試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023-2024學(xué)年河北省承德市高三第一學(xué)期12月份月考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知為復(fù)數(shù)單位，，則的模為（

）A． B．1 C．2 D．43．已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．已知等軸雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．5．已知，且滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．2407．在正方體中，若棱長(zhǎng)為，，分別為線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為定值C．平面平面 D．點(diǎn)到平面的距離為定值8．已知函數(shù)，若在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．已知函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增10．已知的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，且，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) D．11．已知，是橢圓C：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的面積是 B．的內(nèi)切圓的半徑為C．點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2 D．若點(diǎn)P是C上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為612．已知，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．對(duì)于任意，函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的切線(xiàn)的斜率最小值為D．若函數(shù)在上的最小值為，則三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．命題在單調(diào)增函數(shù)，命題（）在R上為增函數(shù)，則命題P是命題Q的．（在“充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件”中選擇最合適的填寫(xiě)）14．“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”，可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問(wèn)物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：將到這個(gè)自然數(shù)中被除余且被除余的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為．15．在中，，，，則的周長(zhǎng)為.16．已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，(1)求的大小；(2)若，求的面積．18．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）在中是否存在使得是中的項(xiàng)，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的一項(xiàng)（不要求寫(xiě)出所有的項(xiàng)）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知函數(shù)在處的切線(xiàn)方程．（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極小值．20．在圖1中，四邊形為梯形，，，，，過(guò)點(diǎn)A作，交于．現(xiàn)沿將折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐，在圖2中解答下列兩問(wèn)：(1)求四棱錐的體積；(2)若F在側(cè)棱上，，求證：二面角為直二面角．21．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn).①若直線(xiàn)垂直于軸，求的大小;②若直線(xiàn)與軸不垂直，是否存在直線(xiàn)使得為等腰三角形？如果存在，求出直線(xiàn)的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案第=page1313頁(yè)，共=sectionpages1313頁(yè)答案第=page1414頁(yè)，共=sectionpages1414頁(yè)1．D【分析】先解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】由，可得，即，則，所以，又，所以.故選：D.2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的乘除法則，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義可求得，進(jìn)而可求得，再結(jié)合模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由可得，所以，所以，則.故選：A.3．A【分析】根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程求得參數(shù)，結(jié)合投影的定義，可得答案.【詳解】，故，解得，所以，則在方向上的投影向量為.故選：A.4．C【分析】設(shè)出等軸雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，將代入即可求解.【詳解】設(shè)等軸雙曲線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入得，解得.所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.5．A【分析】先變形得到且，從而得到，故，利用基本不等式求出最小值，得到答案.【詳解】因?yàn)椋遥裕郑剩裕矗裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：A6．C【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)求得，然后由等差數(shù)列求和公式和下標(biāo)和性質(zhì)可解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可知，得，所以．故選：C．7．B【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間向量逐個(gè)計(jì)算判斷即可【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，令，得，令，得，，對(duì)于A，，顯然，即，，而，平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，由平面，平面，得，因?yàn)椋矫妫瑒t平面，于是為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則不是定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知平面，即為平面的一個(gè)法向量，而，則，即有，又，平面，因此平面，則平面平面，C正確；對(duì)于D，顯然，因此點(diǎn)到平面的距離為，為定值，D正確.故選：B8．D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由已知得出恒成立.進(jìn)而推得恒成立，由列出不等式，解不等式即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以恒成立.因?yàn)椋院愠闪ⅲ裕獾?故選：D.9．ABD【分析】令，求得，可判定A不正確；令，求得可判定B不正確；由時(shí)，可得，可判定C正確；由，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于函數(shù)，對(duì)于A中，令，可得，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以A不正確；對(duì)于B中，令，可得不是最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以在上有4個(gè)零點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，此時(shí)先減后增，所以D不正確.故選：ABD.10．ABC【分析】由已知奇偶性得出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，再得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由對(duì)稱(chēng)性變形判斷ABC，結(jié)合單調(diào)性判斷D．【詳解】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；所以，，，，所以是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期．，，故B正確；，是偶函數(shù)，A正確；對(duì)任意的，且，都有，即時(shí)，，所以在是單調(diào)遞增，，，，，∴，故D錯(cuò)．故選：ABC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性和周期性，再利用這些性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.11．ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)橢圓定義，余弦定理，三角形面積公式可求得答案；對(duì)B，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，，可求得；對(duì)C，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，由可求得；對(duì)D，由向量可得，，兩式平方化簡(jiǎn)得，當(dāng)最大時(shí)，得解.【詳解】如圖所示，令A(yù)選項(xiàng)，設(shè)，，由橢圓定義得，又由余弦定理可得，解得，，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由，可得：，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由，可得：，即，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋裕矗偻恚傻茫趦墒较鄿p可得，，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD.12．BCD【分析】先求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)a分類(lèi)討論當(dāng)時(shí)，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)，則時(shí)，，則，有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，且函數(shù)在處連續(xù)，則0為的極大值點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的切線(xiàn)的斜率為：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則，當(dāng)時(shí)，顯然函數(shù)在上的最小值為，則，故D項(xiàng)正確.故選：BCD13．充要條件【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及分段函數(shù)單調(diào)性建立不等式，結(jié)合充要條件的定義，可得答案.【詳解】根據(jù)命題，由函數(shù)，此為圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)，則其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；根據(jù)命題，由題意可得，解得.易知命題是命題的充要條件.故答案為：充要條件.14．【分析】先得到新數(shù)列，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，解不等式即能求出數(shù)列的項(xiàng)數(shù).【詳解】由題知，滿(mǎn)足上述條件的數(shù)列為，該數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，則，解得，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.故答案為：15．6【分析】利用向量的幾何意義確定三角形的形狀即可求解.【詳解】設(shè)，則有均為單位向量，且與同向，與同向，所以與的角平分線(xiàn)共線(xiàn)，又因?yàn)椋缘慕瞧椒志€(xiàn)與垂直，即的角平分線(xiàn)與高線(xiàn)合一,所以為等腰三角形，且,又由，得，所以是等邊三角形，則的周長(zhǎng)為.故答案為:6.16．8【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義直接求解即可.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，而、為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且弦過(guò)，則，于是，而，所以.故答案為：817．【小題1】【小題2】【分析】（1）已知等式利用誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)，可求的大小；（2）條件中的等式，利用正弦定理角化邊，再用余弦定理求得邊，用面積公式計(jì)算面積.【詳解】（1），可得又（2）由正弦定理得，，由余弦定理，,可得，，聯(lián)立方程組整理得，，所以或（舍）．18．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用退一法求解即可（2）假設(shè)存在得關(guān)系式再賦值即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，即：故{}為首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，（2）設(shè)中第m項(xiàng)滿(mǎn)足題意，即，即所以，19．（1）；（2）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有，又，聯(lián)立方程組即可求解.（2）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，可得減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極小值．【詳解】解：（1），由已知可得，解得.（2）由（1）可得，∴，令，解得；令，解得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，的極小值為．20．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)利用線(xiàn)面垂直的判定定理確定高，再用體積公式直接求解；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，證明兩平面的法向量數(shù)量積等于0即可.【詳解】（1）在圖1中，∵，∴，又，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為菱形．在圖2中，連接，則，又平面，，∴平面，∵平面，∴∵，平面,∴平面（2）在圖2中，以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，由令，則，取設(shè)面的一個(gè)法向量為，由令，則，取所以，∴，從而二面角為直二面角21．（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，直線(xiàn)的方程為.（ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，不存在直線(xiàn)使得為等腰三角形.【分析】（1）根據(jù)離心率以及點(diǎn)坐標(biāo)列方程組解得結(jié)果，（2）第一問(wèn)，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式得垂直，即得夾角，第二問(wèn)設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，求向量數(shù)量積，根據(jù)方程無(wú)解得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.由題意可知：，.解得.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設(shè).（ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，直線(xiàn)的方程為.由解得：或即（不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方）.則直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率.∵，得.∴.（ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為.由消去得：.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，顯然.因?yàn)椋?∴.即為直角三角形.假設(shè)存在直線(xiàn)使得為等腰三角形，則.取的中點(diǎn)，連接，則.記點(diǎn)為.另一方面，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo).又故與不垂直，矛盾.所以當(dāng)直線(xiàn)與軸