2021-2022學年聯合校高一上學期期末考試模擬試卷數學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一項是符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】因集合，，則.故選：B.2.“實數”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據“”與“”的互相推出情況判斷出結果.【詳解】當時，顯然成立，當時，此時不一定成立，例如時可取任意實數，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米2020石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得270粒內夾谷30粒，則這批米內夾谷約為（）A.222石 B.224石C.230石 D.232石【答案】B【解析】【分析】由題意求出夾谷占有的概率，從而可求出這批米內的夾谷數【詳解】由題意，抽樣取米一把，數得270粒內夾谷30粒，即夾谷占有的概率為，所以2020石米中夾谷約為2020×≈224(石)．故選：B4.已知平面向量，，若，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用平面向量平行的坐標公式計算即可.【詳解】由題意知，，解得：.故選：A.5.下列說法中成立的是（）A B.C. D.方程的根是【答案】D【解析】【分析】直接根據指數和對數的運算性質逐一判斷即可.【詳解】因為，故A錯誤；因為，故B錯誤；因為，故C錯誤；因為，所以，即，故D正確；故選：D.6.如圖，在等腰梯形中，，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據梯形的性質，以及向量加法法則，即可求解.【詳解】在等腰梯形中，，由，得，所以，所以，所以為直角三角形，所以，則.故選：C.7.設，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】結合分段函數解析式由內向外計算即可.【詳解】因為，所以，所以，故選：D.8.函數在上有兩個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由轉化為與在上有兩個不同的交點，畫圖觀察即可.【詳解】令，依題意知，方程在上有兩個不同的根，即函數與在上有兩個不同的交點，如圖所示，的對稱軸為，則，當時，，所以由圖可知，.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.某士官參加軍區射擊比賽，打了10發子彈，報靶數據如下：6，5，9，10，7，8，9，10，9，7，（單位：環），下列說法正確的有（）A.這組數據的平均數是8 B.這組數據的80%分位數是9C.這組數據的中位數是8.5 D.這組數據的方差是2.6【答案】ACD【解析】【分析】求出平均數判斷A，求出這組數據的80%分位數判斷B；求出這組數據的中位數判斷C；根據方差公式求出這組數據的方差判斷D.【詳解】對于A，這組數據的平均數為，A正確；對于B，將這組數據從小到大排列為，由于，故這組數據的80%分位數是，B錯誤；對于C，這組數據從小到大排列為，中位數為，C正確；對于D，這組數據的方差為，D正確，故選：ACD10.已知，且，則的取值可以是（）A.8 B.9 C.（為自然對數的底數） D.【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式求的最小值，進而可得答案.【詳解】，且，則，當且僅當時等號成立，又因為，所以的可能取值有9和，故選：BD.11.十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若實數，則下列不等式一定成立是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】運用舉例可以判斷A項，運用冪函數性質可判斷B項，運用作差法可判斷C項，運用于函數單調性可判斷D項.【詳解】對于A項，當，時，滿足，也滿足，當，時，滿足，但，，此時，故A項不一定成立；對于B項，因為，所以，，所以，故B項不成立；對于C項，因為，所以，，所以，即，故C項一定成立；對于D項，因為函數是減函數，，所以，故D項一定成立.故選：CD.12.下列說法正確的序號是（）A.偶函數的定義域為，則B.設，若，則實數的值為或C.奇函數在上單調遞減，且最大值為8，最小值為，則D.若集合中至多有一個元素，則【答案】AD【解析】【分析】由偶函數定義可判斷A項，由分別研究、、時的值即可判斷B項，由奇函數定義及單調性定義計算可判斷C項，分別研究、時方程的根的個數即可判斷D項.【詳解】對于A項，由偶函數的定義可知，，解得，又因為，即，解得，所以，故A項正確；對于B項，，因為，所以①當時，，符合題意，②當時，，解得，③當時，，綜述：或或，故B項不成立；對于C項，由題意知，，，又因為為奇函數，所以，故C項不成立；對于D項，由題意知，集合中沒有元素或有且只有一個元素，①當時，，符合題意，②當時，，解得，綜述：或，故D項正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.函數（且）的定義域為（寫成區間形式）______.【答案】【解析】【分析】根據對數的真數大于零即可得解.【詳解】由函數，得，解得，故答案為：.14.己知冪函數的圖象過點，則______.【答案】【解析】【分析】先根據冪函數的定義及所過的點求出函數解析式，進而可得出答案.【詳解】因為函數是冪函數，所以，解得，又冪函數的圖象過點，所以，解得，所以，所以.故答案為：.15.已知，______.【答案】##【解析】【分析】先根據條件等式結合對數運算性質得到的值，然后利用換底公式可求結果.【詳解】因為且，所以，所以，所以，所以，故答案為：16.滿足，，且對于，，則是函數的單調遞______（填“增”或“減”）區間，關于的不等式的解集是______.【答案】①.增②.【解析】【分析】由函數單調性的定義可得第一空；利用函數的對稱性，結合第一空的單調性與對數函數的性質可解第二空.【詳解】因為滿足，所以關于對稱，對于，，則在上函數單調遞減，所以在上函數單調遞增，且；因為，所以，結合對數函數的定義域知，解得，故答案為：增；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算下列各式的值（1）（2）（3）【答案】（1）4（2）（3）1【解析】【分析】運用指數運算公式及對數運算公式計算即可.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.小問3詳解】原式.18.為了謳歌中華民族實現偉大復興的奮斗歷程，增進學生對黨史的了解，某班級開展黨史知識競賽活動，現把50名學生的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值并估計這50名學生成績的中位數；（2）用分層抽樣的方法從成績在，兩組學生中抽取5人進行培訓，再從這5人中隨機抽取2人參加校級黨史知識競賽，求這2人來自不同小組的概率.【答案】（1）；中位數為；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率之和為列方程來求得，根據中位數的求法，求得中位數.（2）利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）根據頻率分布直方圖得：，解得：，∵前三組的頻率之和為0.3，前4組的頻率之和為0.6，所以中位數在第四組，∴中位數為：.（2）設這2人來自不同組為事件，因為小組和小組的頻率的比值為.所以，來自小組的有3人記為，，，來自小組的有2人記為，，從5人中隨機抽取2人，基本事件，，，，，，，，，共10個，這2人來自不同組的有，，，，，，共6個，所以這2人來自不同小組的概率為.19.平面直角坐標系中，，為坐標原點.（1）令，若向量，求實數的值；（2）若點，求的最小值．【答案】（1）或（2）5【解析】【分析】（1）利用向量線性運算的坐標表示和向量模的坐標運算，求實數的值；（2）利用向量模的坐標運算和函數的單調性，求的最小值．【小問1詳解】，所以，由得，解得：或.【小問2詳解】因為，所以，因為，均為單調遞增函數，所以當時，，即的最小值為5．20.已知f（x）＝，a是大于0的常數．（1）求；（2）求的值；（3）利用（2）的結論求＋＋+…＋的值．【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】(1)直接代入求值即可；(2)由f(x)＝，得f(1－x)＝，然后相加再化簡可得定值；(3)結合（2）的結論求解即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】由f(x)＝，得f(1－x)＝，所以故有．【小問3詳解】由（1）(2)知，＋＋+…＋=++…＋＋＝1×1010+＝21.某廣場欲建一塊的矩形綠地，在綠地的四周鋪設2寬的人行道，如圖所示．設矩形綠地的長為，綠地與人行道一共占地．（1）試寫出關于的函數關系式；（2）求為何值時，占地面積最小．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由矩形綠地的長，求出寬，得到綠地與人行道的總長與總寬，由面積公式寫出關于的函數關系式；（2）利用基本不等式求最小值.【小問1詳解】由題意，易知綠地與人行道的長為，寬為，故，；【小問2詳解】由基本不等式可知，，當且僅當時，即時，等號成立，故m時，占地面積的最小值為291622.已知函數，，且.（1）判斷并證明函數的奇偶性；（2）令，若，求的值；（3）已知函數在上單調遞減，解關于的不等式.【答案】（1）為奇函數，證明見解析（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）先判斷定義域是否關于原點對稱，然后根據的結果完成證明；（2）先計算出的值，再根據對數運算以及的奇偶性將轉化為的表示形式，由此可求結果；（3）根據進行分類討論，判