2023-2024學年廣東省東莞市長安實驗中學九年級數學第一學期期末統考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為（）A． B． C． D．2．相鄰兩根電桿都用鍋索在地面上固定，如圖，一根電桿鋼索系在離地面4米處，另一根電桿鋼索系在離地面6米處，則中間兩根鋼索相交處點P離地面（）A．2.4米B．8米C．3米D．必須知道兩根電線桿的距離才能求出點P離地面距離3．為了測量某沙漠地區的溫度變化情況，從某時刻開始記錄了12個小時的溫度，記時間為（單位：）溫度為（單位：）.當時，與的函數關系是，則時該地區的最高溫度是（）A． B． C． D．4．已知平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．5．下列說法中，正確的是（）A．不可能事件發生的概率為0B．隨機事件發生的概率為C．概率很小的事件不可能發生D．投擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數一定為50次6．如圖，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AED的位置，使得DC∥AB，則∠BAE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．下列成語所描述的是隨機事件的是（）A．竹籃打水 B．瓜熟蒂落 C．海枯石爛 D．不期而遇8．已知反比例函數的解析式為，則的取值范圍是A． B． C． D．9．拋擲一枚質地均勻的硬幣，若拋擲6次都是正面朝上，則拋擲第7次正面朝上的概率是（）A．小于 B．等于 C．大于 D．無法確定10．一個不透明的袋子中裝有2個紅球、3個白球，每個球除顏色外都相同．從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是()A．至少有1個球是紅球 B．至少有1個球是白球C．至少有2個球是紅球 D．至少有2個球是白球二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知一元二次方程的一個根為1，則__________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosB＝_____．13．如圖，已知⊙O的半徑是2，點A、B、C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分面積為_____．14．如圖，在半徑為5的中，弦，，垂足為點，則的長為__________．15．小燕拋一枚硬幣10次，有7次正面朝上，當她拋第11次時，正面向上的概率為_________．16．已知a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，則a+b＝_____．17．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點D在邊BC上，BD＝2CD（如圖）．把△ABC繞著點D逆時針旋轉m（0＜m＜180）度后，如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝______．18．如圖，在Rt△ABC中∠B=50°，將△ABC繞直角頂點A順時針旋轉得到△ADE．當點C在B1C1邊所在直線上時旋轉角∠BAB1=____度．三、解答題(共66分)19．（10分）閱讀理解：如圖，在紙面上畫出了直線l與⊙O，直線l與⊙O相離，P為直線l上一動點，過點P作⊙O的切線PM，切點為M，連接OM、OP，當△OPM的面積最小時，稱△OPM為直線l與⊙O的“最美三角形”．解決問題：（1）如圖1，⊙A的半徑為1，A(0，2)，分別過x軸上B、O、C三點作⊙A的切線BM、OP、CQ，切點分別是M、P、Q，下列三角形中，是x軸與⊙A的“最美三角形”的是．(填序號)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如圖2，⊙A的半徑為1，A(0，2)，直線y=kx（k≠0）與⊙A的“最美三角形”的面積為，求k的值．（3）點B在x軸上，以B為圓心，為半徑畫⊙B，若直線y=x+3與⊙B的“最美三角形”的面積小于，請直接寫出圓心B的橫坐標的取值范圍．20．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，過點M（0，2）的直線l與x軸平行，且直線l分別與反比例函數y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的圖象分別交于點P，Q．（1）求P點的坐標；（2）若△POQ的面積為9，求k的值．21．（6分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的對稱軸為x＝，請你解答下列問題：（1）m＝，拋物線與x軸的交點為．（2）x取什么值時，y的值隨x的增大而減小？（3）x取什么值時，y＜0？22．（8分）某網點嘗試用單價隨天數而變化的銷售模式銷售一種商品，利用30天的時間銷售一種成本為10元/件的商品，經過統計得到此商品單價在第x天（x為正整數）銷售的相關信息，如表所示：銷售量n（件）銷售單價m（元/件）（1）請計算第幾天該商品單價為25元/件？（2）求網店第幾天銷售額為792元？（3）求網店銷售該商品30天里所獲利潤y（元）關于x（天）的函數關系式；這30天中第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？23．（8分）某校為了豐富學生課余生活，計劃開設以下社團：A．足球、B．機器人、C．航模、D．繪畫，學校要求每人只能參加一個社團小麗和小亮準備隨機報名一個項目.（1）求小亮選擇“機器人”社團的概率為______；（2）請用樹狀圖或列表法求兩人至少有一人參加“航模”社團的概率.24．（8分）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點D與點B分別位于直線AC的兩側，且AD=AC,聯結BD、CD，BD交直線AC于點E.（1）當∠CAD=90°時，求線段AE的長.（2）過點A作AH⊥CD，垂足為點H，直線AH交BD于點F，①當∠CAD<120°時，設，（其中表示△BCE的面積，表示△AEF的面積），求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；②當時，請直接寫出線段AE的長.25．（10分）如圖，拋物線y=ax2+bx過A(4，0)B(1，3)兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H（1）求拋物線的解析式．（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積．（3）點P是拋物線BA段上一動點，當△ABP的面積為3時，求出點P的坐標．26．（10分）某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，規定試銷期間銷售單價不低于成本價.據試銷發現，月銷量（千克）與銷售單價（元）符合一次函數.若該商店獲得的月銷售利潤為元，請回答下列問題：（1）請寫出月銷售利潤與銷售單價之間的關系式（關系式化為一般式）；（2）在使顧客獲得實惠的條件下，要使月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少元？（3）若獲利不高于，那么銷售單價定為多少元時，月銷售利潤達到最大？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數根，則根的判別式△＝b2?4ac＝0，建立關于k的等式，求出k．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數根，∴△＝b2?4ac＝62?4×1×k＝36?4k＝0，解得：k＝1．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；（2）△＝0時，方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0時，方程沒有實數根．2、A【分析】如圖，作PE⊥BC于E，由CD//AB可得△APB∽△CPD，可得對應高CE與BE之比，根據CD∥PE可得△BPE∽△BDC，利用對應邊成比例可得比例式，把相關數值代入求解即可．【詳解】如圖，作PE⊥BC于E，∵CD∥AB，∴△APB∽△CPD，∴，∴，∵CD∥PE，∴△BPE∽△BDC，∴，∴，解得：PE＝2.1．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的應用，平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；正確作出輔助線構建相似三角形并熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．3、D【分析】利用配方法求最值.【詳解】解：∵a=-1<0∴當t=5時，y有最大值為36故選：D【點睛】本題考查配方法求最值，掌握配方法的方法正確計算是本題的解題關鍵.4、C【解析】∵在平面直角坐標系中，關于原點對稱的兩個點的橫坐標與橫坐標、縱坐標與縱坐標都互為相反數，∴點P（1，-2）關于原點的對稱點坐標為（-1，2），故選C.5、A【解析】試題分析：不可能事件發生的概率為0，故A正確；隨機事件發生的概率為在0到1之間，故B錯誤；概率很小的事件也可能發生，故C錯誤；投擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面向上的次數為50次是隨機事件，D錯誤；故選A．考點：隨機事件．6、C【解析】試題分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC繞點A旋轉到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°."∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°."∴∠BAE=50°．故選C．考點：1.面動旋轉問題；2.平行線的性質；3.旋轉的性質；4.等腰三角形的性質．7、D【分析】根據事件發生的可能性大小判斷．【詳解】解：A、竹籃打水，是不可能事件；B、瓜熟蒂落，是必然事件；C、海枯石爛，是不可能事件；D、不期而遇，是隨機事件；故選：D．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．8、C【分析】根據反比例函數的定義可得|a|-2≠0,可解得.【詳解】根據反比例函數的定義可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.故選C.【點睛】本題考核知識點：反比例函數定義.解題關鍵點：理解反比例函數定義.9、B【分析】利用概率的意義直接得出答案．【詳解】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣,正面朝上概率等于，前6次的結果都是正面朝上，不影響下一次拋擲正面朝上概率，則第7次拋擲這枚硬幣，正面朝上的概率為：，故選：．【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確把握概率的定義是解題關鍵．10、B【解析】A.至少有1個球是紅球是隨機事件，選項錯誤；B.至少有1個球是白球是必然事件，選項正確；C.至少有2個球是紅球是隨機事件，選項錯誤；D.至少有2個球是白球是隨機事件，選項錯誤．故選B.二、填空題(每小題3分,共24分)11、-4【分析】將x=1代入方程求解即可.【詳解】將x=1代入方程得4+a=0，解得a=-4，故答案為：-4.【點睛】此題考查一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數的值是方程的解，已知方程的解時將解代入方程求參數即可.12、．【解析】根據一個角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【詳解】解：由∠C=90°，若sinA=，得cosB=sinA=，故答案為．【點睛】本題考查了互余兩角的三角函數，利用一個角的余弦等于它余角的正弦是解題關鍵．13、【分析】連接OB和AC交于點D，根據菱形及直角三角形的性質先求出AC的長及∠AOC的度數，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面積，則由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【詳解】連接OB和AC交于點D，如圖所示：∵圓的半徑為2，∴OB＝OA＝OC＝2，又四邊形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝S扇形AOC＝則圖中陰影部分面積為S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝故答案為【點睛】本題考查扇形面積的計算及菱形的性質，解題關鍵是熟練掌握菱形的面積和扇形的面積，有一定的難度．14、4【分析】連接OA，根據垂徑定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．【詳解】連接OA，∵AB⊥OP，∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，∴OP＝＝＝4，故答案為：4.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關鍵．15、【分析】求出一次拋一枚硬幣正面朝上的概率即可．【詳解】解：∵拋硬幣正反出現的概率是相同的，不論拋多少次出現正面或反面的概率是一致的，∴正面向上的概率為．故答案為.【點睛】本題考查的是概率的公式，注意拋硬幣只有兩種情況，每次拋出的概率都是一致的，與次數無關．16、-1【分析】直接根據兩根之和的公式可得答案．【詳解】∵a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，∴a+b＝﹣1，故答案為：﹣1．【點睛】此題考查一元二次方程根與系數的公式，熟記公式并熟練解題是關鍵.17、80°或120°【分析】本題可以圖形的旋轉問題轉化為點B繞D點逆時針旋轉的問題，故可以D點為圓心，DB長為半徑畫弧，第一次與原三角形交于斜邊AB上的一點B′，交直角邊AC于B″，此時DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性質求旋轉角∠BDB′的度數，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋轉角∠BDB″的度數．【詳解】解：如圖，在線段AB取一點B′，使DB=DB′，在線段AC取一點B″，使DB=DB″，∴①旋轉角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋轉角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案為80°或120°．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．運用含30度的直角三角形三邊的關系也是解決問題的關鍵．18、100【分析】根據Rt△ABC中∠B=50°，推出∠BCA=40°，根據旋轉的性質可知，AC=AC1，∠BCA=∠C1=40°，求出∠CAC1的度數，即可求出∠BAB1的度數.【詳解】∵Rt△ABC中∠B=50°，∴∠BCA=40°，∵△ABC繞直角頂點A順時針旋轉得到△ADE．當點C在B1C1邊所在直線上，∴∠C1=∠BCA=40°，AC=AC1，∠CAB=∠C1AB1，∴∠ACC1=∠C1=40°，∴∠BAB1=∠CAC1=100°，故答案為：100.【點睛】本題考查了旋轉的性質和等腰三角形的判定和性質，熟練掌握其判定和性質是解題的關鍵.三、解答題(共66分)19、（1）②；（2）±1；（3）＜＜或＜＜【分析】（1）本題先利用切線的性質，結合勾股定理以及三角形面積公式將面積最值轉化為線段最值，了解最美三角形的定義，根據圓心到直線距離最短原則解答本題．（2）本題根據k的正負分類討論，作圖后根據最美三角形的定義求解EF，利用勾股定理求解AF，進一步確定∠AOF度數，最后利用勾股定理確定點F的坐標，利用待定系數法求k．（3）本題根據⊙B在直線兩側不同位置分類討論，利用直線與坐標軸的交點坐標確定∠NDB的度數，繼而按照最美三角形的定義，分別以△BND，△BMN為媒介計算BD長度，最后與OD相減求解點B的橫坐標范圍．【詳解】（1）如下圖所示：∵PM是⊙O的切線，∴∠PMO=90°，當⊙O的半徑OM是定值時，，∵，∴要使面積最小，則PM最小，即OP最小即可，當OP⊥時，OP最小，符合最美三角形定義．故在圖1三個三角形中，因為AO⊥x軸，故△AOP為⊙A與x軸的最美三角形．故選：②．（2）①當k＜0時，按題意要求作圖并在此基礎作FM⊥x軸，如下所示：按題意可得：△AEF是直線y=kx與⊙A的最美三角形，故△AEF為直角三角形且AF⊥OF．則由已知可得：，故EF=1．在△AEF中，根據勾股定理得：．∵A(0,2)，即OA=2，∴在直角△AFO中，，∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，故根據勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，將F點代入y=kx可得：．②當k＞0時，同理可得k=1．故綜上：．（3）記直線與x、y軸的交點為點D、C，則，，①當⊙B在直線CD右側時，如下圖所示：在直角△COD中，有，，故，即∠ODC=60°．∵△BMN是直線與⊙B的最美三角形，∴MN⊥BM，BN⊥CD，即∠BND=90°，在直角△BDN中，，故．∵⊙B的半徑為，∴．當直線CD與⊙B相切時，，因為直線CD與⊙B相離，故BN＞，此時BD＞2，所以OB=BD-OD＞．由已知得：＜，故MN＜1．在直角△BMN中，＜，此時可利用勾股定理算得BD＜，＜=，則＜＜．②當⊙B在直線CD左側時，同理可得：＜＜．故綜上：＜＜或＜＜．【點睛】本題考查圓與直線的綜合問題，屬于創新題目，此類型題目解題關鍵在于了解題干所給示例，涉及動點問題時必須分類討論，保證不重不漏，題目若出現最值問題，需要利用轉化思想將面積或周長最值轉化為線段最值以降低解題難度，求解幾何線段時勾股定理極為常見．20、（1）（3，2）；（2）k＝﹣1【分析】（1）由于PQ∥x軸，則點P的縱坐標為2，然后把y＝2代入y＝得到對應的自變量的值，從而得到P點坐標；（2）由于S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，根據反比例函數k的幾何意義得到|k|+×|6|＝9，然后解方程得到滿足條件的k的值．【詳解】（1）∵PQ∥x軸，∴點P的縱坐標為2，把y＝2代入y＝得x＝3，∴P點坐標為（3，2）；（2）∵S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，∴|k|+×|6|＝9，∴|k|＝1，而k＜0，∴k＝﹣1．【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，掌握反比例函數k的幾何意義是解題的關鍵.21、（1）2；（﹣1，1），（2，1）；（2）x＞；（3）x＜﹣1或x＞2【分析】（1）利用拋物線的對稱軸方程得到?=，解方程得到m的值，從而得到y＝?x2＋x＋2，然后解方程?x2＋x＋2＝1得拋物線與x軸的交點；（2）根據二次函數的性質求解；（3）結合函數圖象，寫出拋物線在x軸下方所對應的自變量的范圍即可．【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸為直線x＝?=，∴m＝2，拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2，當y＝1時，﹣x2+x+2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴拋物線與x軸的交點為（﹣1，1），（2，1）；（2）由函數圖象可知,當x＞時，y的值隨x的增大而減小；（3）由函數圖象可知,當x＜﹣1或x＞2時，y＜1．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠1）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數的性質．22、（1）第10天時該商品的銷售單價為25元/件；（2）網店第26天銷售額為792元；（3）；這30天中第15天獲得的利潤最大，最大利潤是元.【分析】（1）將m=25代入m=20+x，求得x即可；（2）令，解得方程即可；（3）根據“總利潤=單件利潤×銷售量”可得函數解析式，將所得函數解析式配方成頂點式后，根據二次函數的性質即可得．【詳解】解：（1）當時，，解得：，所以第10天時該商品的銷售單價為25元/件；（2）根據題意，列方程為：，解得（舍去）答：網店第26天銷售額為792元.（3）；（4），∴當時，y最大=，答：這30天中第15天獲得的利潤最大，最大利潤是元【點睛】本題考查二次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會構建函數，利用二次函數的性質解決問題，屬于中考常考題型．23、（1）；（2）；【分析】（1）屬于求簡單事件的概率，根據概率公式計算可得；（2）用列表格法列出所有的等可能結果，從中確定符合事件的結果，根據概率公式計算可得.【詳解】解：（1）小亮隨機報名一個項目共有4種等可能結果，分別為A.足球、B.機器人、C.航模、D.繪畫，其中選擇“機器人”的有1種，為B.機器人，所以選擇“機器人”的概率為P=.（2）用列表法表示所有可能出現的結果如圖：從表格可以看出，總共有16種結果，每種結果出現的可能性相同，其中至少有一人參加“航模”社團有7種，分別為(A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),(C,D),(D,C),所以兩人至少有一人參加“航模”社團的概率P=.【點睛】本題考查的是求簡單事件的概率和兩步操作事件的概率,用表格或樹狀圖表示總結果數是解答此類問題的關鍵.24、（1）（2）()；（3）或【分析】（1）過點作，垂足為點．，則．根據構建方程求出即可解決問題．（2）①證明，可得，由此構建關系式即可解決問題．②分兩種情形：當時，當時，分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）是等邊三角形，，．，，，，，，．過點作，垂足為點．設，則．在中，，，，，在中，，，解得．所以線段的長是．（2）①設，則，．，，，又，，，又，，，由（1）得在中，，，，．②當時，，則有，整理得，解得或（舍棄），．當時，同法可得當時，，整理得，解得（舍棄）或1，．綜上所述：當∠CAD<120°時，；當120°<∠CAD<180°時，.【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．25、（1）y=-x2+4x；（2）點C的坐標為（3，3），3；（3）點P的坐標為（2，4）或（3，3）【分析】（1）將點A、B的坐標代入即可求出解析式；（2）求出拋物線的對稱軸，根據對稱性得到點C的坐標，再利用面積公式即可得到三角形的面積；（3）先求出直線AB的解析式，過P點作PE∥y軸交AB于點E，設其坐標為P（a，-a2+4a），得到點E的坐標為(a，-a+4)，求出線段PE，即可根據面積相加關系求出a，即可得到點P的坐標.【詳解】（1）把點A（4，0），B(1，3)代入拋物線y=ax2+bx中，得，得，∴拋物線的解析式為y=-x2+4x；(2)∵，∴對稱軸是直線