助于圓錐面上緯圓定點的方法叫做緯圓法。4.3.2圓錐和圓臺球面自身封閉形成球體。與球面的投影相同，球的三個投影都是等大的圓。

球面上定點、定線只能使用緯圓法。4.3.3球4.4曲面立體的截切與相貫曲面體的截交線一般是平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形。截交線是截平面與被截表面的共有線。4.4.1截交線截交線的具體形狀，與曲面的類型及截平面的位置有關。當截交線是曲線時，需要求出屬于曲線上的一些點，連接這些點才能畫出截交線。為了控制好截交線的形狀，求點時應求出曲線上的一些特殊點和一般點。4.4.1截交線依據截平面與圓柱的相對幾何關系，平面與圓柱面的交線有3種情形。4.4.2平面截切圓柱例4-5：

已知圓柱被一正垂面截斷，求截斷圓柱的三面投影圖。解：截平面傾斜于圓柱的軸線，所以與圓柱面的交線是個橢圓。截平面是正垂面，所以橢圓的正面投影積聚在正垂面的傾斜線段上，水平投影與圓柱面的水平投影重合為圓，側面投影為橢圓。4.4.2平面截切圓柱例4-6：

已知圓柱被三個平面切割，求作其水平投影。解：圓柱被兩個水平截平面和一個正垂面切割，水平截平面截圓柱面得兩平行的素線，正垂截平面截圓柱面得橢圓弧。多個截平面切割立體,還應作出相鄰截平面之間的交線。4.4.2平面截切圓柱圓柱被切割成型的一些例子4.4.2平面截切圓柱截平面與圓錐面的交線有五種形式：4.4.3平面截切圓錐截平面與圓錐面的交線有五種形式：4.4.3平面截切圓錐例4-7：

已知圓錐被一正垂面切割，求截斷圓錐的三面投影圖。解：截平面與錐面軸線傾斜且與所有素線相交，所以交線為橢圓。4.4.3平面截切圓錐例4-8：

已知有缺口圓錐的正面投影，求此圓錐的三面投影圖。4.4.3平面截切圓錐解：缺口由三個平面構成，上面是通過錐頂的正垂面；中間是與圓錐最右側輪廓素線平行的正垂面；下面是垂直于圓錐軸線的水平面。平面與球面相交，交線總是圓。但圓的投影根據截平面對投影面的傾斜關系可能是直線、圓或者橢圓。4.4.4平面截切球例4-9：

球被正垂面切割，已知其正面投影，求作其水平投影。4.4.4平面截切球相貫線一般是由多條截交線組成的空間曲折線。曲折線的頂點是平面體的棱線與曲面體的交點，叫做貫穿點。求作平面體與曲面體的相貫線，可歸結為求曲面體的截交線和貫穿點問題。4.4.5平面體與曲面體相貫貫穿點截交線例4-10：

求作正三棱柱與圓錐表面間交線的三面投影。解：三個棱面與圓錐面相交形成三條截交線，均為雙曲線。4.4.5平面體與曲面體相貫曲面體相交，產生交線，亦稱相貫線。曲面體間的相貫線是空間曲線，特殊情形下可能是平面曲線或直線。

曲面體上開槽、穿孔，如果發生了曲表面間相交，這種關系也屬于相貫問題4.4.6兩曲面體或曲表面相交

相貫線是表面間的共有線，找到一些共有點，可連成光滑曲線。求點時應求出特殊點和一般點。

求共有點的常用方法有表面定點法和輔助平面法。4.4.6兩曲面體或曲表面相交例4-11：

兩直徑不等的圓柱其軸線正交，試作出其相貫線。解：豎直大圓柱的水平投影積聚為圓；平放小圓柱的正面投影也積聚為圓，即有了相貫線的水平投影和正面投影，只需作出它的側面投影。4.4.6兩曲面體或曲表面相交在圓柱上穿孔，交線的求法與兩實體圓柱相貫時相同。在投影圖上需畫出圓孔內的輪廓素線。4.4.6兩曲面體或曲表面相交例4-12：

求作圓柱和半球體間交線的三面投影。解：整個圓柱與半球的左側相交，相貫線是一條閉合的空間曲線。求點時用輔助平面法，選取水平輔助平面切割兩個立體。4.4.6兩曲面體或曲表面相交

兩曲面體或曲表面相交時，在特殊情形下相貫線可能是平面曲線或直線。4.4.6兩曲面體或曲表面相交4.5圓柱與圓錐的軸測圖投影在一般情況下，圓柱和圓錐的底面是位于或平行于某個坐標面的。

畫圓柱和圓錐的軸測圖，需畫出底圓和柱面、錐面關于軸測投影投射方向的外形輪廓線的軸測投影。

曲面的外形線與底圓在軸測圖上是相切的關系。圓柱與圓錐的軸測圖投影在正等軸測投影中，平行于任一坐標面的底圓，其正等軸測圖總是橢圓，可以證明，該橢圓的長軸垂直于對應的軸測軸，各橢圓的短軸垂直于各自的長軸。位于或平行于坐標面的圓的軸測圖在斜二軸測投影中，由于坐標面XOZ平行于軸測投影面，凡是平行于該坐標面的圓，其斜二軸測投影總是同樣大小的圓，而平行于另兩個坐標面的底圓，其斜二軸測圖均為橢圓，它們的長軸方向均不與對應的軸測軸垂直。位于或平行于坐標面的圓的軸測圖圖中哪些軸測橢圓的長軸方向畫錯了？位于或平行于坐標面的圓的軸測圖1.坐標定點法是最基本的方法（可用于任意種類的軸測圖）4.5.1軸測橢圓的畫法有規律地取點方法：八點法（可用于任意種類的軸測圖）4.5.1軸測橢圓的畫法2.軸測橢圓的近似畫法，四心法（限于正等軸測圖）4.5.1軸測橢圓的畫法例4-13：

畫出圓拱洞門的斜二軸測圖。解：拱圈的底面平行于V面，在斜二軸測圖中反映實形。4.5.2畫圓柱和圓錐的軸測投影例4-14：

已知組合體的兩面投影圖，試畫其正等軸測圖。4.5.2畫圓柱和圓錐的軸測投影將軸測投影的投射方向S向三投影面作正投影，可在三面正投影圖上表示出軸測投影的投射方