-2024學年井岡山市寧岡重點中學高二（上）期末數學模擬試卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知向量a→=（0，2，1），b→=（﹣1，1，m），若a→，b→分別是平面α，β的法向量，且A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．（5分）已知直線的傾斜角為5π6A．33 B．?3 C．?33．（5分）雙曲線x2?y2b2=1（b＞0）的一條漸近線截圓x2+yA．23 B．2 C．3 D．34．（5分）在等比數列{an}中，a4a6＝24，則a5＝（）A．32 B．±32 C．265．（5分）設橢圓C1：x2a2+y22=1(a＞0且a≠2)，雙曲線C2：A．3 B．322 C．2 6．（5分）“m＝3”是“橢圓x24+yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）在正四面體ABCD中，P，Q分別為棱AB，CD中點，E，F分別是直線AB，CD上的動點，M是EF中點，且滿足|PE→?A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線8．（5分）雙曲線x2A．(?7，0) B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）下列關于空間向量的說法中正確的是（）A．若a→是直線l的方向向量，則λa→(λ∈R)B．空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定 C．空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底 D．在空間直角坐標系中，空間中的點和向量都可以用三個有序實數表示（多選）10．（5分）已知曲線C的方程為x2A．當k＝5時，曲線C是半徑為2的圓 B．存在實數k，使得曲線C的離心率為2的雙曲線 C．當k＝0時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為y=±1D．“k＞1”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件（多選）11．（5分）數列{an}滿足an2n?13?an?12n?15=2(n≥2)，a1＝66，SA．a5是數列{an}的最小項 B．{an﹣an﹣1}是等差數列 C．a3＝12 D．對于兩個正整數m、n（n＞m），Sn﹣Sm的最小值為﹣10（多選）12．（5分）如圖，已知在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F，H分別是AB，DD1，BC1的中點，下列結論中正確的是（）A．C1D1∥平面CHD B．AC1⊥平面BDA1 C．直線EF與直線BC1相交 D．直線EF與直線BC1所成的角為30°三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）直線l：y＝﹣x+1的傾斜角為，經過點（1，3）且與直線l垂直的直線的斜截式方程為．14．（5分）已知數列{an}的前n項和Sn=23an+n?43，則數列{an}的通項公式為an15．（5分）已知向量a→=(1，12，2)，b→=(2，?1，k)，且16．（5分）已知圓C：x2+（y﹣1）2＝1，過原點作圓C的弦OP，則OP的中點Q的軌跡方程為．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）作出以下圖形：（1）如圖1，已知向量a→，b→，c→（2）如圖2，已知向量a→，b→，c→18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，1），動點P滿足|PO|=2（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；（Ⅱ）若直線l過點Q（4，6）且與軌跡C相切，求直線l的方程．19．（12分）數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）求數列{an}的通項公式an；（Ⅲ）求a2+a4+a6+a8+?+a2n的和Tn．20．（12分）當實數x為何值時，向量a→=（2，3）與b→=（21．（12分）設數列{an}的前n項和為Sn，2（Sn﹣n+2）＝an+1，a2＝10，bn＝an﹣1．（1）求證：{bn}是等比數列；（2）設cn=bn，n為奇數1log3bn?lo22．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b（1）求橢圓C的標準方程；（2）若OA⊥OB，求△AOB面積的取值范圍．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．【解答】解：∵向量a→=（0，2，1），b→=（a→，b→分別是平面α，β的法向量，且α⊥∴a→?b解得m＝﹣2．故選：C．2．【解答】解：直線的傾斜角為5π6則直線的斜率為tan5π故選：C．3．【解答】解：由題意知圓的方程為x2+（y﹣2）2＝22，雙曲線的一條漸近線方程為y=ba∵實半軸長為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線分為弧長為1：2的兩部分，可知劣弧的圓心角為120°，圓心到漸近線的距離為：1．∴1=2aa2+b2，故選：B．4．【解答】解：根據題意，等比數列{an}中，有（a5）2＝a4a6＝24，解可得a5＝±26．故選：D．5．【解答】解：由e2＝2e1，得e2由雙曲線C2：x當a2＞2時，有43=4?a當2＞a2時，有43=4?2?故a的所有可能取值的乘積為3×故選：C．6．【解答】解：由“m＝3”可得橢圓的焦點在x軸上，則橢圓x24+y2m=1的離心率e=ca=1?m4而橢圓x24+y2m=1當焦點在y軸時，則e=ca=1?4m=12，可得m＝16，所以“m＝3故選：A．7．【解答】解：由題意作圖如下，取各邊中點連接成GHKN，在正四面體中，易得AB⊥CD，故四邊形GHKN為正方形，由對稱性可知PQ中點O，與EF中點M，均在平面GHKN上，OM→則2OM→=故4|OM→|2=故選：A．8．【解答】解：由題設，c=16+9=5，故左焦點的坐標為（故選：D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．【解答】解：當λ＝0時，λa→=由確定直線的條件可知，B正確；根據空間向量基本定理可知，C正確；由空間向量的坐標定義和空間點的坐標定義可知，D正確．故選：BCD．10．【解答】解：當k＝5時，曲線C為x2+y2＝4，曲線C為圓，半徑為2，A正確；使得曲線C為離心率為2的雙曲線，可得9﹣k＝﹣（k﹣1），方程無解，B不正確；當k＝0時，曲線C為x29?y21＜k＜5時，曲線C為橢圓，焦點坐標在x軸上，5＜k＜9，曲線表示焦點坐標在y軸上的橢圓，所以“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”可知“k＞1”，反之不成立，所以“k＞1”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件，D正確．故選：ACD．11．【解答】解：由an2n?13?又a1＝66，則a12×1?13=∴an=(2n?8)(2n?13)=4n2?42n+104=4(n?當n＝5時，an取得最小值，故A正確；a3＝14，故C不正確；an+1﹣an﹣（an﹣an﹣1）＝an+1+an﹣1﹣2an＝（2n﹣6）（2n﹣11）+（2n﹣10）（2n﹣15）﹣2（2n﹣8）（2n﹣13）＝8，是常數，故B正確；對于兩個正整數m、n（n＞m），Sn﹣Sm＝am+1+am+2+…+an，由a1＞a2＞a3＞a4＝0＞a5＝﹣6＜a6＝﹣4＜a7＝6＜a8＜…，故Sn﹣Sm的最小值為﹣10，故D正確．故選：ABD．12．【解答】解：由題意，C1D1∥CD，C1D1?平面CHD，CD?平面CHD，所以D1C1∥平面CHD，故A正確；建立空間直角坐標系，如圖所示；由AB＝1，則A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），則AC1→=（﹣1，1，1），BD→=（所以AC1→?BD→=1﹣所以AC1→⊥BD→，所以AC1⊥平面BDA1，故B正確；E（1，12，0），F（0，0，1所以EF→=（﹣1，?1因為BC1→=（﹣1，0，1），AC所以DA1→?BC1所以DA1→為平面EF→?DA1→=?1+12=?所以EF與直線BC1不相交，故C錯誤；cos＜EF→，所以EF→與BC1→所成的角是30故選：ABD．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．【解答】解：根據題意，對于直線l：y＝﹣x+1，且斜率k＝﹣1，設其傾斜角為α，則tanα＝﹣1，又由0°≤α＜180°，則α＝135°，設經過點（1，3）且與直線l垂直的直線的方程為y＝x+b，將點（1，3）代入可得3＝1+b，則b＝2，故要求直線方程為y＝x+2，故答案為：135°，y＝x+2．14．【解答】解：已知Sn=23an+n?43，令n＝1，則S1＝a1=23a當n≥2時，Sn﹣1=2兩式相減，得an=23an?23an﹣1+1，即an﹣1＝﹣2（an﹣1﹣所以數列{an﹣1}是首項為﹣2，公比為﹣2的等比數列，所以an﹣1＝（﹣2）n，所以an＝（﹣2）n+1．an+1an當n為偶數時，an+1an=?2+32當n為奇數時，an+1an=?2+3?綜上，可得an+1an的取值范圍為[﹣5，﹣2）∪（﹣故答案為：（﹣2）n+1；[﹣5，﹣2）∪（﹣2，?715．【解答】解：因為a→與b所以a→?b故答案為：?316．【解答】解：設Q（x，y）（y≠0），則P（2x，2y），代入圓C：x2+（y﹣1）2＝1，可得4x2+（2y﹣1）2＝1，∴點Q的軌跡方程為x2+（y?12）2=14故答案為：x2+（y?12）2=14四．解答題（共6小題，滿分70分）17．【解答】解：（1）如圖，作OA→=a（2）如圖，作OA→=a→，OB→18．【解答】解（Ⅰ）設P（x，y），∵點A的坐標為（1，1），則由|PO|=2|PA|，得∴動點P的軌跡C的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設l：y﹣6＝k（x﹣4），即kx﹣y+6﹣4k＝0，∵直線l過點Q（4，6）且與軌跡C相切，∴圓心C（2，2）到l的距離d=2=|2k?2+6?4k|當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝4，顯然滿足條件，∴l的方程為x＝4或3x﹣4y+12＝0．19．【解答】解：（Ⅰ）數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），①，當n≥2時，an＝2Sn﹣1，②，①﹣②得：an+1＝3an，數列{an}是以2為首項，3為公比的等比數列；所以an所以a2＝2，a3＝6，a4＝18．（Ⅱ）由于數列{an}是以2為首項，3為公比的等比數列；所以an故an（Ⅲ）由于數列偶數項是以2為首項，9為公比的等比數列；所以Tn＝a2+a4+...+a2n﹣2+a2n=2×(20．【解答】解：向量a→=（2，3）與b→=（則3x＝2×（﹣6），解得x＝﹣4．21．【解答】（1）證明：對任意的n∈N*，2Sn＝an+1+2n﹣4，當n＝1時，則有2a1＝a2﹣2＝8，解得a1＝4，當n≥2時，由2Sn＝an+1+2n﹣4可得2Sn﹣1＝an+2n﹣6，上述兩個等式作差得2an＝an+1﹣an+2，所以，an+1＝3an﹣2，則an+1﹣1＝3（an﹣1），所以，bn+1＝3bn且b1＝a1﹣1＝3，所以，數列{bn}是等比數列，且首項和公比均為3；（2）解：由（1）可知bn所以c所以，T=(3+3=3?=322．【解答】解：（1）設橢圓的