齊齊哈爾普高聯誼校高三期末考試數學考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：復數，數列立體幾何（含空間向量）占50%；集合，邏輯，不等式，函數，導數，三角函數，解三角形，平面向量占50%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等比數列中，，，則首項（）A．2 B．1 C． D．4．若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（）A． B． C． D．5．設函數，則（）A．是偶函數，且在上單調遞增 B．是奇函數，且在上單調遞減C．是偶函數，且在上單調遞增 D．是奇函數，且在上單調遞減6．若函數（）在上單調，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若為函數的極值點，則函數的最小值為（）A． B． C． D．8．圣?索菲亞教堂（英語：SaintSophiaCathedral）坐落于中國黑龍江省，是一坐始建于1907年的拜占庭風格的東正教教堂，為哈爾濱的標志性建筑，被列為第四批全國重點文物保護單位．其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美．小明同學為了估算圣?索菲亞教堂的高度，在教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（，，三點共線）處測得樓頂、教堂頂的仰角分別是15°和60°，在樓頂處測得塔頂的仰角為30°，則小明估算圣·索菲亞教堂的高度為（）（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．設向量，，則（）A． B． C． D．10．設公差不為0的等差數列的前項和為，若，則下列結論正確的是（）A． B．最大 C． D．11．已知函數，則下列說法正確的是（）A．函數的最小正周期為B．函數的圖象關于點對稱C．函數為偶函數D．若函數的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則可以為12．如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A．平面平面B．的最小值為C．若直線與所成角的余弦值為，則D．若是的中點，則到平面的距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數，則______．14．若數列是等比數列，且，則______．15．已知，為坐標原點，點（異于點）在直線上，則______．16．已知函數（）圖象上相鄰兩對稱軸的距離為，則函數的圖象與函數（，且）的圖象所有交點的橫坐標之和為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在遞增的等比數列中，，，其中．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．18．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角；（2）若，求邊上高的最大值．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側棱底面，點是的中點，，．（1）求與所成角的大小；（2）求與平而所成角的正弦值．20．（12分）已知數列為等差數列，記，分別為數列，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．21．（12分）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，．（1）若是的中點，證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．22．（12分）已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數有兩個不同零點，，求實數的取值范圍，并證明：．齊齊哈爾普高聯誼校高三期末考試-數學參考答案、提示及評分細則1．D由，得，，所以，又，所以．2．A，在復平面內對應的點為，位于第一象限．3．C，所以，，所以．4．A設向量與的夾角是，則，又因為，所以．5．B6．D因為，所以，因為在上單調，所以，所以．7．C，因為是函數的極值點，所以，所以，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以．8．B由題意知，，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，，所以，在中，米，所以小明估算索菲亞教堂的高度為60米．9．ACD因為，所以，A正確；因為，所以與不平行，B錯誤；因為，所以，C正確；因為，所以，D正確．10．AD因為，所以，得，即，則A正確；當時，，則，最小，故B錯誤；因為，所以，所以，對稱軸為，所以，則C錯誤；因為，所以D正確．11．ABD因為，所以的最小正周期為，故A正確；當時，，所以函數的圖象關于點對稱，B正確；易知函數的定義域為，又，所以函數不是偶函數，故C錯誤；函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數為，由題意，函數的圖象關于軸對稱，所以，，即，，當時，，故D正確．12．ABD在正方體中，因為平面，平面，所以平面平面，故A正確；連接，由平面，得，故在中，當點與重合時，取最小值，故B正確；如圖，以、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，設，，則，，假設存在點，使直線與所成角的余弦值為，則，解得（舍去），或，此時點是中點，，故C錯誤；由且平面，知平面，，，，，設平面的法向量為，則即取，則，，故，所以點到平面的距離為，即到平面的距離為，D正確．13．0因為，則，故．14．4根據等比數列的性質，有，則，解得，所以．15．由點且點在直線上，可設，，可得，，則，且，所以．16．4由題知，函數的最小正周期為，，所以，則．又，所以的圖象關于點中心對稱，作出和（，且）的圖象如圖所示，可知兩函數圖象共有4個交點，且關于點中心對稱，故這4個交點的橫坐標之和為．17．解：（1）由，，等比數列是遞增數列，得，，因此數列的公比，則，所以數列的通項公式是．（2）由（1）得，，．18．解：（1）由正弦定理及，得．因為，所以，所以，所以．因為，所以．因為，所以．（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當且僅當時等號成立，設邊上的高為，又因為，所以．即邊上高的最大值為．19．解：（1）易知，又底面，、底面，，故以為坐標原點，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為．（用證明平面得參照給分）（2）由（1）知，，．設平面的一個法向量為，則取，則，．所以是平面的一個法向量．設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．20．解：（1）設等差數列的公差為，而，則，，，于是解得，，，所以數列的通項公式是．（2）方法1：由（1）知，，當為偶數時，，，當為奇數時，．所以方法2：由（1）知，，當為偶數時，，…當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，．21．（1）證明：連接，因為四邊形為菱形，且，所以與為等邊三角形．又中點為，所以．因為，所以，因為平面，平面，所以．又，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）解：連接，，設，交于點，取中點，連接，所以，底面．以為原點，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，設平面的一個法向量為，則令，得；9分設平面的一個法向量為，則令，得；所以，所以二面角的正弦值為．22．解：（1）當時，，易知，所以曲線在點處的切線方程為：，即．（2）由已知可得，①若，則，當時，；當時，．即在上單調遞增，上單調遞減，，易知當時，，即，又，所以，所以時，，時，，所以，又，，所以在和上各存在一個零點，顯然符合題意；②若時，，顯然不符合題意；③若時，令，，當時，令得或；令得，即在上單調遞減，和上單調遞增，函數極小值為，函數極大值為，此時函數至多有一個零點，不符合題意；當時，，則