第頁共頁南極小客人的數學奇遇——小學數學教案小學數學教案南極，是地球上少有的幾乎沒有人類居住的地方。這里冰天雪地、荒無人煙，卻同時也是寒帶生態系統中最重要、最脆弱的環節之一。南極洲是地球上保存最完整、規模最大的冰原地帶之一，冰雪覆蓋近14,000,000平方公里。南極極地氣候，每年數月太陽不落、數月不升，溫度初冬時會降至零下75攝氏度左右，這里是雪漠區域，降雪量極大。然而，在南極這樣一個極端的環境下，有一群勇敢的人，他們是南極的小客人。雖然他們小小的身軀被包裹在厚厚的冬裝里，但他們并不害怕南極的嚴寒。這群小客人中，有一位叫做小胖的男孩，他本來是一名小學四年級的學生，因為他的父親是南極科考隊的一員，所以他有幸來到南極。小胖是一名數學愛好者，他在南極過得十分愉快，因為他有一位可的老師，老師為他開設了一堂有趣的數學課。一天，小胖的老師與他分享了這樣一道數學題：有8個相同的小球和一個不同的小球，將它們放入三個完全相同的盒子中，任意放三個盒子的方法一共有多少種？這個問題聽起來有些復雜，但是當小胖的老師用圖示的方式向小胖展示時，問題就變得簡單了。小胖的老師拿出三個大小不一的盒子，用相同的顏色代表相同的小球，用不同的顏色代表不同的小球。如圖：那么，我們該怎么計算任意放三個盒子的方法呢？小胖想了想，他將問題分成了兩個部分。我們需要考慮任意將9個球放入三個空的盒子中的方式。他說：每個球可以放在任意一個盒子里，因此每個球有3種放法，一共有9個球，那么共有3的9次方種放法，即$3^9=19683$種放法。我們需要從這些放法中減去三個盒子中都沒有不同球的情況，因為這樣的情況不符合題意，它表示三個盒子都放了相同的8個球。小胖認為：每個盒子都不能放不同的球，因此有兩個選項：把那個不同球塞到三個盒子中的一個盒子里，或者將那個不同球放到任意一個盒子里，此時就可以用之前的思路求解解出放法總數。當小胖算完以后，他得出答案是$3^9-3\cdot2^9+3=19656$。小胖的老師聽到小胖正確回答題目，感到十分欣慰，他給小胖一個任務，希望他能夠自己解決下面的問題：有一條長為$15$米的墻，我要在墻上縱向懸掛$5$幅相同大小的畫，每個畫要相鄰而不重疊，我們可以不用細心考慮畫的厚度，我們選擇畫的掛法有多少種不同的方法？小胖看到這個問題有些困難，但他仍然不死心。他開始用圖示的方式來解決這個問題。首先他用$O$代表空點，用$X$代表畫的點，這樣原來的問題就變成了在5個$X$點中插入4個$O$點的問題，他想到這些$X$和$O$點組成了一個五段式的圖形，他可以分別討論每一段有多少種畫法，然后再根據乘法原理把它們乘起來就可以了。例如，在下圖中$L_3$這個段的兩個$X$之間插入$O_3$和$O_4$也就是在$4$個位置中選$2$個位置進行插入，在$O_3$和$O_4$之間插入$O_5$是唯一可選的位置，這樣就可以確定$L_3$段的畫法。類似的思路可以得到$L_1-L_5$的畫法分別為45、21、9、7和1種。根據乘法原理，可知五段式圖形的總畫法是$45\times21\times9\times7\times1=4,233,045$。小胖的思維可以使任何一個學生都十分贊賞，他的數學修養、數學素養、數學分析能力和數學推理能力都得到了充分的鍛煉，所以，即使在南極這樣的極端環境下，小胖的學習成績也是十分優異的。小胖的數學故事啟發我們，數學是人類的一種重要思維方式，它不僅可以為