2023-2024學年廣東省東莞市常平嘉盛實驗學校數學九年級第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知、是一元二次方程的兩個實數根，下列結論錯誤的是()A． B． C． D．2．一元二次方程的根是（）A．1 B．3 C．1或3 D．-1或33．若反比例函數y=的圖象經過點(2，3)，則它的圖象也一定經過的點是()A． B． C． D．4．一5的絕對值是（）A．5 B． C． D．－55．若與的相似比為1：4，則與的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：166．要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5，6，9，另一個三角形的最長邊長為4.5，則它的最短邊長是（）A． B． C． D．7．下列事件中，屬于必然事件的是（）A．明天我市下雨B．拋一枚硬幣，正面朝下C．購買一張福利彩票中獎了D．擲一枚骰子，向上一面的數字一定大于零8．如圖，在矩形中，于F，則線段的長是（）A． B． C． D．9．入冬以來氣溫變化異常，在校學生患流感人數明顯增多，若某校某日九年級8個班因病缺課人數分別為2、6、4、6、10、4、6、2，則這組數據的眾數是（）A．5人 B．6人 C．4人 D．8人10．如圖，在中，，，，則等于（）A． B． C． D．11．如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．12．等腰三角形底邊長為10，周長為36，則底角的余弦值等于（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為_____．14．邊長為1的正方形，在邊上取一動點，連接，作，交邊于點，若的長為，則的長為__________．15．某電視臺招聘一名記者，甲應聘參加了采訪寫作、計算機操作和創意設計的三項素質測試得分分別為70、60、90，三項成績依次按照5:2:3計算出最后成績，那么甲的成績為__．16．若是方程的一個根，則式子的值為__________．17．如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．C是⊙O上一個動點．且不與A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，則α與β的關系是_______．18．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解為_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩個小孔形狀、大小都相同，正常水位時，大孔水面常度AB＝20米，頂點M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面寬度BC＝6米，頂點N距水面4.5米．航管部門設定警戒水位為正常水位上方2米處借助于圖中的平面直角坐標系解答下列問題：（1）在汛期期間的某天，水位正好達到警戒水位，有一艘頂部高出水面3米，頂部寬4米的巡邏船要路過此處，請問該巡邏船能否安全通過大孔？并說明理由．（2）在問題（1）中，同時橋對面又有一艘小船準備從小孔迎面通過，小船的船頂高出水面1.5米，頂部寬3米，請問小船能否安全通過小孔？并說明理由．20．（8分）華聯超市準備代銷一款運動鞋，每雙的成本是170元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是200元時，每天的銷售量是40雙，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5雙，設每雙降低x元(x為正整數)，每天的銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數關系式；(2)每雙運動鞋的售價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？21．（8分）如圖，已知是的直徑，是的弦，點在外，連接，的平分線交于點.（1）若，求證：是的切線；（2）若，，求弦的長.22．（10分）如圖，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中點，連接AD與BE交于點F，求證：△AFE∽△BCE．23．（10分）如圖，在10×10的網格中，有一格點△ABC(說明：頂點都在網格線交點處的三角形叫做格點三角形).(1)將△ABC先向右平移5個單位，再向上平移2個單位，得到△A'B'C'，請直接畫出平移后的△A'B'C'；(2)將△A'B'C'繞點C'順時針旋轉90°，得到△A''B''C'，請直接畫出旋轉后的△A''B''C'；(3)在(2)的旋轉過程中，求點A'所經過的路線長(結果保留π).24．（10分）如圖，已知二次函數的頂點為（2，），且圖象經過A（0，3），圖象與x軸交于B、C兩點．（1）求該函數的解析式；（2）連結AB、AC，求△ABC面積．25．（12分）如圖，直線與⊙相離，于點，與⊙相交于點，.是直線上一點，連結并延長交⊙于另一點，且.（1）求證：是⊙的切線；（2）若⊙的半徑為，求線段的長.26．如圖，聰聰想在自己家的窗口A處測量對面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距離（AB）為16m，又測得從A處看建筑物底部C的俯角α為30°，看建筑物頂部D的仰角β為53°，且AB，CD都與地面垂直，點A，B，C，D在同一平面內．（1）求AB與CD之間的距離（結果保留根號）．（2）求建筑物CD的高度（結果精確到1m）．（參考數據：，，，）

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根的定義、一元二次方程根與系數的關系逐一進行分析即可.【詳解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的兩個實數根，這里a=1，b=-2，c=0，b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有兩個不相等的實數根，即，故A選項正確，不符合題意；，故B選項正確，不符合題意；，故C選項正確，不符合題意；，故D選項錯誤，符合題意，故選D.【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根的意義，根與系數的關系等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.2、D【解析】利用因式分解法求解即可得．【詳解】故選：D．【點睛】本題考查了利用因式分解法求解一元二次方程，主要解法包括：直接開方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等，熟記各解法是解題關鍵．3、A【詳解】解：根據題意得k=2×3=6，所以反比例函數解析式為y=，∵﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣3）=﹣6，3×（﹣2）=﹣6，﹣2×3=﹣6，∴點（﹣3，﹣2）在反比例函數y=的圖象上．故選A．【點睛】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征．4、A【解析】試題分析：根據數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值的定義，在數軸上，點﹣5到原點的距離是5，所以﹣5的絕對值是5，故選A．5、C【分析】根據相似三角形的性質解答即可.【詳解】解：∵與的相似比為1：4，∴與的周長比為：1：4.故選：C.【點睛】本題考查了相似三角形的性質，屬于應知應會題型，熟練掌握相似三角形的性質是解題關鍵.6、B【分析】根據題意可得出兩個三角形相似，利用最長邊數值可求出相似比，再用三角形的最短邊乘以相似比即可．【詳解】解：由題意可得出：兩個三角形的相似比為：，所以另一個三角形最短邊長為：．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的相似比，根據題目求出兩個三角形的相似比是解此題的關鍵．7、D【分析】根據定義進行判斷．【詳解】解：必然事件就是一定發生的事件，隨機事件是可能發生也可能不發生的事件，由必然事件和隨機事件的定義可知，選項A，B，C為隨機事件，選項D是必然事件，故選D．【點睛】本題考查必然事件和隨機事件的定義．8、C【分析】根據矩形的性質和勾股定理求出，再由面積法求出的長即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，的面積，；故選：．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理、直角三角形的面積，熟練掌握矩形的性質，熟記直角三角形的面積求法是解題的關鍵．9、B【解析】找出這組數據出現次數最多的那個數據即為眾數.【詳解】解：∵數據2、6、4、6、10、4、6、2，中數據6出現次數最多為3次，∴這組數據的眾數是6.故選：B.【點睛】本題考查眾數的概念，出現次數最多的數據為這組數的眾數.10、A【解析】分析：先根據勾股定理求得BC=6，再由正弦函數的定義求解可得．詳解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC=，∴sinA=.故選：A．點睛：本題主要考查銳角三角函數的定義，解題的關鍵是掌握勾股定理及正弦函數的定義．11、B【解析】∵AC＞BC，∴AC是較長的線段，根據黃金分割的定義可知：=≈0.618，故A、C、D正確，不符合題意；AC2=AB?BC，故B錯誤，符合題意；故選B．12、A【分析】由題意得出等腰三角形的腰長為13cm，作底邊上的高，根據等腰三角形的性質得出底邊一半的長度，最后由三角函數的定義即可得出答案．【詳解】解：如圖，BC=10cm，AB=AC，可得AC=（36-10）÷2=26÷2=13（cm）．又AD是底邊BC上的高，∴CD=BD=5cm，

∴cosC=，即底角的余弦值為，故選：A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質和三角函數的定義，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【解析】分析：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，則NF=x，再利用矩形的性質和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長．詳解：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME=，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x=∴AF=故答案為．點睛：本題考查了矩形的性質、相似三角形的判斷和性質以及勾股定理的運用，正確添加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵，14、或【分析】根據正方形的內角為90°，以及同角的余角相等得出三角形的兩個角相等，從而推知△ABE∽△ECF，得出，代入數值得到關于CE的一元二次方程，求解即可．【詳解】解：∵正方形ABCD，

∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，．解得，CE=或．故答案為：或．【點睛】考查了四邊形綜合題型，需要掌握三角形相似的判定與性質，正方形的性質以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據相似三角形得出一元二次方程，難度不大．15、74【分析】利用加權平均數公式計算.【詳解】甲的成績=，故答案為：74.【點睛】此題考查加權平均數，正確理解各數所占的權重是解題的關鍵.16、1【分析】將a代入方程中得到，將其整體代入中，進而求解．【詳解】由題意知，，即，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了方程的根，求代數式的值，學會運用整體代入的思想是解題的關鍵．17、或【分析】分點C在優弧AB上和劣弧AB上兩種情況討論，根據切線的性質得到∠OAC的度數，再根據圓周角定理得到∠AOC的度數，再利用三角形內角和定理得出α與β的關系.【詳解】解：當點C在優弧AB上時，如圖，連接OA、OB、OC，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，∴∠OAC=α-90°=∠OCA，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（α-90°）+2β=180°，∴；當點C在劣弧AB上時，如圖，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，∴∠OAC=90°-α=∠OCA，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（90°-α）+2β=180°，∴.綜上：α與β的關系是或.故答案為：或.【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，利用圓周角定理是解題的關鍵，同時注意分類討論.18、x1＝3，x2＝1【分析】利用因式分解法求解可得．【詳解】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝1，故答案為：x1＝3，x2＝1．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（１）巡邏船能安全通過大孔，理由見解析；（2）小船不能安全通過小孔，理由見解析．【分析】（1）設大孔所在的拋物線的解析式為，求得大孔所在的拋物線的解析式為，當時，得到，于是得到結論；（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，設小孔所在的拋物線的解析式為，求得小孔所在的拋物線的解析式為，當時，得到，于是得到結論．【詳解】解：（1）設大孔所在的拋物線的解析式為，由題意得，，，，大孔所在的拋物線的解析式為，當時，，該巡邏船能安全通過大孔；（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，設小孔所在的拋物線的解析式為，由題意得，，，，小孔所在的拋物線的解析式為，當時，，小船不能安全通過小孔．【點睛】本題考查了二次函數的應用以及二次函數圖象上點的坐標特征，結合函數圖象及二次函數圖象上點的坐標特征找出關于的一元一次方程是解題的關鍵．20、（1）y=﹣5x2+110x+1200；(2)售價定為189元，利潤最大1805元【解析】利潤等于（售價﹣成本）×銷售量，根據題意列出表達式，借助二次函數的性質求最大值即可；【詳解】（1）y＝（200﹣x﹣170）（40+5x）＝﹣5x2+110x+1200；（2）y＝﹣5x2+110x+1200＝﹣5（x﹣11）2+1805，∵拋物線開口向下，∴當x＝11時，y有最大值1805，答：售價定為189元，利潤最大1805元；【點睛】本題考查實際應用中利潤的求法，二次函數的應用；能夠根據題意列出合理的表達式是解題的關鍵．21、（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接OC，利用直徑所對的圓周角是直角，結合半徑相等，利用等邊對等角，證得∠OCE=90，即可證得結論；（2）連接DB，證得△ADB為等腰直角三角形，可求得直徑的長，再根據勾股定理求出AC即可．【詳解】（1）連接OC，∵是的直徑，∴∠ACB=90，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BCE=∠BAC，∴∠BCE=∠BAC=∠OCA，∵∠OCA+∠OCB=90，∴∠BCE+∠OCB=90，∴∠OCE=90，

∴CE是⊙O的切線；（2）連接DB，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90，∵CD平分∠ACB，∴，∴，∴△ADB為等腰直角三角形，

∴，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定方法，圓周角定理，勾股定理的應用，掌握直徑所對的圓周角為直角是解題的關鍵．22、證明詳見解析．【解析】試題分析：根據等腰三角形的性質，由AB=AC，D是BC中點得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再證明∠FAD=∠CBE，于是根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似即可得到結論．試題解析：證明：∵AB=AC，D是BC中點，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．考點：相似三角形的判定．23、（1）見解析，（2）見解析，（3）π【解析】（1）將三個頂點分別向右平移5個單位，再向上平移2個單位得到對應點，再首尾順次連接即可得；（2）作出點A′，B′繞點C順時針旋轉90°得到的對應點，再首尾順次連接可得；（3）根據弧長公式計算可得．【詳解】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求．（2）如圖所示，△A″B″C′即為所求．（3）∵A′C′＝＝，∠A′C′A″＝90°，∴點A′所經過的路線長為＝π，故答案為π．【點睛】本題主要考查作圖﹣旋轉變換和平移變換，解題的關鍵是熟練掌握旋轉和平移變換的定義和性質，并據此得出變換后的對應點，也考查了弧長公式．24、（1）；（2）.【分析】（1）設