垂線段最短模型垂線段最短模型模型講解模型講解【結論一】如圖，直線外一點A，到直線上的點M的距離最小【結論二】如圖，在三角形ABC中，M、N分別是DE、BC上的動點，連接AM，MN，求AM+MN的最小值。則有以下結論成立：過A作BC的垂線，垂足為Q，于DE相交于P，當M、N分別于P、Q重合時，AM+MN有最小值，即為AQ的長度。方法點撥一、題型特征：①一定點②動點的運動軌跡為直線③可出現多個動點二、模型本質：過定點作定直線的垂線，垂線段最短。例題演練例題演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D為AC中點，P為AB上的動點，將P繞點D逆時針旋轉90°得到P′，連CP′，則線段CP′的最小值為（）A．1.6 B．2.4 C．2 D．2【解答】解：如圖所示，過P'作P'E⊥AC于E，則∠A＝∠P'ED＝90°，由旋轉可得，DP＝P'D，∠PDP'＝90°，∴∠ADP＝∠EP'D，在△DAP和△P'ED中，，∴△DAP≌△P'ED（AAS），∴P'E＝AD＝2，∴當AP＝DE＝2時，DE＝DC，即點E與點C重合，此時CP'＝EP'＝2，∴線段CP′的最小值為2，故選：C．2．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為10，面積是40，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為13．【解答】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×10＝13．故答案為：13．3．如圖，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，點M是∠ABC平分線BD上一動點，點N是BC上一動點，則CM+MN的最小值是．【解答】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于點N，∵點M是∠ABC平分線BD上一動點，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，∴MN+CM＝ME+CM＝CE，∵CE⊥AB，∴CE是點C到AB最短的線段，即CM+MN的最小值就是線段CE的長度，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵?AB?CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，∴CE＝，故答案為．4．如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分別為線段AD、AB上的動點，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，則BE+EF的最小值為．【解答】解：過點D作DB'⊥AC交于點B'，過B'作B'F⊥AB交AD于點E，交AB于點F，∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），∴B與B'關于AD對稱，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，∵AB＝AB'，∴AB'＝8，∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值為，故答案為．5．如圖，邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF，則在點E運動過程中，DF的最小值是2．【解答】解：如圖，連接BF，由旋轉可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，∵邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，即點F的運動軌跡為直線BF，∴當DF⊥BF時，DF最短，此時，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2，故答案為2．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，點P為AB的中點，E為BC上一動點，過C、E、P三點⊙O交AC于F點，連接EF，則EF的最小值為．【解答】解：∵經過P、E、F三點確定⊙O，由圓周角定理可知：⊙O的直徑為EF，連接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點P是AB的中點，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，當PE⊥BC時，PE最小，即EF最小，此時PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案為：4．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持∠EDF＝90°，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：①DE＝DF；②四邊形CEDF的面積隨點E、F位置的改變而發生變化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上結論正確的是①③④（只填序號）．【解答】解：連接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴ED＝DF，故①正確；∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形CEDF＝S△ADC＝S△ABC＝定值，故②錯誤，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴CE+CF＝CE+AE＝AC＝AB，故③正確，∵AE＝CF，AC＝BC，∴EC＝BF，∴AE2+BF2＝CF2+CE2＝EF2，∵EF2＝2DE2，∴AE2+BF2＝2ED2，故④正確．故答案為①③④．1．（2021?東阿縣三模）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC＝12，BD＝16，點P為邊BC上一點，且P不與寫B、C重合．過P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，連接EF，則EF的最小值等于4.8．【解答】解：連接OP，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴A