導數應用題1.如圖，在半徑為1，圓心角為2的扇形OAB內作一內切圓P，再在扇形內作一個與扇形兩半徑相切并與圓P外切的小圓Q．〔1〕求圓Q的半徑〔用表示〕；〔2〕當變化時，求的最大值；〔3〕如果按照此題的作法，再作下去，猜測第n個圓的半徑用表示的式子．〔不要證明，只要寫出其關系式，設圓P是第一個圓〕2.如圖,有一塊半徑為R的半圓形空地,開發商方案征地建一個矩形游泳池ABCD和其附屬設施,附屬設施占地形狀是等腰△CDE,其中O為圓心,A,B在圓的直徑上，C,D,E在圓周上.〔1〕設,征地面積記為,求的表達式;〔2〕當為何值時,征地面積最大?解：〔1〕連接,可得；.……4分∴.……8分〔2〕.……10分令∴〔舍〕或者∵,……12分∴當,,,,……14分時,取得最大.……15分答:時,征地面積最大.……16分3.交管部門遵循公交優先的原那么,在某路段開設了一條僅供車身長為10m的公共汽車行駛的專用車道.據交管部門收集的大量數據分析發現,該車道上行駛著的前、后兩輛公共汽車間的平安距離d(m)與車速v(km/h)之間滿足二次函數關系d=f(v).現車速為15km/h時,平安距離為8m;車速為45km/h時,平安距離為38m;出現堵車狀況時,兩車平安距離為2m.(1)試確定d關于v的函數關系d=f(v);(2)車速v(km/h)為多少時,單位時段內通過這條車道的公共汽車數量最多,最多是多少輛?解(1)由題設可令所求函數關系f(v)=av2+bv+c.由題意得v=0時,d=2;v=15時,d=8;v=45時,d=38那么eq\b\lc\{(\a\al(c＝2，,,a×152＋15b＋c＝8，,a×452＋45b＋c＝38.))解得:a=eq\F(1,75),b=eq\F(1,5),c=2所以d關于v的函數關系為d=eq\F(1,75)v2+eq\F(1,5)v+2(v≥0)(2)兩車間的距離為d(m),那么一輛車占去的道路長為d+10(m).設1小時內通過該車道的公共汽車數量為y輛,那么y=eq\F(1000v,eq\F(v2,75)＋eq\F(v,5)＋12)由=eq\F(1000(－eq\F(v2,75)＋12),(eq\F(v2,75)＋eq\F(v,5)＋12)2)=0,解得v=30當0<v<30時,y′>0;當v>30時,y′<0.于是函數y=eq\F(1000v,eq\F(v2,75)＋eq\F(v,5)＋12)在區間(0,30)上遞增,在區間(30,)上遞減,因此v=30時函數取最大值y=1000答:汽車車速定為30km/h時,每小時通過這條專用車道的公共汽車數量最多,能通過1000輛4.ABCDEFPQR某地政府為科技興市，欲在如下圖的矩形ABCDEFPQR其中是以為頂點、為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業園區的最大面積．解：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系如圖，那么，…………〔2分〕由題意可設拋物線段所在拋物線的方程為，由得，，∴AF所在拋物線的方程為，…………〔5分〕又，∴EC所在直線的方程為，……〔7分〕設，那么，…………〔9分〕∴工業園區的面積，…………〔12分〕∴令得或〔舍去負值〕，…………〔13分〕當變化時，和的變化情況如下表：x+0-↑極大值↓由表格可知，當時，取得最大值．…………〔15分〕答：該高科技工業園區的最大面積．…………〔16分〕5.某地區注重生態環境建設,每年用于改造生態環境總費用為億元,其中用于風景區改造為億元.該市決定建立生態環境改造投資方案,該方案要求同時具備以下三個條件:①每年用于風景區改造費用隨每年改造生態環境總費用增加而增加;②每年改造生態環境總費用至少億元,至多億元;③每年用于風景區改造費用不得低于每年改造生態環境總費用的15%,但不得每年改造生態環境總費用的22%.(1)假設,,請你分析能否采用函數模型y=作為生態環境改造投資方案;(2)假設、取正整數,并用函數模型y=作為生態環境改造投資方案,請你求出、的取值.】解:(1)∵,∴函數y=是增函數,滿足條件①設,那么,令,得.當時,,在上是減函數;當時,,在上是增函數,又,,即,在上是增函數,∴當時,有最小值0.16=16%>15%,當時,有最大值0.1665=16.65%<22%,∴能采用函數模型y=作為生態環境改造投資方案(2)由(1)知,依題意,當,、時,恒成立;下面求的正整數解.令,由(1)知,在上是減函數,在上是增函數,又由(1)知,在時,,且=16%∈[15%,22%],合條件,經枚舉,∈[15%,22%],而[15%,22%],可得或或,由單調性知或或均合題意6.有一隧道既是交通擁擠地段，又是事故多發地段．為了保證平安，交通部門規定，隧道內的車距ｄ〔ｍ〕正比與車速ｖ〔ｋｍ／ｈ〕的平方與自身長Ｌ〔ｍ〕的積，且車距不得小于半個車身長．而當車速為６０〔ｋｍ／ｈ〕時，車距為１.４４個車身長．在交通繁忙時，應規定怎樣的車速，可以使隧道的車流量最大？【解析】〔1〕依題意，設，其中是待定系數，因為當時，所以，，所以因為，所以，所以最低車速為(2)因為兩車間距為，那么兩輛車頭間的距離為一小時內通過汽車的數量為，因為所以所以當即時，單位時段內通過的汽車數量最多.7.據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為．現相距18的A，B兩家化工廠〔污染源〕的污染強度分別為，它們連線上任意一點C處的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設〔〕．〔1〕試將表示為的函數；〔2〕假設，且時，取得最小值，試求的值．解：〔1〕設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數，且．………………4分從而點C處受污染程度．…………6分〔2〕因為，所以，，………………8分，令，得，………………12分又此時，解得，經驗證符合題意．所以，污染源B的污染強度的值為8．………………14分8.因發生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據環保部門的建議,現決定在漁塘中投放一種可與污染液體發生化學反響的藥劑.每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數關系式近似為,其中.假設屢次投放,那么某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和.根據經驗,當水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.〔Ⅰ〕假設一次投放4個單位的藥劑,那么有效治污時間可達幾天?〔Ⅱ〕假設第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數據:取1.4).18．解：〔Ⅰ〕因為,所以………………1分那么當時,由,解得,所以此時………………3分當時,由,解得,所以此時………5分綜合,得,假設一次投放4個單位的制劑,那么有效治污時間可達8天…………6分〔Ⅱ〕當時,………9分==,因為,而,所以,故當且僅當時,y有最小值為……12分令,解得,所以的最小值為……14分【2023高考沖刺樣本】1—2試題精粹217、〔宿遷市高三12月聯考〕〔此題總分值14分〕某森林出現火災，火勢正以每分鐘的速度順風蔓延，消防站接到警報立即派消防隊員前去，在火災發生后5分鐘到達救火現場，消防隊員在現場平均每人每分鐘滅火，所消耗的滅火材料、勞務津貼等費用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀一平方米森林損失費為60元．〔1〕設派x名消防隊員前去救火，用t分鐘將火撲滅，試建立與的函數關系式；〔2〕問應該派多少名消防隊員前去救火，才能使總損失最少？〔總損失＝滅火材料、勞務津貼等費用＋車輛、器械和裝備費用＋森林損失費〕17、解：〔1〕………5分〔2〕總損失為y，那么y＝滅火勞務津貼＋車輛、器械和裝備費＋森林損失費y＝125tx＋100x＋60〔500＋100t〕…………9分＝…………10分＝＝…………11分…………12分當且僅當，即x＝27時，y有最小值36450．…………13分答：略…………14分17．〔無錫市1月期末調研〕〔本小題總分值14分〕A、B兩地相距，以AB為直徑作一個半圓，在半圓上取一點C，連接AC、BC，在三角形ABC內種草坪〔如圖〕，M、N分別為弧AC、弧BC的中點，在三角形AMC、三角形BNC上種花，其余是空地．設花壇的面積為，草坪的面積為，?。眉癛表示和；求的最小值．17．〔1〕因為，那么，那么．………3分設AB的中點為O，連MO、NO，那么．易得三角形AMC的面積為，…………5分三角形BNC的面積為，…………………7分∴+．……………………8分〔2〕∵，…10分令，那么．∴．……………………12分∴的最小值為．……………………14分18．〔徐州市12月高三調研〕(本小題總分值16分)某廣告公司為2023年上海世博會設計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線局部所示.其上局部是以為直徑的半圓，點為圓心，下局部是以為斜邊的等腰直角三角形，是兩根支桿，其中米，.現在弧、線段與線段上裝彩燈，在弧、弧、線段與線段上裝節能燈.假設每種燈的“心悅效果〞均與相應的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數為，節能燈的比例系數為，假定該霓虹燈整體的“心悅效果〞是所有燈“心悅效果〞的和.〔Ⅰ〕試將表示為的函數；〔Ⅱ〕試確定當取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果〞最正確？DDOABEF第18題2x18．解：〔Ⅰ〕因為,所以弧EF、AE、BF的長分別為…3分連接OD，那么由OD=OE=OF=1，，所以…………6分所以…………………9分〔Ⅱ〕因為由…………………11分解得，即…………13分又當時，，所以此時y在上單調遞增；當時，，所以此時y在上單調遞減.故當時，該霓虹燈整體的“心悅效果〞最正確…16分18．〔鹽城市第一次調研〕(本小題總分值14分)因發生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據環保部門的建議,現決定在漁塘中投放一種可與污染液體發生化學反響的藥劑.每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數關系式近似為,其中.假設屢次投放,那么某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和.根據經驗,當水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.〔Ⅰ〕假設一次投放4個單位的藥劑,那么有效治污時間可達幾天?〔Ⅱ〕假設第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數據:取1.4).18．解：〔Ⅰ〕因為,所以………………1分那么當時,由,解得,所以此時………………3分當時,由,解得,所以此時………5分綜合,得,假設一次投放4個單位的制劑,那么有效治污時間可達8天…………6分〔Ⅱ〕當時,………9分==,因為,而,所以,故當且僅當時,y有最小值為……12分令,解得,所以的最小值為……14分17.〔蘇北四市2023屆高三第二次調研〕〔本小題總分值14分〕據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為．現相距18的A，B兩家化工廠〔污染源〕的污染強度分別為，它們連線上任意一點C處的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設〔〕．〔1〕試將表示為的函數；〔2〕假設，且時，取得最小值，試求的值．17．解：〔1〕設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數，且．………………4分從而點C處受污染程度．…………6分〔2〕因為，所以，，………………8分，令，得，………………12分又此時，解得，經驗證符合題意．所以，污染源B的污染強度的值為8．………………14分17.〔蘇州市2023屆高三調研測試〕〔本小題總分值14分〕有一隧道既是交通擁擠地段，又是事故多發地段.為了保證平安，交通部門規定，隧道內的車距正比于車速的平方與車身長的積，且車距不得小于一個車身長〔假設所有車身長均為〕.而當車速為時，車距為1.44個車身長.⑴求通過隧道的最低車速；⑵在交通繁忙時，應規定怎樣的車速，可以使隧道在單位時段內通過的汽車數量最多？17.【解析】〔1〕依題意，設，其中是待定系數，因為當時，所以，，所以因為，所以，所以最低車速為(2)因為兩車間距為，那么兩輛車頭間的距離為一小時內通過汽車的數量為，因為所以所以當即時，單位時段內通過的汽車數量最多.試題精粹江蘇省2023年高考數學聯考試題19．(江蘇通州市2023年3月高三素質檢測)〔本小題總分值16分〕某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的本錢為4元，并且每件商品需向總店交a元〔1≤a≤3〕的管理費，預計當每件商品的售價為元〔8≤x≤9〕時，一年的銷售量為(10－x)2萬件．〔1〕求該連鎖分店一年的利潤L〔萬元〕與每件商品的售價x的函數關系式L(x)；[來源:Z&xx&k.Com]〔2〕當每件商品的售價為