直線與平面垂直

直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.

A平面的垂線直線的垂面垂足注意：1.定義中的任意一條直線為所有直線，但與無數條直線不同2.直線和平面垂直只是相交的一種特殊形式3.直線和平面垂直的定義簡稱線面垂直，那么線線垂直判斷以下命題是否正確？×(1)假設一條直線與一個平面內的無數條直線平行，那么這條直線與這個平面平行。〔〕(2)假設一條直線與一個平面內的無數條直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直。()×

在幾何中，定義兼具兩重性，既是判定又是性質。判定是指：如果一條直線垂直一個平面內的任意一條直線，那么這條直線與這個平面垂直，這是判定證明直線與平面垂直的一種方法；性質是指：如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內的任意一條直線。〔此結論經常用〕

ab

LP直線和平面垂直的畫法記作：L⊥

通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。線面垂直直觀圖的畫法：mn

實例2、判定直線和平面垂直的方法方法〔1〕根據定義(最根本的方法)a是α內任一條直線

LPa方法(2)直線和平面垂直的判定求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．

已知：，．

求證：．

證明：設是內的任意一條直線．(定義)

可作定理使用

AmnB猜測：如果一條直線l和一個平面α內的兩條相交直線m,n都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

mnBAA’cDgE方法〔3〕直線和平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

AmnB

推理模式：aaa^^^=?ììlnlmlBnmnm,,,線線垂直線面垂直

mnmnmnmn⑴⑵⑶⑷BBBB(1)、假設一條直線與一個三角形的兩條邊垂 直，那么這條直線垂直于三角形所在的平面。()(2)、假設一條直線與一個平行四邊形的兩條 邊垂直，那么這條直線垂直于平行四邊 形所在的平面。()(3)、假設一條直線與一個梯形的兩腰垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面。 ()√×

√判斷以下命題是否正確？(4)、共點的三條直線中的任一條垂直于另兩條所確定的面(√

)判斷以下命題是否正確？(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直。()(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直。()√√例1．過一點和平面垂直的直線只有一條。：平面α和一點P.求證：過點P與α垂直的直線只有一條。證明：不管P點在α外或內，設PA⊥α，垂足為A(或P)，如果過P點，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設PA，PB確定的平面為β,且α∩β=a，

于是在平面β內過點P有兩條直線PA，PB垂直于交線a，

這是不可能的。所以過點P與α垂直的直線只有一條。aa例2的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(和旗桿腳不在同一條直線上)C、D,如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？例3．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l.求證：AP在α內。證明：設AP與l確定的平面為β，假設AP不在α內，那么設α與β相交于直線AM。因為l⊥α，AMα,所以l⊥AM，又AP⊥l，于是在平面β內，過點A有兩條直線垂直于l，這是不可能的，所以AP一定在α內。例4:已知，于，．

于求證：

例5:已知平面，是⊙的直徑，是⊙上的任一點，求證：．

6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，求證：B1H⊥平面AD1C.證明：連接B1D1，∵B1B⊥AB，B1B⊥BC，∴B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥AC，∵又AC⊥BD，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1H平面BB1D1D，∴AC⊥B1H，又B1H⊥D1O，∴B1H⊥平面AD1C.ABCDA’B’C’D’1.如圖正方體ABCD-A’B’C’D’中，與A’B

垂直的棱有多少條？請列出并說明原因。2.：如圖，空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD點E是BD的中點。求證：AC⊥BD。ABCDE3.：如圖，空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD點E是BD的中點。過A作AH⊥CE于HABCDE⑴求證：AC⊥BD。⑵求證：AH⊥面BCD。

課堂練習1．選擇題〔1〕“直線L垂直于平面內的無數條直線〞是“L⊥〞的〔〕〔A〕充分條件〔B〕必要條件〔C〕充要條件〔D〕既不充分也不必要條件〔2〕如果一條直線L與平面的一條垂線垂直，那么直線L與平面的位置關系是〔〕〔A〕L〔B〕L⊥〔C〕L∥〔D〕L或L∥2．填空題〔1〕過直線外一點作直線的垂線有_____條；垂面有___個；平行線有__條；平行平面有_____個.〔2〕過平面外一點作該平面的垂線有___條；垂面有____個；平行線有條；平行平面有___個.3．能否作一條直線同時垂直于兩條相交直線？能否作一條直線同時垂直于兩個相交平面？為什么？BD無數一一無數無數無數一一1、線面垂直的定義：如果一條直線與一個平面內任何一條直線都垂直，我們就說這條直線與這個平面相互垂直。2、