第六章定積分第一節定積分的概念思考題：1.如何表述定積分的幾何意義？根據定積分的幾何意義推出以下積分的值：〔1〕,〔2〕,〔3〕,〔4〕.解：假設在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積.假設時，在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍平面圖形面積的負值.〔1〕由以下圖〔1〕所示，.2A(2)--1-1111A1A(1)1-13A4A5A2ππ(3)11(4)〔2〕由上圖〔2〕所示，.〔3〕由上圖〔3〕所示，.〔4〕由上圖〔4〕所示，.2.假設當，有，下面兩個式子是否均成立，為什么？〔1〕,〔2〕.答：由定積分的比擬性質知〔1〕式成立，而不定積分的結果表示一族函數，與不能比擬大小，故〔2〕式不成立.3.個數的算術平均值與連續函數在閉區間上的平均值有何區別與聯系？答：二者均反映了多個數的平均值大小，后者是前者的推廣，但個數的算術平均值是有限個數的平均值，而連續函數在閉區間上的平均值反映的是無限個數的平均值，前者計算公式是,后者計算公式是.習作題：1.用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數.解：任取分點,把分成個小區間，小區間長度記為=-,在每個小區間上任取一點作乘積的和式：,記,那么.2.利用定積分的估值公式，估計定積分的值.解：先求在上的最值，由,得或.比擬的大小，知，由定積分的估值公式，得,即.3.求函數在閉區間[-1，1]上的平均值.解：平均值.4.利用定積分的定義證明.證明：令,那么，任取分點…,把分成個小區間，并記小區間長度為，在每個小區間上任取一點，作乘積的和式,記,那么.微積分根本公式思考題：1.?答：因為是以為自變量的函數，故=0.2.答：因為是常數，故.3.？答：因為的結果中不含，故0.4.？答：由變上限定積分求導公式，知.5.？答：.6.假設，那么=？答：=.7.當為積分區間上的分段函數時，問如何計算定積分？試舉例說明.答：分段函數的定積分應采用定積分關于積分區間的分割性質，將分解為局部區間上的定積分來計算.例如：假設那么=+==.8.對于定積分，湊微分法還能用嗎？為什么？答：能用.因為定積分是通過被積函數的原函數來計算，而湊微分法所得原函數不須作變量置換.習作題：1.計算以下定積分〔1〕,〔2〕,〔3〕.解：〔1〕=+===1.〔2〕=+==4+.〔3〕=+==2+2=4.2.求極限.解：此極限是“〞型未定型，由洛必達法那么，得==3.計算以下各題：〔1〕，〔2〕，〔3〕,〔4〕,〔5〕,〔6〕,〔7〕,〔8〕,〔9〕,〔10〕,〔11〕,〔12〕,〔13〕.解：〔1〕=.〔2〕=.〔3〕.〔4〕=.〔5〕.〔6〕.〔7〕===.〔8〕===.(9)==.(10)===.〔11〕===.〔12〕==.〔13〕===.定積分的積分方法思考題：1.下面的計算是否正確，請對所給積分寫出正確結果：〔1〕===.〔2〕===2=2.答：〔1〕不正確，應該為：=.〔2〕不正確，應該為：=2.2.定積分與不定積分的換元法有何區別與聯系？答：定積分與不定積分的換元法的區別在于：不定積分換元積分后要作變量回代，定積分在換元時要同時變換積分限，而不用作變量回代.聯系在于：二者均要求置換的變元單調可導，且選擇變元的規律相同.3.利用定積分的幾何意義，解釋奇偶函數在對稱區間上的積分所具有的規律.答：如圖,設在上滿足≥0，那么表示由曲線，直線，及軸所圍圖形的面積，不妨記為，那么當為偶函數時，(如以下圖(1)所示)，當為奇函數時，(如以下圖(2)所示).xyxyOa-aAAxya-aAAO〔2〕習作題:1.計算以下定積分:(1),(2).解：〔1〕令=,那么,當=0時，=0;當=4時，，于是=.〔2〕==.2.計算以下定積分：〔1〕,〔2〕,〔3〕,〔4〕.解：〔1〕===.(2)=.(3)==0==移項合并得.〔4〕=.第四節廣義積分思考題:1.以下解法是否正確？為什么？.答：不正確.因為在[，]上存在無窮間斷點，不能直接應用公式計算，事實上，=+=+=+=+不存在,故發散.2.指出下面廣義積分的計