2024屆安徽合肥壽春中學高三下學期第一次月考考試數學試題試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知角的終邊與單位圓交于點，則等于（）A． B． C． D．2．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數，黑點為陰數.若從這10個數中任取3個數，則這3個數中至少有2個陽數且能構成等差數列的概率為（）A． B． C． D．3．設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．45．若,,,則下列結論正確的是()A． B． C． D．6．若復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數為 D．為純虛數7．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．8．已知是定義在上的奇函數，且當時，．若，則的解集是（）A． B．C． D．9．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．已知正項等比數列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．11．網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的技術發展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現調查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關對應數據.如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據數據得出關于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月12．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數是偶函數，直線與函數的圖象自左向右依次交于四個不同點A，B，C，D．若AB＝BC，則實數t的值為_________．14．若為假，則實數的取值范圍為__________.15．某校高二（4）班統計全班同學中午在食堂用餐時間，有7人用時為6分鐘，有14人用時7分鐘，有15人用時為8分鐘，還有4人用時為10分鐘，則高二（4）班全體同學用餐平均用時為____分鐘.16．已知實數x,y滿足(2x-y)2+4y三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.18．（12分）已知函數.（1）若在上為單調函數，求實數a的取值范圍：（2）若，記的兩個極值點為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.19．（12分）已知函數.（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，要使恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，，.（1）證明：平面平面；（2），分別是，的中點，是線段上的動點，若二面角的平面角的大小為，試確定點的位置.21．（12分）在創建“全國文明衛生城”過程中，運城市“創城辦”為了調查市民對創城工作的了解情況，進行了一次創城知識問卷調查(一位市民只能參加一次)，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的人的得分統計結果如表所示：.組別頻數（1）由頻數分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)，利用該正態分布，求；（2）在（1）的條件下，“創城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額(單位：元)概率現有市民甲參加此次問卷調查，記(單位：元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求的分布列與數學期望.附：參考數據與公式：，若，則，，22．（10分）如圖，在直角中，，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）點是線段上一點，，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先由三角函數的定義求出，再由二倍角公式可求.【題目詳解】解：角的終邊與單位圓交于點，，故選：B【題目點撥】考查三角函數的定義和二倍角公式，是基礎題.2、C【解題分析】

先根據組合數計算出所有的情況數，再根據“3個數中至少有2個陽數且能構成等差數列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應的概率.【題目詳解】所有的情況數有：種，3個數中至少有2個陽數且能構成等差數列的情況有：，共種，所以目標事件的概率.故選：C.【題目點撥】本題考查概率與等差數列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當情況數較多時，可考慮用排列數、組合數去計算.3、C【解題分析】

根據充分條件和必要條件的定義結合對數的運算進行判斷即可．【題目詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據不等式的解法是解決本題的關鍵．4、C【解題分析】

方法一：設，利用拋物線的定義判斷出是的中點，結合等腰三角形的性質求得點的橫坐標，根據拋物線的定義求得，進而求得.方法二：設出兩點的橫坐標，由拋物線的定義，結合求得的關系式，聯立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達定理，由此求得，進而求得.【題目詳解】方法一：由題意得拋物線的準線方程為，直線恒過定點，過分別作于，于，連接，由，則，所以點為的中點，又點是的中點，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為，所以，所以．方法二：拋物線的準線方程為，直線由題意設兩點橫坐標分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【題目點撥】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關系，屬于中檔題.5、D【解題分析】

根據指數函數的性質，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【題目詳解】由指數函數的性質，可得，即，又由，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了指數冪的比較大小，其中解答中熟記指數函數的性質，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.6、D【解題分析】

將復數整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.【題目詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數，正確本題正確選項：【題目點撥】本題考查復數的模長、實部與虛部、共軛復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.7、C【解題分析】

由可得，故可求的值.【題目詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.【題目點撥】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.8、B【解題分析】

利用函數奇偶性可求得在時的解析式和，進而構造出不等式求得結果.【題目詳解】為定義在上的奇函數，.當時，，，為奇函數，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【題目點撥】本題考查函數奇偶性的應用，涉及到利用函數奇偶性求解對稱區間的解析式；易錯點是忽略奇函數在處有意義時，的情況.9、D【解題分析】

連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，取的中點為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【題目詳解】連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【題目點撥】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.10、D【解題分析】

由，可求出等比數列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【題目詳解】設等比數列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.【題目點撥】本題考查等比數列的通項公式的求法，考查等比數列的性質，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.11、C【解題分析】

根據圖形，計算出，然后解不等式即可.【題目詳解】解：，點在直線上，令因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【題目點撥】考查如何確定線性回歸直線中的系數以及線性回歸方程的實際應用，基礎題.12、D【解題分析】

由已知結合向量垂直的坐標表示即可求解．【題目詳解】因為，且，，則．故選：．【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由是偶函數可得時恒有，根據該恒等式即可求得，，的值，從而得到，令，可解得，，三點的橫坐標，根據可列關于的方程，解出即可．【題目詳解】解：因為是偶函數，所以時恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因為，所以，即，解得，故答案為：．【題目點撥】本題考查函數奇偶性的性質及二次函數的圖象、性質，考查學生的計算能力，屬中檔題．14、【解題分析】

由為假，可知為真，所以對任意實數恒成立，求出的最小值，令即可.【題目詳解】因為為假，則其否定為真，即為真，所以對任意實數恒成立，所以.又，當且僅當，即時，等號成立，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查全稱命題與特稱命題間的關系的應用，利用參變分離是解決本題的關鍵，屬于中檔題.15、7.5【解題分析】

分別求出所有人用時總和再除以總人數即可得到平均數.【題目詳解】故答案為：7.5【題目點撥】此題考查求平均數，關鍵在于準確計算出所有數據之和，易錯點在于概念辨析不清導致計算出錯.16、2【解題分析】

直接利用柯西不等式得到答案.【題目詳解】根據柯西不等式：2x-y2+4y當2x-y=2y，即x=328故答案為：2.【題目點撥】本題考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角換元求得答案.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）設的極坐標為，在中，有，即可得結果；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，聯立兩個方程，可求出，聯立可得，則計算可得，利用三角函數的性質可得最值.【題目詳解】（1）設的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，由得：，由得：，，，當，即時，，的最大值為.【題目點撥】本題考查極坐標方程的應用，考查三角函數性質的應用，是中檔題.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）求導.根據單調，轉化為對恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個根，不妨設，令.根據，確定，將轉化為.令，用導數法研究其單調性求最值.【題目詳解】（1）的定義域為，.因為單調，所以對恒成立，所以，恒成立，因為，當且僅當時取等號，所以；（2）由（1）知，是的兩個根.從而，，不妨設，則.因為，所以t為關于a的減函數，所以..令，則.因為當時，在上為減函數.所以當時，.從而，所以在上為減函數.所以當時，.【題目點撥】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）求函數的導函數，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（Ⅱ）構造函數，對參數分類討論，求得函數的單調性，以及最值，即可容易求得參數范圍.【題目詳解】（Ⅰ）當時，，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當時，因為，不合題意.②當時，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數的單調遞增區間是，，單調遞減區間是.當時，，，所以，只需，所以，所以實數的取值范圍為.【題目點撥】本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，以及利用導數研究恒成立問題，屬綜合中檔題.20、（1）證明見解析；（2）為線段上靠近點的四等分點，且坐標為【解題分析】

（1）先通過線面垂直的判定定理證明平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明；（2）分析位置關系并建立空間直角坐標系，根據二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關系，即可計算出的坐標從而位置可確定.【題目詳解】