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專題14.2因式分解【典例1】【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項式ax2+bx+c進行因式分解呢?我們已經知道,a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1反過來,就得到:a1我們發現,二次項的系數a分解成a1a2,常數項c分解成c1c2,并且把a1,a2,c1,c2如圖①所示擺放,按對角線交叉相乘再相加,就得到a1c2+a2c1,如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b,那么ax2+bx+c就可以分解為a1xc1像這種借助畫十字交叉圖分解系數,從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法,通常叫做“十字相乘法”.例如,將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為:首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積,即1=1×1,把常數項-6也分解為兩個因數的積,即-6=2×(-3);然后把1,1,2,-3按圖②所示的擺放,按對角線交叉相乘再相加的方法,得到1×(-3)+1×2=-1,恰好等于一次項的系數-1,于是x2-x-6就可以分解為(x2)(請同學們認真觀察和思考,嘗試在圖③的虛線方框內填入適當的數,并用“十字相乘法”分解因式:x2-x-6=【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式:(1)2x2+5x-7(2)6x2-7xy+2【探究與拓展】對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關于x,y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解.如圖④,將a分解成mn乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三列,如果mqnpb,pkqje,mknjd,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規則,則原式=mxpyjnx(1)分解因式3x2+5xy-2(2)若關于x,y的二元二次式x2+7xy-18y(3)已知x,y為整數,且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1【思路點撥】【閱讀與思考】利用十字相乘法,畫十字交叉圖,即可;【理解與應用】(1)利用十字相乘法,畫十字交叉圖,即可;(2)利用十字相乘法,畫十字交叉圖,即可;【探究與拓展】(1)根據二元二次多項式的十字相乘法,畫十字交叉圖,即可得到答案;(2)根據二元二次多項式的十字相乘法,畫十字交叉圖,即可求解;(3)根據二元二次多項式的十字相乘法,對方程進行分解因式,化為二元一次方程,進而即可求解.【解題過程】解:【閱讀與思考】畫十字交叉圖:∴x2-x-6=x-3x2故答案是:x-3x2;【理解與應用】(1)畫十字交叉圖:∴2x25x7=x12x7,故答案是:x12x7;(2)畫十字交叉圖:∴6x27xy2y2=2xy3x2y,故答案是:2xy3x2y;【探究與拓展】(1)畫十字交叉圖:∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4,故答案是:x2y13xy4;(2)如圖,∵關于x,y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成兩個一次因式的積,∴存在1×1=1,9×(-2)=-18,(-8)×3=-24,7=1×(-2)+1×9,-5=1×(-8)+1×3,∴m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78.∴m的值為:43或-78;(3)∵x2∴x2畫十字交叉圖:∴(x+2y+1)(x+y+1)=0,∴x+2y+1=0或x+y+1=0,∵x,y為整數,∴x=-1,y=0是一組符合題意的值.1.(2023春·江蘇·七年級專題練習)因式分解:15x2+13xy﹣44y2=_____.2.(2023春·江蘇·七年級專題練習)分解因式:x6-283.(2023春·七年級課時練習)分解因式:a4-44.(2023春·七年級課時練習)因式分解:x3﹣6x2+11x﹣6=_____.5.(2023春·七年級課時練習)因式分解:6x26.(2023春·七年級課時練習)分解因式:x+y-2xyx+y-2+7.(2023春·江蘇·七年級專題練習)分解因式:(1)x2-7x+10(2(3)x2x2-5x-6(5)x23x2+x-2(7)x2-12x2+25x-12(9)x2x2-y(11)x2a2+4a-9b8.(2022秋·全國·八年級專題練習)因式分解:(1)x2-2x3+16x2(3)x2(x2-x-3)(x2(5)x29.(2023春·七年級課時練習)因式分解:(1)x2a2-4b2+12bc-9(3)x210.(2022秋·江西景德鎮·七年級景德鎮一中校考期末)分解因式:(1)3a(b2+9)2-108ab(3)計算:24+1414+11.(2022秋·全國·八年級專題練習)把下列多項式分解因式:(1)a2+4ab+4b2-ac-2bc(3)a2-b2-12.(2023·全國·九年級專題練習)因式分解:(1)2aa-12-28a2(3)4x3-2x213.(2023春·全國·七年級專題練習)因式分解:x14.(2022秋·全國·八年級專題練習)因式分解:(1)2(2)x15.(2022秋·北京海淀·七年級清華附中校考期末)當m為何值時,多項式6x2+mxy-5y216.(2022秋·全國·八年級專題練習)閱讀下列材料:材料1:將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時,如果能滿足q=mn且p=m+n則可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n),如:(1)x2+4x+3=(x+1)(x+3);(2)x2﹣4x﹣12=(x﹣6)(x+2).材料2:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1,解:將“x+y看成一個整體,令x+y=A,則原式=A2+2A+1=(A+1)2,再將“A”還原得:原式=(x+y+1)2上述解題用到“整體思想”整體思想是數學解題中常見的一種思想方法,請你解答下列問題:(1)根據材料1,把x2+2x﹣24分解因式;(2)結合材料1和材料2,完成下面小題;①分解因式:(x﹣y)2﹣8(x﹣y)+16;②分解因式:m(m﹣2)(m2﹣2m﹣2)﹣317.(2022秋·全國·八年級專題練習)將一個多項式分組后,可提公因式或運用公式繼續分解的方法是因式分解中的分組分解法,一般的分組分解法有四種形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.如“2+2”分法:ax+ay+bx+by=請你仿照以上方法,探索并解決下列問題:(1)分解因式:x(2)分解因式:9m(3)分解因式:4a18.(2022秋·全國·八年級期末)因式分解與整式乘法互為逆運算.如對多項式x2﹣7x+12進行因式分解:首先,如果一個多項式能進行因式分解,則這個多項式可看作是有兩個較低次多項式相乘得來的.故可寫成x2﹣7x+12=(x+a)(x+b),即x2﹣7x+12=x2+(a+b)x+ab(對任意實數x成立),由此得a+b=﹣7,ab=12.易得一組解:a=﹣3,b=﹣4,所以x2﹣7x+12=(x﹣3)(x﹣4).像這種能把一個多項式進行因式分解的方法,稱為待定系數法.(1)因式分解:x2﹣15x﹣34=.(2)因式分解:x3﹣3x2+4=(x+a)(x2+bx+c),請寫出一組滿足要求的a,b,c的值:.(3)請你運用待定系數法,把多項式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4進行因式分解.19.(2023秋·湖北襄陽·八年級期末)常用的因式分解的方法有:提公因式法和公式法,但有的多項式用上述方法無法分解,例如x2x===這種方法叫分組分解法,請利用這種方法因式分解下列

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