2023-2024學年浙江省杭州市經濟開發區數學九年級第一學期期末經典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列方程中不是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．如圖中幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．3．2018年，臨江市生產總值為1587.33億元，請用科學記數法將1587.33億表示為（）A．1587.33×108 B．1.58733×1013C．1.58733×1011 D．1.58733×10124．如圖，四邊形和是以點為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與四邊形的面積比為（）A． B． C． D．5．如圖所示，是二次函數y=ax2﹣bx+2的大致圖象，則函數y=﹣ax+b的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若它的一個外角∠DCE＝65°，∠ABC＝68°，則∠A的度數為（）.A．112° B．68° C．65° D．52°7．如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側面積的最大值是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm28．已知正方形的邊長為4cm，則其對角線長是（）A．8cm B．16cm C．32cm D．cm9．如圖，直線y1=x+1與雙曲線y2=交于A（2，m）、B（﹣6，n）兩點．則當y1＜y2時，x的取值范圍是（）A．x＞﹣6或0＜x＜2 B．﹣6＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣6或0＜x＜2 D．﹣6＜x＜210．設有12只型號相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只。則從中任意取一只，是二等品的概率等于（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．若關于x的方程x2-kx+9=0（k為常數）有兩個相等的實數根，則k=_____.12．如圖，在直角三角形中，是斜邊上的高，，則的值為___.13．如圖，在直角坐標系中，已知點、，對連續作旋轉變換，依次得到，則的直角頂點的坐標為__________．14．如圖，矩形的對角線經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點在反比例函數的圖象上.若點的坐標為，則的值為_______．15．平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當兩交點之間的線段長度是兩底的比例中項時，我們稱這條線段是梯形的“比例中線”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，點E、F分別在邊AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中線”，那么=_____．16．某校共1600名學生，為了解學生最喜歡的課外體育活動情況，學校隨機抽查了200名學生，其中有92名學生表示喜歡的項目是跳繩，據此估計全校喜歡跳繩這項體育活動的學生有____________人．17．如圖，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面積為8，則△ABC的面積為______18．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點P從點A出發，以3個單位/s的速度沿AD→DC向終點C運動，同時點Q從點B出發，以1個單位/s的速度沿BA向終點A運動，在運動期間，當四邊形PQBC為平行四邊形時，運動時間為__________秒．三、解答題(共66分)19．（10分）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠DOC＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．（1）當四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；（2）當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，已知AC＝kBD，請猜想此時AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；（3）當四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時（1）AC′與BD′的數量關系是否成立？∠AMB與α的大小關系是否成立？不必證明，直接寫出結論．20．（6分）一個不透明的盒子中裝有2枚黑色的棋子和1枚白色的棋子，每枚棋子除了顏色外其余均相同．從盒中隨機摸出一枚棋子，記下顏色后放回并攪勻，再從盒子中隨機摸出一枚棋子，記下顏色，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次摸出的棋子顏色不同的概率．21．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）當BD＝6，AB＝10時，求⊙O的半徑．22．（8分）如圖1，在和中，頂點是它們的公共頂點，，．（特例感悟）（1）當頂點與頂點重合時（如圖1），與相交于點，與相交于點，求證：四邊形是菱形；（探索論證）（2）如圖2，當時，四邊形是什么特殊四邊形？試證明你的結論；（拓展應用）（3）試探究：當等于多少度時，以點為頂點的四邊形是矩形？請給予證明．23．（8分）（1）；（2）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積．24．（8分）計算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45°25．（10分）某公司營銷兩種產品，根據市場調研，確定兩條信息：信息1：銷售種產品所獲利潤(萬元)與所銷售產品(噸)之間存在二次函數關系，如圖所示信息2：銷售種產品所獲利潤(萬元)與銷售產品(噸)之間存在正比例函數關系根據以上信息，解答下列問題：（1）求二次函數的表達式；（2）該公司準備購進兩種產品共10噸，請設計一個營銷方案使銷售兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少萬元?26．（10分）感知定義在一次數學活動課中，老師給出這樣一個新定義：如果三角形的兩個內角α與β滿足α+2β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．嘗試運用（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分線．①證明△ABD是“類直角三角形”；②試問在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“類直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．類比拓展（2）如圖2，△ABD內接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點E是弧AD上一動點（包括端點A，D），延長BE至點C，連結AC，且∠CAD＝∠AOD，當△ABC是“類直角三角形”時，求AC的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據一元二次方程的定義進行排除選擇即可，一元二次方程的關鍵是方程中只包含一個未知數，且未知數的指數為2.【詳解】根據一元二次方程的定義可知含有一個未知數且未知數的指數是2的方程為一元二次方程，所以A，B，D均符合一元二次方程的定義，C選項展開移項整理后不含有未知數，不符合一元二次方程的定義，所以錯誤，故選C.【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知此定義是解題的關鍵.2、D【解析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．【詳解】解：從正面看應得到第一層有3個正方形，第二層從左面數第1個正方形上面有1個正方形，故選D．【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．3、C【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：用科學記數法將1587.33億表示為1587.33×108＝1.58733×1．故選：C．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．4、C【解析】由位似圖的面積比等于位似比的平方可得答案．【詳解】∵即四邊形和的位似比為∴四邊形和的面積比為故選：C．【點睛】本題考查了位似圖的性質，熟記位似圖的面積比等于位似比的平方是解題的關鍵．5、A【解析】解：∵二次函數y=ax2﹣bx+2的圖象開口向上，∴a＞0；∵對稱軸x=﹣＜0，∴b＜0；因此﹣a＜0，b＜0∴綜上所述，函數y=﹣ax+b的圖象過二、三、四象限．即函數y=﹣ax+b的圖象不經過第一象限．故選A．6、C【分析】由四邊形ABCD內接于⊙O，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由鄰補角的定義，可證得∠BAD＝∠DCE．繼而求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE＝65°．故選：C．【點睛】此題考查了圓的內接四邊形的性質．注意掌握圓內接四邊形的對角互補是解此題的關鍵．7、C【解析】試題解析：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵箏形ADOK≌箏形BEPF≌箏形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折疊后是一個三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO都為矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．連結AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．設OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6-2x，∴紙盒側面積=3x（6-2x）=-6x2+18x，=-6（x-）2+，∴當x=時，紙盒側面積最大為．故選C．考點：1．二次函數的應用；2．展開圖折疊成幾何體；3．等邊三角形的性質．8、D【分析】作一個邊長為4cm的正方形，連接對角線，構成一個直角三角形如下圖所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可．【詳解】解：如圖所示：四邊形ABCD是邊長為4cm的正方形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==4cm．所以對角線的長：AC=4cm．故選D．9、C【解析】分析：根據函數圖象的上下關系，結合交點的橫坐標找出不等式y1＜y1的解集，由此即可得出結論．詳解：觀察函數圖象，發現：

當x＜-6或0＜x＜1時，直線y1=x+1的圖象在雙曲線y1=的圖象的下方，

∴當y1＜y1時，x的取值范圍是x＜-6或0＜x＜1．

故選C．點睛：考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是依據函數圖象的上下關系解不等式．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據函數圖象位置的上下關系結合交點的坐標，找出不等式的解集是關鍵．10、B【分析】讓二等品數除以總產品數即為所求的概率．【詳解】解：∵現有12只型號相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只，從中任意取1只，可能出現12種結果，是二等品的有2種可能，∴二等品的概率．故選：B．【點睛】本題主要考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率．二、填空題(每小題3分,共24分)11、±1【分析】根據方程x2-kx+9=0有兩個相等的實數根，所以根的判別式△=b2-4ac=0，即k2-4×1×9=0，然后解方程即可．【詳解】∵方程x2+kx+9=0有兩個相等的實數根，

∴△=0，即k2-4×1×9=0，解得k=±1．

故答案為±1．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．12、【分析】證明，從而求出CD的長度，再求出即可．【詳解】∵是斜邊上的高∴∵∴∴∴解得（舍去）∴在中故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定以及三角函數，掌握相似三角形的性質以及判定是解題的關鍵．13、【分析】根據勾股定理列式求出AB的長，再根據第四個三角形與第一個三角形的位置相同可知每三個三角形為一個循環組依次循環，然后求出一個循環組旋轉前進的長度，再用2019除以3，根據商為673可知第2019個三角形的直角頂點為循環組的最后一個三角形的頂點，求出即可．【詳解】解：∵點A（-3，0）、B（0，4），

∴AB==5，

由圖可知，每三個三角形為一個循環組依次循環，一個循環組前進的長度為：4+5+3=12，

∵2019÷3=673，

∴△2019的直角頂點是第673個循環組的最后一個三角形的直角頂點，

∵673×12=8076，

∴△2019的直角頂點的坐標為（8076，0）．故答案為（8076，0）.【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規律，仔細觀察圖形得到每三個三角形為一個循環組依次循環是解題的關鍵，也是求解的難點．圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．14、1或-3【分析】由題意根據反比例函數中值的幾何意義即函數圖像上一點分別作關于x、y軸的垂線與原點所圍成的矩形的面積為，據此進行分析求解即可.【詳解】解：由題意圖形分成如下幾部分，∵矩形的對角線為，∴，即，∵根據矩形性質可知，∴，∵，點的坐標為，∴，解得1或-3.故答案為：1或-3.【點睛】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．15、【分析】先利用比例中線的定義，求出EF的長度，然后由梯形ADFE相似與梯形EFCB，得到，即可得到答案.【詳解】解：如圖，∵EF是梯形的比例中線，∴，∴，∵AD//BC，∴梯形ADFE相似與梯形EFCB，∴；故答案為：.【點睛】本題考查了相似四邊形的性質，以及比例中項的定義，解題的關鍵是熟練掌握相似四邊形的性質和比例中線的性質.16、736【分析】由題意根據樣本數據的比值和相對應得總體數據比值相同進行分析求解即可.【詳解】解：設全校喜歡跳繩這項體育活動的學生有m人，由題意可得：，解得.所以全校喜歡跳繩這項體育活動的學生有736人.故答案為：736.【點睛】本題考查的是通過樣本去估計總體對應的數據，熟練掌握通過樣本去估計總體對應數據的方法是解題的關鍵．17、18.【解析】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵，∴，∴．18、3【分析】首先利用t表示出CP和CQ的長，根據四邊形PQBC是平行四邊形時CP=BQ，據此列出方程求解即可．【詳解】解：設運動時間為t秒，如圖，則CP=12-3t，BQ=t，四邊形PQBC為平行四邊形12-3t=t，解得：t=3，故答案為【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及動點問題，解題的關鍵是化動為靜，分別表示出CP和BQ的長，難度不大．三、解答題(共66分)19、（1）BD′＝AC′，∠AMB＝α，見解析；（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，見解析；（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立【分析】（1）通過證明△BOD′≌△AOC′得到BD′＝AC′，∠OBD′＝∠OAC′，根據三角形內角和定理求出∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α；（2）依據（1）的思路證明△BOD′∽△AOC′，得到AC′＝kBD′，設BD′與OA相交于點N，由相似證得∠BNO＝∠ANM，再根據三角形內角和求出∠AMB＝α；（3）先利用等腰梯形的性質OA=OD,OB=OC,再利用旋轉證得,由此證明△≌△，得到BD′＝AC′及對應角的等量關系，由此證得∠AMB＝α不成立．【詳解】解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，證明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OB＝OD′＝OA＝OC′，∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′≌△AOC′，∴BD′＝AC′，∴∠OBD′＝∠OAC′，設BD′與OA相交于點N，∴∠BNO＝∠ANM，∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，綜上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，證明：∵在平行四邊形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OC′＝OA，OD′＝OB，∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，∵AC＝kBD，∴AC′＝kBD′，∵△BOD′∽△AOC′，設BD′與OA相交于點N，∴∠BNO＝∠ANM，∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，綜上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，（3）∵在等腰梯形ABCD中，OA=OD,OB=OC,由旋轉得：,∴,即,∴△≌△,∴AC′＝BD′,,設BD′與OA相交于點N，∵∠ANB=+∠AMB=,,∴,∴AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．【點睛】此題是變化類圖形問題，根據變化的圖形找到共性證明三角形全等，由此得到對應邊相等，對應角相等，在（3）中，對應角的位置發生變化，故而角度值發生了變化.20、.【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的棋子顏色不同的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結果，兩次摸出的棋子顏色不同的有4種情況，

∴兩次摸出的棋子顏色不同的概率為：．21、（1）（1）AC與⊙O相切，證明見解析；（2）⊙O半徑是．【解析】試題分析：（1）連結OE，如圖，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，則∠OBE=∠DBO，于是可判斷OE∥BD，再利用等腰三角形的性質得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根據切線的判定定理可得AC與⊙O相切；（2）設⊙O半徑為r，則AO=10﹣r，證明△AOE∽△ABD，利用相似比得到，然后解方程求出r即可．試題解析：（1）AC與⊙O相切．理由如下：連結OE，如圖，∵BE平分∠ABD，∴∠OBE=∠DBO，∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠DBO，∴OE∥BD，∵AB=BC，D是AC中點，∴BD⊥AC，∴OE⊥AC，∴AC與⊙O相切；（2）設⊙O半徑為r，則AO=10﹣r，由（1）知，OE∥BD，∴△AOE∽△ABD，∴，即，∴r=，即⊙O半徑是．考點：圓切線的判定：相似經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．解決（2）小題的關鍵是利用相似比構建方程．22、(1)見解析；(2)

當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形．證明見解析；(3)當∠GBC=120°時，以點，，，為頂點的四邊形CGFD是矩形.證明見解析．【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再通過證明得出，從而證明四邊形是菱形；（2）證法一：如圖，連接交于，在上取一點，使得，通過證明，，，從而證明當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形；證法二：如圖，過點G作GH⊥BC于H，通過證明OD=OC=OG=OF，GF=CD，從而證明當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形；（3）

當∠GBC=120°時，點E與點A重合，通過證明，CD=GF，，從而證明四邊形是矩形．【詳解】(1)，，四邊形是平行四邊形，在和中，，，四邊形是菱形．(2)

當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形．證法一：如圖，連接交于，在上取一點，使得，，，，，，，.，，，，，，，，設，則，，

在Rt△BGK中，，解得，

，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形．證法二：如圖∵，，.又，，，.過點G作GH⊥BC于H，在Rt△BHG中，∵，∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，∴GC=，∴OG=OC===2，∴OD=OF=4-2=2，∴OD=OC=OG=OF，四邊形是矩形，∵GF=CD，四邊形是正方形．(3)當∠GBC=120°時，以點，，，為頂點的四邊形CGFD是矩形.

當∠GBC=120°時，點E與點A重合.，∴，.

∵四邊形ABCD和四邊形GBEF是平行四邊形，∴，，AB=CD，AB=GF，∴，CD=GF，

四邊形是平行四邊形.∵，四邊形是矩形．【點睛】本題考查了幾何的綜合應用題，掌握矩形和正方形的性質以及判定、勾股定理、全等三角形的判定是解題的關鍵．23、（1）；（2）幾何體的體積是1.【分析】（1）化簡各項的三角函數，再把各項相加；（2）原幾何體是正方體截掉一個底面邊長為1，高為4的長方體，由此可求幾何體的體積．【詳解】（1）原式=

=

=

（2）由三視圖知，原幾何體是正方體截掉一個底面邊長為1，高為4的長方體．∴=1∴幾何體的體積是1．【點睛】本題考查了三角函數的混合運算以及幾何體的體積問題，掌握特殊三角函數的值以及幾何體的體積計算方法是解題的關鍵．24、-【分析】將各特殊角的三角函數值代入即可得出答案．【詳解】解：原式=2×﹣+﹣×1=-【點睛】此題考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題，熟練記憶一些特殊角的三角函數值是關鍵．25、（1）；（2）購進A產品6噸，購進B產品4噸，利潤之和最大，最大為6.6萬元【分析】(1)由拋物線過原點可設y與x間的函數關系式為y=ax2+bx+c，再利用待定系數法求解可得；

(2)設購進A產品m噸，購進B產品(10?m)噸，銷售A、B兩種產品獲得的利潤之和為W元，根據：A產品利潤+B產品利潤=總利潤可得W=?0.1m2+1.5m+0.3(10?m)，配方后根據二次函數的性質即可知最值情況．【詳解】解：(1)設二次函數的表達式為y=ax2+bx+c，

由圖象，得拋物線過點(0,0)，(1,1.4)，(3,3.6)，

將三點的坐標代入表達式，

得,

解得

所以二次函數的表達式為y=?0.1x2+1.5x；

(2)設購進A產品m噸，購進B產品(10?m)噸，銷售A、B兩種產品獲得的利潤之和為W元，

則W=?0.1m2+1.5m+0.3(10?m)，

=?0.1m2+1.2m+3，

=?0.1(m?6)2+6.6，

∵?0.1<0，

∴∴當m=6時，W取得最大值，最大值為6.6萬元，

答：購進A產品6噸，購進B產品4噸，銷售A、B兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元．【點睛】本題主要考查了二次函數的