北京市2021年中考數學試卷

一、單選題（共8題；共16分）

1.如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

A.長方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

【答案】B

【考點】圓柱的展開圖

【解析】【解答】解：由圖形可得該幾何體是圓柱；

故答案為：B.

【分析】利用圓柱的展開圖判斷即可。

2.黨的十八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優先任務.2014—2018年，中央財政累計投入“全

面改善貧困地區義務教育薄弱學校基本辦學條件”專項補助資金1692億元，將169200000000用科學記數

法表示應為（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012C.1.692X10uD.16.92X1O10

【答案】C

【考點】科學記數法一表示絕對值較大的數

【解析】【解答】解：由題意得：將169200000000用科學記數法表示應為1.692X101】；

故答案為：C.

【分析】利用科學記數法的定義及書寫要求求解即可。

3.如圖，點。在直線AB上，OC_LO。.若4OC=120°,則ZBOD的大小為（）

A.30°B.40°C.50°D.60

【答案】A

【考點】角的運算

【解析】【解答】解：..,點。在直線AB上，OC1OD,

ZAOC+/COB=180°,/COD=90°,

ZAOC=120",

NCOB=60°,

?1./BOD=900-NCOB=30

故答案為：A.

【分析】先利用平角求出/BOC的度數，再利用直角求出“BOD即可。

4.下列多邊形中，內角和最大的是（）

【答案】D

【考點】正多邊形的性質

【解析】【解答】解：A、是一個三角形，其內角和為180。；

B、是一個四邊形，其內角和為360。；

C、是一個五邊形，其內角和為540。；

D、是一個六邊形，其內角和為720。；

內角和最大的是六邊形；

故答案為：D.

【分析】利用多邊形的內角和公式分別求解，再比較大小即可。

5.實數a,b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

-"3'-2""0'12

A.a>—2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

【答案】B

【考點】實數在數軸上的表示

【解析】【解答】解：由數軸及題意可得：—3<a<-2,0<b<l,

\a\>b,a+b<0,b-a>0,

???只有B選項符合題意，

故答案為：B.

【分析】結合數軸判斷出a、b的大小，再逐項判斷即可。

6.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是（）

.1?1-1八2

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】c

【考點】列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】解：由題意得：

開始

二一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是p=\=\;

42

故答案為：C.

【分析】利用概率公式求解即可。

7.已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n為整數且n<V2021<n+l,則兀

的值為（）

A.43B.44C.45D.46

【答案】B

【考點】估算無理數的大小

【解析】【解答】解：：432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

442<2021<452,

44<V2021<45,

n=44；

故答案為：B.

【分析】根據432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,可以得到442<2021<452,即

可求出n的值。

8.如圖，用繩子圍成周長為iom的矩形，記矩形的一邊長為xm，它的鄰邊長為ym,矩形的面積為

Sm2.當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與x滿足的函數關

系分別是()

y

X

A.一次函數關系，二次函數關系B.反比例函數關系，二次函數關系

C.一次函數關系，反比例函數關系D.反比例函數關系，一次函數關系

【答案】A

【考點】函數解析式

【解析】【解答】解：由題意得：

2(x+y)=10,整理得：y=-x+5,(0<x<5),

S=xy=x(—x+5)=-x2+5x,(0<x<5),

與x成一次函數的關系，S與x成二次函數的關系；

故答案為：A.

【分析】矩形的周長為2(x+y)=10,可用x來表示y,代入S=xy中，可得S關于x的函數關系式，化簡

即可得出答案。

二、填空題(共8題；共9分)

9.若衣=7在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是.

【答案】x>7

【考點】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得：

x—7>0,

解得：x>7；

故答案為x>7.

【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式求解即可。

10.分解因式：5x2-5y2=.

【答案】5(x+y)(x—y)

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】解：5x2-5y2=5(x2-y2)=5(x+y)(x-y)；

故答案為5(x+y)(x-y).

【分析】先提取公因式5,再利用平方差公式因式分解即可。

11.方程京=：的解為.

【答案】x=3

【考點】解分式方程

【解析】【解答】解：京=：

2%=%4-3,

%=3,

經檢驗：%=3是原方程的解.

故答案為：x=3.

【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求解即可。

12.在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數y=f(kK0)的圖象經過點71(1,2)和點B(-l.m),則

m的值為.

【答案】-2

【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征

【解析】【解答】解：把點4(1,2)代入反比例函數y=：(k*0)得：k=2,

—1xm=2,解得：m=-2

故答案為-2.

【分析】將點A的坐標代入反比例求出k的值，再將B的值代入計算即可求出m的值。

13.如圖，PA.PB是。。的切線，A,B是切點.若4=50°，則ZAOB=

【答案】130°

【考點】切線長定理

【解析】【解答】解：：PA.PB是。。的切線，

???ZPA0=/PB0=90°,

...由四邊形內角和可得：ZAOB+ZP=180°,

???/=50°,

ZAOB=130°;

故答案為130°.

【分析】根據切線的性質可得/PAO=NPB。=90°,再利用四邊形的內角和求解即可。

14.如圖，在矩形ABCD中，點民F分別在BC.AD上，AF=EC.只需添加一個條件即可證明四邊

形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

【答案】AF=AE（答案不唯一）

【考點】菱形的判定

【解析】【解答】解：T四邊形ABCD是矩形，

AD“BC,

AF=EC,

四邊形AECF是平行四邊形，

若要添加一個條件使其為菱形，則可添加4F=ZE或AE=CE或CE=CF或AF=CF,理由：一組鄰邊相等

的平行四邊形是菱形；

故答案為力尸=4E（答案不唯一）.

【分析】利用菱形的判定方法求解即可。

15.有甲、乙兩組數據，如表所示:

甲1112131415

乙1212131414

2

甲、乙兩組數據的方差分別為S甲2,s乙2，則s甲2s1(填或"=.

【答案】>

【考點】方差

【解析】【解答】解：由題意得：

___11+12+13+14+15c___12+12+13+14+14.

X甲=---------------=13,*乙=--------------------=13,

.c2_[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]_

…S甲="=Q乙，

2_[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]_4

S乙=5=5，

2>1,

2

S尹2>s乙；

故答案為〉.

【分析】利用方差的計算方法求解即可。

16.某企業有A,B兩條加工相同原材料的生產線.在一天內，A生產線共加工a噸原材料，加工時間

為(4a+1)小時；在一天內，B生產線共加工b噸原材料，加工時間為(2b+3)小時.第一天，該

企業將5噸原材料分配到4B兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成了加工，且加工時間相同，則分

配到A生產線的噸數與分配到B生產線的噸數的比為.第二天開工前，該企業按第一天的分

配結果分配了5噸原材料后，又給A生產線分配了m噸原材料，給B生產線分配了n噸原材料..若

兩條生產線都能在一天內加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則的值為.

【答案】2:3；1

【考點】一元一次方程的實際應用-工程問題

【解析】【解答】解：設分配到A生產線的噸數為x噸，則分配到B生產線的噸數為(5-x)噸，依題意

可得：

4x+l=2(5-x)+3,解得：x=2,

分配到B生產線的噸數為5-2=3(噸)，

二分配到A生產線的噸數與分配到B生產線的噸數的比為2:3；

.??第二天開工時，給A生產線分配了(2+m)噸原材料，給B生產線分配了(3+n)噸原材料，

???加工時間相同，

*,*4(2+tn)+1=2(3+TI)+3,

解得：m=^n,

TH_1

n~2

故答案為2:3,1

【分析】設分配到4生產線的噸數為x噸，則分配到B生產線的噸數為(5-x)噸，根據題意列出方程求

出x的值，再根據第二天開工時，給A生產線分配了(2+m)噸原材料，給B生產線分配了(3+n)

噸原材料，再列出方程求解即可。

三、解答題(共12題；共111分)

17.計算：2sin60°+V12+|-5|-(TT+V2)°.

【答案】解：原式=2xy+273+5-1=373+4.

【考點】實數的運算

【解析】【分析】先利用特殊角的三角函數值、二次根式的性質、0指數基的性質化簡，再計算即可。

4%—5>%4-1

18.解不等式組:3X-4,

------<X

2

4%—5>%+1(2)

【答案】解:

.當<X②

由①可得：X>2,

由②可得：x<4,

原不等式組的解集為2Vx<4.

【考點】解一元一次不等式組

【解析】【分析】利用不等式的性質和求解不等式組的方法求解即可。

19.已知a2+2b2—1=0,求代數式(a—b)2+b(2a+b')的值.

【答案】解:(a-b)2+b(2a+6)

=a2-2ab+b2+2ab+b2

=a2+2b2,

a2+2b2-1=0,

a2+2b2=1,

代入原式得：原式=1.

【考點】利用整式的混合運算化簡求值

【解析】【分析】先利用整式的混合運算化簡，再代入計算即可。

20.《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，

在地面上沿著桿的影子的方向取一點B,使B,A兩點間的距離為10步(步是古代的一種長度單位)，

在點B處立一根桿：日落時，在地面上沿著點B處的桿的影子的方向取一點C,使C,B兩點間的距

離為10步，在點C處立一根桿.取CA的中點。，那么直線OB表示的方向為東西方向.

(1)上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A,B,C的位置如圖所示.使用直尺和圓規，在圖中作

CA的中點D(保留作圖痕跡)；

B

C

（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向為東西方向.根據南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷

直線C4表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在2ABe中，BA=▲,。是CA的中點，

CA1DB▲（填推理的依據）.

V直線DB表示的方向為東西方向，

，直線CA表示的方向為南北方向.

【答案】（1）解：如圖所示：

（2）證明：在AABC中，BA=BC,。是S的中點,

CA1DB（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據）.

???直線DB表示的方向為東西方向，

直線CA表示的方向為南北方向；

故答案為BC,等腰三角形的三線合一.

【考點】等腰三角形的性質，作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】⑴作BD垂直AC于D即可；

（2）利用等腰三角形的三線合一的性質解決問題即可。

21.已知關于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.

（1）求證：該方程總有兩個實數根；

（2）若僧>0,且該方程的兩個實數根的差為2,求m的值.

【答案】（1）證明：由題意得：a=l,b=—4m,c=3m2,

，A=b2-4ac=16m2—4x1x3m2=4m2,

m2>0,

，A=4m2>0,

該方程總有兩個實數根；

22

（2）解：設關于%的一元二次方程x-4mx+3m=0的兩實數根為Xi，x2>則有：xr+x2=

2

4m,xr-x2=3m,

???K1-次1=2，

222

Qi-x2)=(%i+x2)—4X1X2=16m—127n2=4,

解得：m=±1,

*/m>0,

m=1.

【考點】一元二次方程根的判別式及應用

【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判別式求解即可;

(2)利用一元二次方程根與系數的關系求解即可。

22.如圖，在四邊形ABCD中，ZACB=ZCAD=90°，點E在8c上，AE^DC,EFLAB,垂

足為F.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；

(2)若AE平分ZBAC.BE=5,cosS=,求BF和4。的長.

【答案】(1)證明：；ZACB=ZCAD=90°,

AADIICE,

.*AE“DCf

??四邊形AECD是平行四邊形；

(2)解：由(1)可得四邊形AECD是平行四邊形,

.CE=AD,

,EFLAB,AE平分/BAC,ZACB=90°

.EF=CE,

.EF=CE=AD,

4

,BE=5,cosB=-,

4

.BF=BE?cosB=5x-=4,

.EF=y/BE2-BF2=3，

.AD=EF=3.

【考點】平行四邊形的判定與性質

【解析】【分析】(1)證出AD〃CE,再由AE〃DC,即可得出結論；

(2)先由銳角三角函數定義求出BF=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分線的性質得到EC=EF=3,

最后由平行四邊形的性質求解即可。

23.在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b(k^0)的圖象由函數y=\x的圖象向下平移1個

單位長度得到.

(1)求這個一次函數的解析式；

(2)當x>-2時，對于x的每一個值，函數y=mx(m0)的值大于一次函數y=kx+b的值，

直接寫出m的取值范圍.

【答案】(1)解：由一次函數y=kx+b(kH0)的圖象由函數y=的圖象向下平移1個單位長度

得到可得：一次函數的解析式為y=1x-l；

(2)由題意可先假設函數y-mx(m0)與一次函數y=kx+b的交點橫坐標為一2,則由(1)可

得：

-2m=|x(-2)-1,解得：m=1,

函數圖象如圖所示：

二.當%>-2時，對于％的每一個值，函數y=mx(mW0)的值大于一次函數y=kxb的值時,

根據一次函數的k表示直線的傾斜程度可得當m=1時，符合題意，當機<3時，則函數y=

mx(m*0)與一次函數y=k久+b的交點在第一?象限，此時就不符合題意，

綜上所述：1<m<1.

【考點】待定系數法求一次函數解析式，兩一次函數圖象相交或平行問題，平移的性質

【解析】【分析】(1)根據平移的規律即可求解；

(2)根據點(-2,-2)結合圖象即可求得。

24.如圖，。。是△ABC的外接圓，4。是。。的直徑，4D1BC于點

(1)求證：ZBAD=ZCAD;

(2)連接B0并延長，交AC于點F,交。。于點G,連接GC.若。0的半徑為5,0E=

3,求GC和。尸的長.

【答案】(1)證明：,：4。是。。的直徑，AD1BC,

=CD,

ZBAD=/CAD;

(2)解：由題意可得如圖所示：

由（1）可得點E為BC的中點,

.,點。是BG的中點，

?.OF=|CG,OE/fCG,

△AOFCGF,

.OA_OF

,CG-G尸'

「0E=3,

?.CG=6,

OO的半徑為5,

?.OA=OG=5,

5OF

6GF

?'"號。G=M

【考點】圓心角、弧、弦的關系，相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）根據垂徑定理得到弧BD=弧CD,根據圓周角定理證明結論；

（2）根據勾股定理求出BE,根據垂徑定理求出BC,根據圓周角定理得到Z8CG=90°,根據勾股

定理求出GC,證明,再利用相似三角形的性質求出OF。

25.為了解甲、乙兩座城市的郵政企業4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業中，各隨機抽取了25

家郵政企業，獲得了它們4月份收入（單位：百萬元）的數據，并對數據進行整理、描述和分析.下面給

出了部分信息.

a.甲城市郵政企業4月份收入的數據的頻數分布直方圖如下（數據分成5組：6<x<8,8<x<

10,10<x<12,12<x<14,14<x<16）：

b.甲城市郵政企業4月份收入的數據在10Sx<12這一組的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,

11.5,11.6,11.8

c.甲、乙兩座城市郵政企業4月份收入的數據的平均數、中位數如下：

平均數中位數

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根據以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的郵政企業中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業的個數為pi.在乙城

市抽取的郵政企業中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業的個數為pz,比較P1，P2的大

小，并說明理由；

（3）若乙城市共有200家郵政企業，估計乙城市的郵政企業4月份的總收入（直接寫出結果）.

【答案】（1）解：由題意可得m為甲城市的中位數，由于總共有25家郵政企業，所以第13家郵政企業

的收入作為該數據的中位數，

:6Sx<8有3家，8Wx<10有7家，10Wx<12有8家，

中位數落在10<x<12上，

m=10.1；

(2)由(1)可得：甲城市中位數低于平均數，則pi最大為12個；乙城市中位數高于平均數，則p2至

少為13個，

?1-Pl<P2；

(3)由題意得：

200x11=2200(百萬元)；

答：乙城市的郵政企業4月份的總收入為2200百萬元.

【考點】頻數(率)分布直方圖，分析數據的集中趨勢

【解析】【分析】(1)根據中位數的意義，求出甲城市抽樣25家郵政企業4月份的營業額從小到大排列，

得出處在第13位的數據即可；

(2)根據pi、P2所表示的意義，結合兩個城市抽取的郵政企業4月份的營業額的具體數據，得出答案；

(3)根據乙城市郵政企業4月份營業額的平均數以及企業的數量進行計算即可。

26.在平面直角坐標系xOy中，點(l,m)和點(3,n)在拋物線y=a/+以但>0)上.

(1)若m=3,n=15,求該拋物線的對稱軸；

(2)已知點(-LyJ,(2,丫2)，(4,、3)在該拋物線上.若nm<0,比較丫1，、2，%的大小，并說明理由.

【答案】(1)解：當m=3,n=15時，則有點(1,3)和點(3,15)，代入二次函數y=a/+以9>

0)得：

3"以=，,解得：｛廣〉

9a+3b=156=2

???拋物線解析式為y=%2+2%,

拋物線的對稱軸為X=—二=一1;

(2)由題意得：拋物線y=ax2+bx(a>0)始終過定點(0,0),則由mn<0可得：

2

①當m>0,n<0時，由拋物線y=ax+bx(a>0)始終過定點(0,0)可得此時的拋物線開口向

下，即。<0,與a>0矛盾；

②當m<0,n>0時，

...拋物線y=ax2+bx(a>0)始終過定點(0,0),

此時拋物線的對稱軸的范圍為|<%<|,

???點(-l,y1),(2,y2),(4,y3)在該拋物線上，

??.它們離拋物線對稱軸的距離的范圍分別為|<%-(-1)<|,1<2-%<|,|<4-%<|,

a>0,開口向上，

由拋物線的性質可知離對稱軸越近越小，

?1-丫2<<乃?

【考點】待定系數法求二次函數解析式，二次函數y=ax八2+bx+c的性質

【解析】【分析】(1)將點(1,3),(3,15)代入解析式求解即可;

(2)分類討論b的正負情況，根據mn<0可得對稱軸在y軸與直線x=；之間，再根據各點到對稱軸的距

離判斷y的值大小。

27.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,M為BC的中點，點。在MC上，以點A為中心,

將線段AD順時針旋轉a得到線段AE,連接BE.DE.

(1)比較ZBAE與ZCAD的大小；用等式表示線段BE,BM,MD之間的數量關系，并證明；

(2)過點M作AB的垂線，交DE于點N,用等式表示線段NE與ND的數量關系，并證明.

【答案】(1)證明：ZBAC=ZEAD=a,

???/BAE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=a,

ZBAE=ZCAD,

由旋轉的性質可得AE=AD,

AB=AC,

,-,AZBE三△4CD(S4S),

BE=CD,

點M為BC的中點，

BM=CM,

CM=MD+CD=MD+BE,

BM=BE+MD；

(2)證明：DN=EN,理由如下：

過點E作EH_LAB,垂足為點Q,交AB于點H,如圖所示:

NEQB=/HQB=90°,

由(1)可得zkABE三△4C。，

?1.NABE=ZACD,BE=CD,

AB=AC,

???NABC=/C=ZABE,

?/BQ=BQ,

△BQEBQH^ASA),

??.BH=BE=CD,

*/MB=MC,

??.HM=DM,

??,MNA.AB,

???MN“EH,

??.△DMNDHE,

.DM_DN_1

-DH~DE~29

??.DN=EN.

【考點】相似三角形的判定與性質，三角形的綜合

【解析】【分析】(1)由N1ME=NB4C可得NB4E=44。，然后由SAS證明△ABE三△AC。即可；

(2)作EH垂直AB交BC于H,可證明△4BE三△4C。可得4B=4C,再證明△DMN“△OHE,利

用相似的性質列出比例式求解即可。

28.在平面直角坐標系xOy中，00的半徑為1,對于點A和線段BC,給出如下定義：若將線段

BC繞點A旋轉可以得到O。的弦B'C'(B，,C'分別是B.C的對應點)，則稱線段BC是。

0的以點4為中心的"關聯線段

(1)如圖，點的橫、縱坐標都是整數.在線段，中，。。的以點

A,B1,C1,B2,C2IB3IC3Bi￡,B2c2B3c3

A為中心的"關聯線段"是；

(2)AABC是邊長為1的等邊三角形，點4(0,t),其中t#：0.若8c是。。的以點A為中心的

"關聯線段"，求t的值；

(3)在ZABC中，AB=l.AC=2.若BC是。。