2022年甘肅省張掖市高考理科數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={妙=反71}，8={x|y=/g(x-l)},AU8=()

A.{x|x>1}B.{小<1}C.{小Wl}D.{小21}

2.（5分）“0<5V空是“OVsinOV亨”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（5分）已知sin?—a）=/，則sin2a=（）

774>/245/2

A.—QB.-C.-----D.土---

9999

4.（5分）己知復(fù)數(shù)為=1-1（,?表示虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z滿足|z-zo|=l,則|z|的取值范圍

是（）

A.[0,1]B.[0,4]C.[0,2]D.[1,2]

5.（5分）△4BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若力=3,c=2,△ABC的面積

為2sinB,則cosA=（）

12V73

A.—B.—C.—D.一

3344

6.（5分）已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，g（x）—xf（x）.若a=g（-20,5）,b=g（-

log20.2）,c—g（3）,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.（5分）給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人，每

人做且僅做一項(xiàng)工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.64種

8.（5分）已知5”}是等差數(shù)列，公差d>0,其前〃項(xiàng)和為S“若42,45+2,07+2成等比

數(shù)列，Sn=5+?即則不正確的是（）

A.d=lB.aio=2O

2

C.Sn=n+nD.當(dāng)〃22時(shí)，Sn>yan

9.（5分）良好的睡眠是保證高中學(xué)生良好學(xué)習(xí)狀態(tài)的基礎(chǔ)，為了解某校高三學(xué)生的睡眠狀

第1頁(yè)共26頁(yè)

況，該校調(diào)查了高三年級(jí)1200名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這1200

名學(xué)生每天的睡眠時(shí)間X?M8,1），則每天的睡眠時(shí)間為5?6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為（）

（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

（附：若X?N（|i,則p（口-。WXWn+。）、0.6827,P（口-2。。）

p0.9545,P（n-3oWXW+3。）?=0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

10.（5分）將函數(shù)y=3sin（x-1）的圖象向右平移<p（0<<p<n）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到f（x）

TT57r

的圖象.若/（X）在（一，—）上單調(diào)遞增，則<P的取值范圍為（）

66

71717171712717127r

A?與,7]B.1，-]C,[-,y]D,[-,-1

x2y2

11.（5分）已知雙曲線C：—-—=1（6F>0,h>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1、尸2，過22

QNb2

的直線/交雙曲線的右支于A、8兩點(diǎn).點(diǎn)M滿足/=2薪，且就?BX=0.若

cosNAFiB=/，則雙曲線C的離心率是（）

A.—B.V3C.2D.V5

2

12.（5分）已知㈤表示不超過的最大整數(shù)，如：[-1.2]=-2,=[3]=3.若函數(shù)/

（x）—x^lnx,xG.（011）,則M""]=（）

A.3B.2C.ID.0

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）拋物線C：/=4ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,則C的準(zhǔn)線方程為.

14.（5分）已知四個(gè)函數(shù)：①/二-―②y=/,③y=2,?y—lnx,從中任選2個(gè)，則事

件“所選2個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.

15.（5分）設(shè)a=『（cosx-sinx）公,則二項(xiàng)式展開式中的小項(xiàng)的系數(shù)為.

16.（5分）在△ABC中，AB=4,AC=1,尸為AB邊上一點(diǎn)，2|AB+4AC\=20,則而?而

的最小值為.

第2頁(yè)共26頁(yè)

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

sinA-sinB

17.(12分)在①sin2C-gcos2c=4sinC-再,?b=+ccosA,@~——

Nab+c

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問題.

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.

(1)求角C的大小；

(2)若“+6=8,求aABC的外接圓面積的最小值.

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18.（12分）中華民族是一個(gè)歷史悠久的民族，在泱泱五千年的歷史長(zhǎng)河中，智慧的華夏民

族在很多領(lǐng)域都給人類留下了無數(shù)的瑰寶.比如，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中：十進(jìn)位制記數(shù)法和零

的采用；二進(jìn)位制思想起源；幾何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分?jǐn)?shù)運(yùn)算法

則和小數(shù)；負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)；盈不是術(shù)；方程術(shù)；最精確的圓周率一一“祖率”；等積原理一

-“祖瞄”原理；二次內(nèi)插法；增乘開方法；楊輝三角；中國(guó)剩余定理；數(shù)字高次方程

方法——“天元術(shù)”；招差術(shù)……，這些累累碩果都是華夏民族的祖先們?yōu)槿祟惖闹腔蹖?/p>

庫(kù)留下的珍貴財(cái)富.近代中國(guó)數(shù)學(xué)也在一直向前發(fā)展，涌現(xiàn)了蘇步青、華羅庚、陳省身、

吳文俊、陳景潤(rùn)、丘成桐等國(guó)際頂尖數(shù)學(xué)大師，他們?cè)谖⒎謳缀螌W(xué)、計(jì)算幾何學(xué)、中國(guó)

解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自安函數(shù)論、整體微分幾何、幾何定理機(jī)械化證明、

拓?fù)鋵W(xué)、哥德巴赫猜想研究、幾何分析等諸多領(lǐng)域取得了杰出成就.這些數(shù)學(xué)成就和數(shù)

學(xué)大師激勵(lì)了一代代華夏兒女自強(qiáng)不息，奮勇前進(jìn).為增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)學(xué)

生熱愛科學(xué)、團(tuán)結(jié)協(xié)作、熱愛祖國(guó)的優(yōu)良品德，以及培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，改變學(xué)生的

思維習(xí)慣，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，某中學(xué)在該校高一年級(jí)開設(shè)了選修課《中國(guó)數(shù)

學(xué)史》.經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，為了解同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)史課程的學(xué)習(xí)后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否濃

厚，該校隨機(jī)抽取了200名高一學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

對(duì)數(shù)學(xué)興對(duì)數(shù)學(xué)興合計(jì)

趣濃厚趣薄弱

選學(xué)了《中國(guó)數(shù)學(xué)史》10020120

未選學(xué)《中國(guó)數(shù)學(xué)史》Xyn

合計(jì)160m200

（1）求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,），，m,〃的值，并確定能否有85%的把握認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)興

趣濃厚與選學(xué)《中國(guó)數(shù)學(xué)史》課程有關(guān)；

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（2）在選學(xué)了《中國(guó)數(shù)學(xué)史》的120人中按對(duì)數(shù)學(xué)是否興趣濃厚，采用分層隨機(jī)抽樣的

方法抽取12人，再?gòu)?2人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查.若初始總分為10分，抽到的

3人中，每有一人對(duì)數(shù)學(xué)興趣薄弱減1分，每有一人對(duì)數(shù)學(xué)興趣濃厚加2分.設(shè)得分結(jié)果

總和為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

附：片=（a+b芯瑟?d）（b+d），H之

P（產(chǎn)》0.1500.1000.0500.0250.010

依）

ko2.0722.7063.8415.0246.635

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1

19.(12分)如圖在四棱錐A-8C0E中，CD//EB,CD與EB=1,CB1BE,AE=AB=

BC=y[2,AD=y/3.。是AE的中點(diǎn).

(I)求證：。?！ㄆ矫鍭BC；

(II)求D4與平面A8C所成角的正弦值.

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20.(12分)已知雙曲線C：4-4=1(a>0,Q0)的左頂點(diǎn)為A(-2,0),右焦點(diǎn)為

azb

F,點(diǎn)B在C上.當(dāng)尸時(shí)，\AF]=\BF\.不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于

P，。兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線尸。過點(diǎn)F,在x軸上是否存在點(diǎn)N,使得x軸平分NPNQ?若存在，求出點(diǎn)

的N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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21.(12分)已知函數(shù)/(%)=a(詈+1)(其中L為非零實(shí)數(shù)).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=，-/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)xi，X2.

①求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

②求證：與不＞e2-(石+小).

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請(qǐng)考生在第(22),(23)兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí)

用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線G：［二sin2a〈a為參數(shù))，在以。為極點(diǎn)，

x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：pcos("勺=-孝，曲線C3：p=2sin0.

(1)求曲線Ci與C2的交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)A,B分別為曲線C2，C3上的動(dòng)點(diǎn)，求HB|的最小值.

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23.己知函數(shù)/(x)=|2x-r|+|x+3|.

(1)若對(duì)任意的在［-3,+8),/(x)24恒成立，求正實(shí)數(shù)/的最小值

(2)若ab>0,且(〃+/?)(〃③+護(hù))=M,求證：a2+b2<V2.

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2022年甘肅省張掖市高考理科數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={Xy=-1},8={x[y=/g(x-1)},AUB=()

A.{x|x>1}B.{Rx<l}C.{xpcWl}D.{xpc'l}

解：?.,集合A={x|)，=V^=T}={xkel}，

8={x|y=/g(x-1)}={小>1},

.?.AU8={xW2l}.

故選：D.

2.(5分)"0<e是“OVsin"身的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：當(dāng)0V8V押，利用正弦函數(shù)尸sinx的單兩性知0々加。〈堂；

當(dāng)0<sin6V等時(shí)，2knVe<2kn+W（kSZ）或2k+冬V。<2kir+n（kGZ）,

綜上可知”0<。<引是"OBnOV等“的充分不必要條件，

故選：A.

3.（5分）已知sin?—a）=4，則sin2a=（）

774724>/2

A,一不B.-C.-----D.土---

9999

解：sin2a=cos（］—2a）=1-2sin2（^—?）=^

故選：B.

4.（5分）已知復(fù)數(shù)為=工一1（i表示虛數(shù)單位）,復(fù)數(shù)z滿足|z-zo|=l,則|z|的取值范圍

是（）

A.[0,1]B.[0,4]C.[0.2]D.[1,2]

解：ZQ=-2(1+0-1=l+i-1=/,

!1一I_(lT)(l+i)

|z-zo|=|z-i|=l,

第11頁(yè)共26頁(yè)

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(0,1)為圓心，I為半徑的圓上,

???0W|z|W2,

故選：C.

5.(5分)/XABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為小b,c,若b=3,c=2,△ABC的面積

為2sin-則cosA=()

12V73

A.-B.-C.—D.

3344

解：由題意得，h=3,c=2,△ABC的面積為2sin3,

11

所以—acsin8=2sin3,即一xtzX2XsinB=2sinB,

22

因?yàn)閟inBWO,可得〃=2,

則cos,4-『+c2-a2_9+1_3

人JcosA_2bc-2x3x2一4

故選：D.

6.(5分)已知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-205),b=g(-

logaO.2),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

解：因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù)，

所以g(x)=xf(x)為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=g(-2°$)=g(20,5)=g(V2),

b=g(-log20.2)=g(log25),

c=g(3),

又因?yàn)?V&<2Vlog25V3,

所以g(V2)<g(log25)<g(3),

即a<b<c.

故選:A.

7.(5分)給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人，每

人做且僅做一項(xiàng)工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有()

A.12種B.18種C.24種D.64種

解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①，將4人分成3組，有C42=6種分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，

第12頁(yè)共26頁(yè)

2

將剩下的2組全排列，安排其他的2項(xiàng)工作，有A2=2種情況，

此時(shí)有2X2=4種情況，

則有6X4=24種不同的安排方法；

故選：C.

8.（5分）已知5”｝是等差數(shù)列，公差d>0,其前〃項(xiàng)和為S”若。2,a5+2,G7+2成等比

即

數(shù)列，Sra=5+；）則不正確的是（）

A.d=lB.6FIO=2O

2

C.Sn=n4-nD.當(dāng)〃22時(shí),Sn>

解：由Sn=中,得”&=婦當(dāng)，

整理得見=〃。1，取〃=5,得。5=5的，

又。5=。|+4",，5〃i=Qi+4a,得〃1=4

Q5+2,a17+2成等比數(shù)列，

???（。5+2）2=。2（即7+2）,即（5d+2）2=2d?（17d+2）,

整理得9/-16d-4=0,解得d=2（d>0）,故A錯(cuò)誤；

a\o=a\+9d=10t/=20,故8正確；

S九=2九+zl"」=n24-n,故C正確；

QQ

當(dāng)"22時(shí)，Sn—2an-+n一2x2n=一2n——■（n—1）2—1>0,

故。正確.

故選：A.

9.（5分）良好的睡眠是保證高中學(xué)生良好學(xué)習(xí)狀態(tài)的基礎(chǔ)，為了解某校高三學(xué)生的睡眠狀

況，該校調(diào)查了高三年級(jí)1200名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這1200

名學(xué)生每天的睡眠時(shí)間X?M8,1）,則每天的睡眠時(shí)間為5?6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為（）

（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

（附：若X?N（R,。2）,則P⑺-。WXWp+o）%0.6827,P（口-2。WXWp+2。）

-0.9545,P⑺-3。WXW+3。）-0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

解：,:X?N（8,I）,

??|i—8>。=1,

第13頁(yè)共26頁(yè)

P(5<X<6)=P(|i-3。<X<|i-2o)

1

=^[P(H-3o<X<|i+3o)-P(n-2o<X<H+2O)]

1

a*X(0.9973-0.9545)=0.0214,

?.?高三年級(jí)有1200名學(xué)生，

每天的睡眠時(shí)間為5?6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為1200X0.0214=25.68^26.

故選：C.

10.(5分)將函數(shù)y=3sin(x-j)的圖象向右平移<p(0<<p<n)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到了(x)

7T57r

的圖象.若f(X)在(/，—)上單調(diào)遞增，則⑴的取值范圍為()

66

7T717171712.TT7127r

A?及B.*-]C,1-,yjD,y]

解：由題意知，f(x)=3sin(x-(p—看)，

當(dāng)*等時(shí)，-q)<x-3一看V冬一(p,

V0<(p<ir,

?八冗2兀2TT

??-TT<-(p<0,一可--(P<手，

?,)271

7T77

解得7<<p<7.

o乙

故選：B.

x2y2

11.(5分)已知雙曲線C：—--=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Q、F2,過92

a2b2

的直線/交雙曲線的右支于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)M滿足北+4%=2薪，S.AM-BFr=0.若

cos/AFiB=/，則雙曲線C的離心率是()

次lr-

A.—B.V3C.2D.V5

2

解：'：AB+AFX=2AM,AM-BFX=0,

為線段BFi的中點(diǎn)，AM±BFi，即AM垂直平分尸iB,

：.\AFi\=\AB\,設(shè)|AFi|=m,則

又△4MQ為直角三角形，

第14頁(yè)共26頁(yè)

11

?:cos4叫B=%即cos乙4F1M=%

11

??.|FM=楙m,|F/|=im,

由雙曲線定義可得|A尸11-|A尸2|=2m\BFi\-\BF2\=2a9

A|AFi|+|BFi|-|AB|=4a,

??m=8。，

：.\F\B\=4a,\F2B\=2af

又cos乙FzBF、=cos乙ABF1=cosZ.AF^B=

\BF\2+\BF\2-\FF\21

由余弦定理可得2112一,

2\BF2\\BF1\4

4a2+16a2-4c21

2x2ax4a4’

離心率e=g=2.

故選：C.

12.(5分)己知㈤表示不超過的最大整數(shù)，如：[-1.2]=-2,=[3]=3.若函數(shù)f

(x)=^lnx,xG(0,I),則()

A.3B.2C.1D.0

第15頁(yè)共26頁(yè)

解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=J?lnx,x&（0,1）,必有/（x）<0,

則0<59<1,故M<x>]=0,

故選：D.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）拋物線C：7=4做的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,則C的準(zhǔn)線方程為v=-2.

解：拋物線C：7=4ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,

可得a=2.

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=-2.

故答案為：y=-2.

14.（5分）已知四個(gè)函數(shù)：①/二--②丫=7,③y=2*,?y—lnx,從中任選2個(gè)，則事

件''所選2個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為二.

解：選①②時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如下圖，

可以看出有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合要求；

選①③時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如下圖,

第16頁(yè)共26頁(yè)

有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合要求;

沒有交點(diǎn)，不符合題意;

第17頁(yè)共26頁(yè)

選③④時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如下圖,

無有交點(diǎn)，不符合題意，

綜上，一共有6種情況，其中2種滿足要求，故所求事件事件為P=W.

OD

故答案為：

15.(5分)設(shè)a=J；(cosx-sinv)dx,則二項(xiàng)式(/+^)6展開式中的小項(xiàng)的系數(shù)為一

160.

解：Vtz=[(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)惜=-2,

(7+E)6=(X2-|)6

.?F+l=C鼠X2)6T.(一?=(—17-2k.C”P2-3k

.*.12-3k=3

解得，無=3

.*.(-l)fc?2」C=(-1)3?23?髭=-160.

故答案為：-160.

16.(5分)在△ABC中，AB=4,AC=1,P為AB邊上一點(diǎn)，+4AC\=20,則而?而

的最小值為_-霏一

解：v|\AB+4AC\=273,

：.\AB+44C|=4后

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iUB2+SAB-AC+164。2=48,

又：腦|=4,應(yīng)1=1,

：.AB'AC=2,

為AB邊上一點(diǎn)，

二設(shè)而=x6(OWxWl),

PB-PC=xAB<PB-AB+AC)

^xAB<xAB-AB+AC)

2

=7啟.xAB+xAB'AC

=16,-16x+2x

—16A2-14x,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，

當(dāng)x=￡時(shí)，麗?尾取得最小值一案，

故答案為：—患.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(12分)在①sin2C-%cos2c=4sinC一遍,@b=冬+ccosA,③,，―⑦丁='、1nA一3

乙ab+c

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問題.

在△4BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若“+〃=8,求△ABC的外接圓面積的最小值.

解：(1)若選①，因?yàn)閟in2C一百cos2c=4sinC一6，

所以2sinCcosC-W(1-2sin2C)=4sinC-8，

可得2sinCcosC+2V3sin2C=4sinC,

由于C是三角形的內(nèi)角，所以sinC>0,

所以cosC+WsinC=2,即sin(C+J)=1,

O

又CE(0,71),

所以c=*.

第19頁(yè)共26頁(yè)

若選②因?yàn)閎—多4-ccosA,

222

Qb+c—a

由余弦定理得狂可得c^+b2-"=ab,

樂+廬一＜2_

2ab—2

又CG(0,TT),

所以C=*

sinC-sinBsinA-sinB

若選③，因?yàn)?

ab+c

c~~bCL—bccc

所以由正弦定理可得?=苗’整理可得a+b-c=ab,

1

可得cosC=a%)尸2

又CG(0,TT),

所以c=不

C1

(2)因?yàn)橐灰?2R,。+匕=8,cosC=4，

sinC乙

所以。2=(。+6)2-2ab(/+cosC)=64-3。/?,

Q+6=822VHK,可得abW16,

可得02216,可得c而〃=4,

所以Rmin=竽，

所以（S外接圓）而"=7rR^in=苧.

18.（12分）中華民族是一個(gè)歷史悠久的民族，在泱泱五千年的歷史長(zhǎng)河中，智慧的華夏民

族在很多領(lǐng)域都給人類留下了無數(shù)的瑰寶.比如，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中：十進(jìn)位制記數(shù)法和零

的采用：二進(jìn)位制思想起源；幾何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分?jǐn)?shù)運(yùn)算法

則和小數(shù)；負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)；盈不是術(shù)：方程術(shù)；最精確的圓周率一一“祖率”；等積原理一

-“祖曬”原理；二次內(nèi)插法；增乘開方法；楊輝三角；中國(guó)剩余定理；數(shù)字高次方程

方法一一“天元術(shù)”；招差術(shù)……，這些累累碩果都是華夏民族的祖先們?yōu)槿祟惖闹腔蹖?/p>

庫(kù)留下的珍貴財(cái)富.近代中國(guó)數(shù)學(xué)也在一直向前發(fā)展，涌現(xiàn)了蘇步青、華羅庚、陳省身、

吳文俊、陳景潤(rùn)、丘成桐等國(guó)際頂尖數(shù)學(xué)大師，他們?cè)谖⒎謳缀螌W(xué)、計(jì)算幾何學(xué)、中國(guó)

解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自安函數(shù)論、整體微分幾何、幾何定理機(jī)械化證明、

拓?fù)鋵W(xué)、哥德巴赫猜想研究、幾何分析等諸多領(lǐng)域取得了杰出成就.這些數(shù)學(xué)成就和數(shù)

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學(xué)大師激勵(lì)了一代代華夏兒女自強(qiáng)不息，奮勇前進(jìn).為增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)學(xué)

生熱愛科學(xué)、團(tuán)結(jié)協(xié)作、熱愛祖國(guó)的優(yōu)良品德，以及培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，改變學(xué)生的

思維習(xí)慣，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，某中學(xué)在該校高一年級(jí)開設(shè)了選修課《中國(guó)數(shù)

學(xué)史》.經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，為了解同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)史課程的學(xué)習(xí)后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否濃

厚，該校隨機(jī)抽取了200名高一學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

對(duì)數(shù)學(xué)興對(duì)數(shù)學(xué)興合計(jì)

趣濃厚趣薄弱

選學(xué)了《中國(guó)數(shù)學(xué)史》10020120

未選學(xué)《中國(guó)數(shù)學(xué)史》Xyn

合計(jì)160m200

(1)求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,y,m,〃的值，并確定能否有85%的把握認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)興

趣濃厚與選學(xué)《中國(guó)數(shù)學(xué)史》課程有關(guān)；

(2)在選學(xué)了《中國(guó)數(shù)學(xué)史》的120人中按對(duì)數(shù)學(xué)是否興趣濃厚，采用分層隨機(jī)抽樣的

方法抽取12人，再?gòu)?2人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查.若初始總分為10分，抽到的

3人中，每有一人對(duì)數(shù)學(xué)興趣薄弱減1分，每有一人對(duì)數(shù)學(xué)興趣濃厚加2分.設(shè)得分結(jié)果

總和為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

附：*=(a+b)(a\(c+5)(b+dyn=a+b+c+d.

P(產(chǎn)》0.1500.1000.0500.0250.010

例)

k)2.0722.7063.8415.0246.635

解：(1)由題意可得x=60,y=20,m=40,〃=80,

29

fieri.(ad-bc)200x(100x20—20x60)/_25

以八一(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)160x40x120x80一短?)吸＞2.072‘

故有85%的把握認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)興趣濃厚與選學(xué)《中國(guó)數(shù)學(xué)史》課程有關(guān);

(2)在選學(xué)了數(shù)學(xué)史的20人中按對(duì)數(shù)學(xué)是否興趣濃厚，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取

12人，

可知其中對(duì)數(shù)學(xué)興趣濃厚的有10人，對(duì)數(shù)學(xué)興趣薄弱的有2人，

再?gòu)?2人中抽取3人，當(dāng)這3人中恰好有2人對(duì)數(shù)學(xué)興趣薄弱時(shí)，X=10,

當(dāng)這3人中恰好有1人對(duì)數(shù)學(xué)興趣薄弱時(shí)，X=13,

第21頁(yè)共26頁(yè)

當(dāng)這3人都對(duì)數(shù)學(xué)興趣濃厚時(shí)，X=16,

所以X的可能取值為10,13,16,

21

則P(X=10)=魚典=春，

%22

P(X=13)=￡1|10=9

922

P(X=16)=字邛，

以211

故X的分布列為：

X101316

196

p,

222211

19629

所以E(X)=IOx224-13xyx-t*J6x-yr—

19.(12分)如圖在四棱錐A-BCOE中，CD//EB,CD=^EB=1,CB±BE,AE=AB=

BC=V2,AD=相.。是AE的中點(diǎn).

(I)求證：DO//nABC；

(II)求D4與平面ABC所成角的正弦值.

(I)證明：取A8中點(diǎn)凡連結(jié)CF、OF,

'：OF//EB,CD//EB,C.CD//OF.又,；CD=OF,二四邊形OFCZ)為平行四邊形，

：.DO//CF,而CFu平面ABC,二。。〃平面ABC.

(II)解：取EB中點(diǎn)G,連結(jié)AG、DG,'：AE=AB=y/2,BE=2,

...△4BE為等腰直角三角形，，AG=1,

又,：AD=聒,DG=BC=五,：.AG1+DG1=D^,：.DG±AG,

又DGLBE,AGQBE=G,所以。G_L平面A8E,

以G為原點(diǎn)，以G8,GA,G。方向分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐

標(biāo)系.

第22頁(yè)共26頁(yè)

G(0,0,0),A(0,1,0),C(0,0,夜)，￡(-1,0,Q).AD=(0,-1,企),

而AEJ_平面A3C,故平面ABC的一個(gè)法向量￡=族=(一1,-1,0)

?4I/力7.AD-AE.1/6

sinO=\cos{AD，AE)\=|------|=萬=-y-.

\AD\-\AE\'6。

V6

所以D4與平面ABC所成角的正弦值為一.

6

20.(12分)已知雙曲線C：4-4=1(。>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A(-2,0),右焦點(diǎn)為

凡點(diǎn)3在C上.當(dāng)BFLAF時(shí)，\AF\^\BF\.不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于

P,。兩點(diǎn).

(I)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線PQ過點(diǎn)凡在x軸上是否存在點(diǎn)M使得x軸平分/PNQ?若存在，求出點(diǎn)

的N的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

,2

解：(1)依題意，a=2,a-i-c=—,b2=c2-a2,

解得《2-2c-8=0,得c=4,伊=12,

94=1.

(2)假設(shè)存在存(〃,0),F(4,0),設(shè)尸(xi，)，i),Q(X2,”)，

x=my+4

設(shè)直線PQ：x=my+4(m會(huì)0),則/y2,得(3m2-1))2+24%y+36=0,

(T-12=1

3m2-1力o

4=(24m)2-4x36(3m2-1)>0

則《247n,且(歿1+4)(/n”+4)>16,

為+為3m2-1

36

%丫2=赤口

irrrr37n2-87n

即nr(yi+j2)+4/H(yi+”)>0,即----;--->0,

3mz—1

依題意，kpN+kQN=0,

即乃+=0,yx(my2+4—n)+y2(my1+4—n)=0,

X]7TX2

nI〃、/I、八Q36(4-n)x24mn

2myiy2+(4—兀)(為+y2)=0,2m-石1一37nLi=°，

即3m-in(4-ri')=0,

V/n^O,.*.n=l,

第23頁(yè)共26頁(yè)

故存在N(1,0).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=a(警+1)(其中a為非零實(shí)數(shù)).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)-f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)用，X2-

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2-(Xl+X2)

②求證：%1%2>e.

解：(1).⑴=磯1;產(chǎn)),

1—lnx

若。>0,則當(dāng)在(0,e)時(shí)，—^―>0,f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

1-lnx

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，—^―<0,f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

1—Znx

若〃V0,則當(dāng)在(0,e)時(shí)——>0,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

*

1-lnx

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，——<0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

(2)由已知得g(x)=祀?產(chǎn)")=0有兩個(gè)不等的正實(shí)根，

所以方程元aUwc+x)=0,即(x/)=0,

即(x")=xd有兩個(gè)不等正實(shí)根.

①設(shè)尤d=f,則G>0)有兩個(gè)不等根，

Int1

又a為非零實(shí)數(shù)，即——=一有兩個(gè)不等根，

ta

由(1)知，函數(shù)y=竽在(0,e)遞增，在(e,+?>)遞減，有極大值亍,

又X-*0時(shí)，f(x)--8；+8時(shí)，f(x)-*0.

Int111

若一=一有兩個(gè)不等根，則ov；<3

taQe

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e