.3函數的奇偶性及函數性質綜合【題型解讀】【題型一函數奇偶性的判斷】1.（2022·河北·武安市第一中學高一期末）判斷下列函數的奇偶性：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）非奇非偶函數；（2）奇函數；（3）偶函數．【解析】（1）有意義，則，即，解得，所以函數的定義域為，不關于原點對稱，因此函數是非奇非偶函數；（2）當時，，，；當時，，，.所以函數為奇函數；（3）由題意可得，所以且，所以函數的定義域為關于原點對稱，又，所以函數為偶函數；2.（2022·廣東中山市月考）（多選）下列函數中是偶函數，且在為增函數的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根據題意，依次分析選項：對于，，偶函數，且在為增函數，符合題意；對于，，不是偶函數，不符合題意；對于，，是偶函數，在上為增函數，故在為增函數，符合題意；對于，，是偶函數，且在為增函數，符合題意；故選：．3.（2022·山東·濟南一中期中）判斷下列函數的奇偶性:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)既不是奇函數也不是偶函數.(2)奇函數.(3)既不是奇函數也不是偶函數.(4)偶函數.【解析】(1)函數的定義域為{且},定義域不關于原點對稱,∴該函數既不是奇函數也不是偶函數.(2)的定義域是.當時,顯然,.,是奇函數.(3)的定義域為R.,,.不是偶函數.又,不是奇函數.既不是奇函數也不是偶函數.(4)的定義域為R.,是偶函數.4．（2022·安徽宣城市·高一期末）已知函數，求（1）函數的定義域；（2）判斷函數的奇偶性.【答案】(1)且；(2)奇函數【解析】（1）由題得得且x，所以函數的定義域為且.（2）由（1）得函數的定義域關于原點對稱.,所以函數是奇函數.5.（2022·廣西高一期末）（多選）下列函數中，在定義域上既是奇函數，又是減函數的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因為，定義域為，且，所以函數是奇函數，設，則，所以時，，又因為函數是奇函數，所以函數在上單調遞減，故選項A正確；由函數的圖像可知：函數關于原點對稱且單調遞減，故選項B正確；而選項中的函數是非奇非偶函數，故選項C錯誤；對于函數，定義域為，定義域關于原點對稱，，所以函數是奇函數，設，則，所以時，，所以函數在上單調遞增，又因為函數是奇函數，，所以函數在上也單調遞增，但是不滿足題意.故選：AB.【題型二利用函數奇偶性求值、參數】1.（2022·云南彌勒市一中高一月考）若函數為偶函數，則_______________.【答案】2【解析】因為函數為偶函數，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案為：22.（2022·浙江高一期末）已知是定義在上的奇函數，且當時，，則（）A．－1 B．－2C．1 D．2【答案】D【解析】因為是定義在上的奇函數，且當時，，所以．故當時，，所以．故選：.3．（2022·湖北十堰高一期末）已知函數為偶函數，則的值為__________.【答案】【解析】因為函數為偶函數,故,故恒成立.故.故,則.故答案為：4.（2022·河北石家莊期中）若定義域為的函數是偶函數，則______，______.【答案】20【解析】偶函數的定義域為，則，解得，所以，滿足的對稱軸關于軸對稱，所以對稱軸，解得.故答案為：2；05.（2022·廣西高一期末）已知是定義在上的奇函數，且當時，，則_________．【答案】【解析】因為是定義在上的奇函數，所以，解得，因為當時，，所以，，故答案為：-26.（2022·山東濟南中學高一期末）若是偶函數，且定義域為，則＝_____，＝_____【答案】0【解析】因為是偶函數，且定義域為，所以，解得，且，所以.故.【題型三函數奇偶性求解析式】1.（2022·山西·懷仁市第一中學校月考）已知是定義在上的偶函數，且當時，，則當時，______．【答案】【解析】根據題意，設，則，有，又由為偶函數，則，即，故答案為：．2.（2022·湖北襄陽五中高一月考）已知函數y＝f(x)的圖象關于原點對稱，且當x>0時，f(x)＝x2－2x＋3.則f(x)在R上的表達式為________．【答案】【解析】因為是奇函數，且定義域為，故當時，；則當時，.故答案為：.3．（2022·北京大興·高一期末）已知是定義在R上的奇函數，時，，則在，上的表達式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為時，，設，則，所以，又因為是定義在R上的奇函數，所以，故選：A.4.（2022·河南開封·高一期末）已知函數，，是奇函數，且當時，，則時，______．【答案】.【解析】當時，，所以，因為是奇函數，所以.故答案為：.5.（2022·上海高一期末）已知函數是定義域為R的偶函數，當時，則當時__________．【答案】【解析】設，則，由時，，所以，又函數為偶函數，即，所以.故答案為：6.（2022·南昌市新建區第一中學高一月考）若是定義在R上的奇函數，當時，(為常數)，則當時，_________.【答案】【解析】是定義在R上的奇函數，則，故，時，，則.故答案為：.【題型四函數性質的綜合應用】1.（2022·河南·夏邑第一高級中學高一期末）已知函數為偶函數，當時，，則的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集為.故選：A.2.（2022·浙江省淳安縣汾口中學高一開學考試）已知是定義在上的偶函數，且在上是增函數，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是上的偶函數，所以，，且在上是增函數，因為，所以A錯誤；因為，所以B錯誤；因為，所以C錯誤；因為，所以D正確.故選：D.3．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）奇函數在內單調遞減且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數在上單調遞減，，所以當時，，當，，又因為是奇函數，圖象關于原點對稱，所以在上單調遞減，，所以當時，，當時，，大致圖象如下，由得或，解得，或，或，故選：A.4.（2022·安徽宣城·高一期中）設偶函數的定義域為，當時，是增函數，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】是偶函數，，，當時，是增函數，且，，.故選：B.5.（2022·福建高一期末）若定義在的奇函數在單調遞減，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函數，在上遞減，則在上遞減，∴在上是減函數，又由是奇函數，則不等式可化為，∴，．故選：B．【題型五抽象函數的性質】1.（2022·陵川縣高級實驗中學校月考）已知函數在上單調遞增，對于任意，都有．（1）求；（2）判斷奇偶性并證明；（3）解不等式．【答案】（1）；（2）為奇函數，證明見解析；（3）或．【解析】（1）任意，都有，可令，則，即；（2）為奇函數，證明如下：定義城為，可令，則，即，則為奇函數；（3），即為，由于任意，都有，則，即，即，由函數在上單調遞增，可得，解得或，則不等式的解集為或．2．（2022·廣東·金山中學高一期中）已知函數對任意，總有，且當時，，.（1）先求的值，然后判斷函數的奇偶性，并加以證明；（2）判斷函數在其定義域上的單調性，并加以證明；（3）求函數在上的最小值．【答案】（1）；奇函數；證明見解析；（2）減函數，證明見解析；（3）.【解析】(1)由已知，令，得，所以.函數是奇函數.證：令，得，所以，即，故是奇函數．(2)是上的減函數，證明如下:設，是任意的兩個實數，且，則，因為時，，所以，所以，所以．所以是上的減函數．(3)由(2)可知是上的減函數，所以在上也是減函數，所以在上的最小值為,而所以函數在上的最小值為.3.（2022·浙江高一課時練習）定義在上的函數，滿足，且當時，.（1）求的值.（2）求證：.（3）求證：在上是增函數.（