高二上學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2023．12一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．直線傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．“幸福感指數(shù)”是指人們主觀地評(píng)價(jià)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取10位某小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．93．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)的圓的方程為（）A． B．C． D．4．“仁義禮智信”為儒家“五常”由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”．將“仁、義、禮”排成一排，其中“義”不在首位的概率為（）A． B． C． D．5．等差數(shù)列、中的前n項(xiàng)和分別為，，，，則（）A． B． C． D．6．已知P是圓C：上一點(diǎn)，Q是圓D：上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．7．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊3次，則事件“至少有兩次中靶”的對(duì)立事件為（）A．至多有一次中靶 B．至多有兩次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶8．直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．若過點(diǎn)有兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)m的可能取值是（）A． B．3 C．0 D．10．對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，若，，，則（）A．事件A與事件B互斥 B．C．事件A與事件B相互獨(dú)立 D．11．已知直線：，：，則（）A．若，則的一個(gè)方向向量為B．若，則或C．若，則D．若不經(jīng)過第二象限，則12．已知直線l：與圓C：，則（）A．直線l與圓C相離B．直線l與圓C相交C．圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè)D．圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上）13．在等比數(shù)列中，已知，，則______．14．已知直線在x軸上的截距為3，則直線在y軸上的截距為______．15．如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時(shí)水面跨度AB為6米，拱高（圓拱最高點(diǎn)到水面的距離）為1米．旱季時(shí)水位下降了1米，則此時(shí)水面跨度增大到______米．16．已知圓C：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為______．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知圓：和圓：．（1）當(dāng)時(shí)，判斷圓和圓的位置關(guān)系：（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得圓和圓內(nèi)含?18．2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7；第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值：（2）估計(jì)這100名同學(xué)面試成績(jī)的眾數(shù)和60%分位數(shù)（百分位數(shù)精確到0.1）：（3）在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自不同組的概率。19．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：（2）若動(dòng)點(diǎn)Q滿足，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；20．已知圓C的方程為．（1）求過點(diǎn)且與圓C相切的直線l的方程；（2）直線m過點(diǎn)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，求直線m的方程．21．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，，，等差數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．已知圓M：，點(diǎn)．（1）若，半徑為1的圓N過點(diǎn)P，且與圓M外切，求圓N的方程；（2）若過點(diǎn)P的兩條直線被圓M截得的弦長(zhǎng)均為，且與y軸分別交于點(diǎn)S，T，，求t．高二上學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2023.121．【詳解】，設(shè)該直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為，因數(shù)，所以．故選：C．2．【詳解】因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)是．故選：C3．解析方法一（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知，解得，故圓的方程為．故選A．方法二（數(shù)形結(jié)合法）：根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離為1，作圖易知圓心為，故圓的方程為．故選A．方法三（驗(yàn)證法）：將點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中，可排除B、D，又圓心在y軸上，所以排除C．故選A．4．【詳解】將“仁、義、禮”排成一排的所有可能有：仁義禮；仁禮義；義仁禮；義禮仁；禮仁義；禮義仁，共6種可能：“義”不在首位：仁義禮；仁禮義；禮仁義；禮義仁，有4種可能．由古典概型得，“義”不在首位的概率為．故選：B5．【詳解】∵等差數(shù)列、中的前n項(xiàng)和分別為，，，．故選：B．6．【詳解】因?yàn)椋?，且兩圓的半徑分別為，即兩圓外離，所以的最小值為．故選：B7．【詳解】由題意，事件“至少有兩次中靶”的對(duì)立事件為“至多有一次中靶”．故選：A．8．解析：由直線得，所以．因?yàn)閳A的圓心為，所以圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線的距離的取值范圍為，即，所以．故選A．9．【詳解】由題意過點(diǎn)有兩條直線與圓相切，則點(diǎn)在圓外，即，解得，由方程表示圓，則，解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．即實(shí)數(shù)m取值范圍是0，．故選：CD．10．【詳解】因?yàn)?，，，所以，又，則，所以，B正確；因?yàn)?，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；所以，D正確；因?yàn)?，所以事件A與事件B不是互斥事件，A錯(cuò)誤．故選：BCD11．【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，斜率為，則其一個(gè)方向向量為，故A正確；對(duì)B，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則直線的斜率，直線的斜率，則有，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，，顯然兩條直線重合，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則，即，解得，故C正確，對(duì)D，若不經(jīng)過第二象限，，化簡(jiǎn)得，則，解得，故D正確；故選：ACD．12．解析：由圓C：，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓心到直線的距離，則，所以直線l與圓C相交，所以圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)，故A，C錯(cuò)誤，B，D正確，選BD．13．【詳解】設(shè)的公比為q，則，解得，所以，解得，所以．14．解析：由題意知，直線過點(diǎn)，所以，解得，所以直線方程為，即，令，得．故直線在y軸上的截距為．15．【詳解】畫出圓拱圖示意圖，設(shè)圓半徑為R，雨季時(shí)水位方程，解得；旱季時(shí)水位方程，解得，所以此時(shí)水面跨度為．所以答案為8．16．解析：如圖，取AB的中點(diǎn)H，連接CH，可得，點(diǎn)H的軌跡是以CN為直徑的圓，圓心為，半徑，則，可得|，即的最小值為8．17．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，半徑，圓的方程為，則，半徑，兩圓的圓心距，又，，，故圓和圓相交．（2）不存在．理由如下：圓的方程可化為，則，半徑．而，半徑．假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得圓和圓內(nèi)含，則圓心距，即，此不等式無解．故不存在實(shí)數(shù)m，使得圓和圓內(nèi)含．18．【詳解】（1）由題意可知：，，解得；（2）由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，則估計(jì)第60%分位數(shù)為；（3）根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和，則在這5人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)有共10個(gè)，即，記事件A=“兩人來自不同組”，則事件A包含的樣本點(diǎn)有，共4個(gè)，即，所以．19．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)；由題意可得，即，化簡(jiǎn)可得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為；（2）設(shè)，由（1）知①，又，所以，即代入①得，整理得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為；20．解：（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然與相切：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)l：，由幾何關(guān)系可得，解得，故l：，即，故過點(diǎn)且與圓C相切的直線l的方程為或；（2）設(shè)m：，可設(shè)AB中點(diǎn)為D，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線m：或，即或．21．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列．設(shè)等比數(shù)列的公比為q（且）．由，，得，即，解得或（舍去），所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為d．由題意，得解得所以．（2）因?yàn)?，所以，所?2．解析：（1）設(shè)圓N的圓心為．由題