定積分與微積分根本定理適用學科數學適用年級高二適用區域通用課時時長〔分鐘〕60知識點定積分的概念與幾何意義；微積分根本定理求定積分；定積分的簡單應用教學目標1．了解定積分的實際背景，了解定積分的根本思想，了解定積分的概念．2．了解微積分根本定理的含義．教學重點微積分根本定理求定積分教學難點微積分根本定理教學過程一、課堂導入問題：什么是定積分？定積分與微積分根本定理是什么？二、復習預習1．被積函數假設含有絕對值號，應先去絕對值號，再分段積分．2．假設積分式子中有幾個不同的參數，那么必須先分清誰是被積變量．3．定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限．4．5．將要求面積的圖形進行科學而準確的劃分，可使面積的求解變得簡捷．三、知識講解考點1定積分的概念設函數y＝f(x)定義在區間[a，b]上用分點a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.把區間[a，b]分成n個小區間，其長度依次為Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.記λ為這些小區間長度的最大值，當λ趨近于0時，所有的小區間長度都趨近于0，在每個小區間內任取一點ξi，作和式In＝eq\o(∑,\s\up6(n－1),\s\do4(i＝0))f(ξi)Δxi.當λ→0時，如果和式的極限存在，把和式In的極限叫做函數f(x)在區間[a，b]上的定積分，記作?eq\o\al(b,a)f(x)dx，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(λ→0))eq\o(∑,\s\up6(n－1),\s\do4(i＝0))f(ξi)Δxi，其中f(x)叫做被積函數，f(x)dx叫做被積式，a為積分下限，b為積分上限．考點2定積分的運算性質(1)?eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝k?eq\o\al(b,a)f(x)dx(k為常數)．(2)?eq\o\al(b,a)[f(x)±g(x)]dx＝?eq\o\al(b,a)f(x)dx±?eq\o\al(b,a)g(x)dx.(3)?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝?eq\o\al(c,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,c)f(x)dx(a<c<b)．考點3微積分根本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可積，那么?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一個原函數．四、例題精析考點一定積分的計算例1假設定積分?eq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，那么m等于()A．－1B．0C．1D．2【標準解答】根據定積分的幾何意義知，定積分?eq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx的值就是函數y＝eq\r(－x2－2x)的圖象與x軸及直線x＝－2，x＝m所圍成圖形的面積，y＝eq\r(－x2－2x)是一個半徑為1的半圓，其面積等于eq\f(π,2)，而?eq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，即在區間[－2，m]上該函數圖象應為eq\f(1,4)個圓，于是得m＝－1，應選A.【總結與反思】(1)計算定積分要先將被積函數化簡后利用運算性質分解成幾個簡單函數的定積分，再利用微積分根本定理求解；(2)對函數圖象和圓有關的定積分可以利用定積分的幾何意義求解．考點二利用定積分求曲邊梯形的面積例2如下圖，求由拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點A(0，－3)和點B(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積．【標準解答】由題意，知拋物線y＝－x2＋4x－3在點A處的切線斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在點B處的切線斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，拋物線過點A的切線方程為y＝4x－3，過點B的切線方程為y＝－2x＋6.設兩切線相交于點M，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－3，,y＝－2x＋6))消去y，得x＝eq\f(3,2)，即點M的橫坐標為eq\f(3,2).在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上，曲線y＝4x－3在曲線y＝－x2＋4x－3的上方；在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))上，曲線y＝－2x＋6在曲線y＝－x2＋4x－3的上方．因此，所求的圖形的面積是【總結與反思】對于求平面圖形的面積問題，應首先畫出平面圖形的大致圖形，然后根據圖形特點，選擇相應的積分變量及被積函數，并確定被積區間．考點三定積分在物理中的應用例3一物體做變速直線運動，其v－t曲線如下圖，那么該物體在eq\f(1,2)s～6s間的運動路程為__________．【標準解答】由題圖可知，v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t0≤t≤1,21≤t≤3,\f(1,3)t＋13≤t≤6))，因此該物體在eq\f(1,2)s～6s間運動的路程為【總結與反思】定積分在物理方面的應用主要包括：①求變速直線運動的路程；②求變力所做的功．課程小結1．用微積分根本定理求定積分，關鍵是找到滿足F′(x)＝f(x)的函數F(x)，即找被積函數的原函數，利用求導運算與求原函數運算互為