找出數列的排列規律（二）

這一講我們利用前面學習的等差數列有關知識和找規律的思想方法，解決數學問題。

（一）例題指導

例1.如果按一定規律排出的加法算式是3+4,5+9,7+14,9+19,11+24,...,那么

第10個算式是（）+（）；第80個算式中兩個數的和是多少？

分析與解：

第一個加數如下排列：3,5,7,9,11……，這是一個等差數列，公差是2,第二個

加數排列如下：4,9,14,19,24,……，這也是一個等差數列，公差是5。

根據等差數列的通項公式可以分別求出第10個算式的兩個加數。

3+（10-1）x2=21

44-（10-1）x5=49

所以第10個算式是21+49。

要求第80個算式的和，只要求出第80個算式的兩個加數，再相加即可，當然也可以

找一找和的規律。

想一想：第幾個加法算式中兩個數的和是707?

例2.有一列數：1,2,3,5,8,13,……，這列數中的第200個數是奇數還是偶數？

分析與解：要想判斷這列數中第200個數是奇還是偶，必須找出這列數中奇、偶數的

排列規律。

不難看出，這列數是按照“奇偶奇”的順序循環重復排列的，即每過3個數循環一次。

那么到第200個數一次循環了66次還余2。這說明到第200個數時，已做了66次“奇偶

奇”的循環，還余下2個數。也就是說余下的兩個數依次為“奇偶”，所以第200個數是

偶數。

例3.下面的算式是按某種規律排列的：1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,

1+17,...

問：（1）第1998個算式是（）+（）；

（2）第（）個算式的和是2000。

分析與解：

(1)第1個加數依次為1、2、3、4,1、2、3、4……每4個數循環一次，重復出現。

1998+4=499……2,所以第1998個算式的第1個加數是2。第二個加數依次為1,3,

5,7,9,11……是公差為2的等差數列。根據等差數列的通項公式可求出第1998個算式

的第2個加數為1+(1998-1)x2=3995,所以第1998個算式是2+3995。

(2)由于每個算式的第二個加數都是奇數，所以和是2000的算式的第1個加數一定

是奇數，不會是2和4。只有l+x=2000或3+%=2000。其中x是1、3、5、7、9……

中的某個數。

若l+x=2000,則為=1999。根據等差數列的項數公式得：

(1999-1)+2+1=1000,這說明1999是數列1、3、5、7、9……中的第1000個數，因

為1000+4=250,說明第1000個算式的第1個加數是4,與假設l+x=2000矛盾，

所以XW1999；

若3+%=2000,則x=1997。與上同理，(1997—1)+2+1=999,說明1997是

等差數列1、3、5、7,9……中的第999個數，由于999+4=249....3,說明第999

個算式的第一個加數是3,所以，第999個算式為3+1997=2000.

例4.將1到200的自然數，分成A、B、C三組：

A組：167121318...

B組：258111417...

C組：349101516...

根據分組的規律，請回答：

(1)B組中一共有()個自然數；

(2)A組中第24個數是()；

(3)178是()組里的第()個數。

分析與解：(1)B組中的數成等差數列，其首項是2,公差是3,從整個數表看，豎

著數是每3個數一組，因為200+3=66……2,所以200是B組中的最后一個數，根據

等差數列的項數公式。(200—2)+3+1=67。所以，B組中一共有67個自然數。

（2）觀察A組中數的排列規律，由于24是偶數，所以應特別注意偶數位置上的數的

排列規律。第幾個數就是3的幾倍，第24個數就是3的24倍，所以A組第24個數是

3x24=72。

（3）觀察A、B、C三組數（豎看），每2列為一組（6個數），178+6=29……4,

說明重復29次，還剩下4個數，這4個數重新排列一下可知，178排在C組。每一組含

有C組的2個數。最后余下的4個數，在C組又排了2個，所以178在C組中是第

29x2+2=60個數。

［答題時間：40分鐘］

（二）嘗試體驗

1.如下圖所示，黑珠、白珠共102個，穿成一串，這串珠子中，最后一個珠子是（）

顏色的，這種顏色的珠子共有（）個。

oeoooeoooeooo……

2.有紅、白、黑三種紙牌共158張，按5張紅色，后3張白色，再4張黑色的次序排列

下去，最后一張是（）色，第140張是（）色。

3.節日的校園內掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩

燈，小明想，第73盞一定是（）色燈。

4.下面的算式是按一定的規律排列的：4+2,5+8,6+14,7+20……，那么，第100個

算式的得數是（）。

5.找規律，按規律填數。

Ix3+l=4=2x2……第1式

3x5+1=16=4x4……第2式

5x7+1=36=6x6……第3式

25x27+l=()=()x()……第13式

()x()+1=()=100x100……第50式

()x()+1=()=()x()……第60式

6.自然數按一定規律排成下表形式，問：第10行第5個數是多少？

1

23

456

78910

【試題答案】

（-）嘗試體驗

1.如下圖所示，黑珠、白珠共102個，穿成一串，這串珠子中，最后一個珠子是（）

顏色的，這種顏色的珠子共有（）個。

o?oooeooo?ooo……

除去第一個珠子，剩下的（102-1=）101棵珠子是按照“一黑三白”的次序循環重復

的。

（102—1）+4=25.......1

說明循環了25次后還多出一個黑珠子，所以最后一個珠子是黑色的，黑色的珠子共

有26個。

2.有紅、白、黑三種紙牌共158張，按5張紅色，后3張白色，再4張黑色的次序排列

下去，最后一張是（）色，第140張是（）色。

5+3+4=12

這是按“5紅3白4黑”循環排列的，它的循環周期是12.

158+12=132

1404-12=118

所以最后一張是紅色，第140張是白色。

3.節日的校園內掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩

燈，小明想，第73盞一定是（）色燈。

把排列的順序寫出來是：白、紅、黃、綠、白、紅、黃、綠、白、紅、……是按"白、

紅、黃、綠”循環排列的。

73+4=18........1

所以第73盞燈一定是白色的。

4,下面的算式是按一定的規律排列的:4+2,5+8,6+14,7+20.......,那么，第100個

算式的得數是（）。

第一個加數這樣排列：4,5,6,7,……（公差是1的等差數列）

第二個加數這樣排列：2,8,14,20,……（公差是6的等差數列）

根據等差數列的通項公式得：

4+(100-1)x1=103

2+(100-1)x6=596

所以，第100個算式的得數是103+596=699

5.找規律，按規律填數。

Ix3+l=4=2x2第1式

3x5+1=16=4x4……第2式

5x7+1=36=6x6……第3式

25x27+1=()=()x()……第2式

()x()+1=()=100x100……第50式

()x()+1=()=()x()……第60式

第一個等號前的兩個因數是兩個相鄰的奇數，第二個等號后面的因數介于前面兩個奇

數之間。如第3式：5和7之間只有一個自然數(6).除此之外，第一個等式的第一個

因數是一個公差為2的等差數列(1,3,5,7……)

根據以上規律可得：

25x2