專題14.2因式分解【典例1】【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式ax2+bx+c進行因式分解呢？我們已經知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1反過來，就得到：a1我們發現，二次項的系數a分解成a1a2，常數項c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b，那么ax2+bx+c就可以分解為a1xc1像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1×1，把常數項－6也分解為兩個因數的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項的系數－1，于是x2-x-6就可以分解為(x2)(請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式：x2-x-6=【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（1）2x2+5x-7（2）6x2-7xy+2【探究與拓展】對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規則，則原式=mxpyjnx（1）分解因式3x2+5xy-2（2）若關于x，y的二元二次式x2+7xy-18y（3）已知x，y為整數，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1【思路點撥】【閱讀與思考】利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【理解與應用】（1）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；（2）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【探究與拓展】（1）根據二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可得到答案；（2）根據二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可求解；（3）根據二元二次多項式的十字相乘法，對方程進行分解因式，化為二元一次方程，進而即可求解．【解題過程】解：【閱讀與思考】畫十字交叉圖：∴x2-x-6=x-3x2故答案是：x-3x2；【理解與應用】（1）畫十字交叉圖：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）畫十字交叉圖：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究與拓展】（1）畫十字交叉圖：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如圖，∵關于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成兩個一次因式的積，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值為：43或－78；（3）∵x2∴x2畫十字交叉圖：∴(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴x+2y+1=0或x+y+1=0，∵x，y為整數，∴x=－1，y=0是一組符合題意的值．1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）分解因式：x6-283．（2023春·七年級課時練習）分解因式：a4-44．（2023春·七年級課時練習）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．5．（2023春·七年級課時練習）因式分解：6x26．（2023春·七年級課時練習）分解因式：x+y-2xyx+y-2+7．（2023春·江蘇·七年級專題練習）分解因式：（1）x2-7x+10（2（3）x2x2-5x-6（5）x23x2+x-2（7）x2-12x2+25x-12（9）x2x2-y（11）x2a2+4a-9b8．（2022秋·全國·八年級專題練習）因式分解：（1）x2-2x3+16x2（3）x2(x2-x-3)(x2（5）x29．（2023春·七年級課時練習）因式分解：（1）x2a2-4b2+12bc-9（3）x210．（2022秋·江西景德鎮·七年級景德鎮一中校考期末）分解因式：（1）3a(b2+9)2-108ab（3）計算：24+1414+11．（2022秋·全國·八年級專題練習）把下列多項式分解因式：（1）a2+4ab+4b2-ac-2bc（3）a2-b2-12．（2023·全國·九年級專題練習）因式分解：（1）2aa-12-28a2（3）4x3-2x213．（2023春·全國·七年級專題練習）因式分解：x14．（2022秋·全國·八年級專題練習）因式分解：（1）2（2）x15．（2022秋·北京海淀·七年級清華附中校考期末）當m為何值時，多項式6x2+mxy-5y216．（2022秋·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣317．（2022秋·全國·八年級專題練習）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：x（2）分解因式：9m（3）分解因式：4a18．（2022秋·全國·八年級期末）因式分解與整式乘法互為逆運算．如對多項式x2﹣7x+12進行因式分解：首先，如果一個多項式能進行因式分解，則這個多項式可看作是有兩個較低次多項式相乘得來的．故可寫成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（對任意實數x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一組解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像這種能把一個多項式進行因式分解的方法，稱為待定系數法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），請寫出一組滿足要求的a，b，c的值：．（3）請你運用待定系數法，把多項式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4進行因式分解．19．（2023秋·湖北襄陽·八年級期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上述方法無法分解，例如x2x===這種方法叫分組分解法，請利用這種方法因式分解下列