呼和浩特市重點中學2023-2024學年八年級數學第一學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，，要說明，需添加的條件不能是（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，于，于，則三個結論①；②；③中，（）A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅①正確 D．僅①和③正確3．解分式方程時，去分母后變形正確的是（）A． B．C． D．4．把分式中的a和b都變為原來的2倍，那么該分式的值（）A．變為原來的2倍 B．變為原來的4倍 C．不變 D．變為原來的8倍5．用科學記數法表示0.00000085正確的是（）A．8.5×107 B．8.5×10-8 C．8.5×10-7 D．0.85×10-86．已知關于x的分式方程+=1的解是非負數，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠37．一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，則∠DBC的度數為()A．10° B．15° C．18° D．30°8．如圖，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若S△ABC=12，DF=2，AC=3，則AB的長是（）A．2 B．4 C．7 D．99．如圖，是的中線，于點，已知的面積是5，，則的長為（）A． B． C． D．110．如圖，在中，的平分線與的垂直平分線相交于點，過點分別作于點，于點，下列結論正確的是（）①；②；③；④；⑤.A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤11．下列各數:中，無理數的個數是（）A．個 B．個 C．個 D．個12．若關于、的二元一次方程有一個解是，則（）．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（每題4分，共24分）13．生命在于運動，小張同學用手機軟件記錄了4月份每天行走的步數（單位：萬步），將記錄結果繪制成如下圖所示的統計圖．在這組數據中，眾數是_____萬步．14．如果一個多邊形的內角和為1260o，那么從這個多邊形的一個頂點引對角線，可以把這個多邊形分成_______________個三角形．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分線，AD＝1．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是_____．16．的算術平方根是_____．17．已知，則的值為____．18．數學老師計算同學們一學期的平均成績時，將平時、期中和期末的成績按3:3:4計算，若小紅平時、期中和期末的成績分別是90分、100分、90分，則小紅一學期的數學平均成績是____分．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；（2）求證：BD=MN．20．（8分）等邊△ABC的邊BC在射線BD上,動點P在等邊△ABC的BC邊上（點P與BC不重合）,連接AP.（1）如圖1，當點P是BC的中點時，過點P作于E,并延長PE至N點，使得.①若,試求出AP的長度;②連接CN,求證.（2）如圖2，若點M是△ABC的外角的角平分線上的一點，且,求證:.21．（8分）如圖所示，在圖形中標出點A、B、C關于直線l的對稱點D、E、F．若M為AB的中點，在圖中標出它的對稱點N．若AB=10，AB邊上的高為4，則△DEF的面積為多少？22．（10分）書店老板去圖書批發市場購買某種圖書，第一次用1200元購買若干本，按每本10元出售，很快售完．第二次購買時，每本書的進價比第一次提高了20%，他用1500元所購買的數量比第一次多10本．（1）求第一次購買的圖書，每本進價多少元？（2）第二次購買的圖書，按每本10元售出200本時，出現滯銷，剩下的圖書降價后全部售出，要使這兩次銷售的總利潤不低于2100元，每本至多降價多少元？（利潤=銷售收入一進價）23．（10分）某超市計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知4件甲種玩具的進價與2件乙種玩具的進價的和為230元，2件甲種玩具的進價與3件乙種玩具的進價的和為185元．（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元；（2）如果購進甲種玩具有優惠，優惠方法是：購進甲種玩具超過20件，超出部分可以享受7折優惠，若購進（）件甲種玩具需要花費元，請你直接寫出與的函數表達式．24．（10分）為提高學生的閱讀興趣，某學校建立了共享書架，并購買了一批書籍．其中購買種圖書花費了3000元，購買種圖書花費了1600元，A種圖書的單價是種圖書的1.5倍，購買種圖書的數量比種圖書多20本．（1）求和兩種圖書的單價；（2）書店在“世界讀書日”進行打折促銷活動，所有圖書都按8折銷售學校當天購買了種圖書20本和種圖書25本，共花費多少元？25．（12分）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形ABC(頂點是網格線的交點的三角形)的頂點A，C的坐標分別為(﹣4，5)，(﹣1，3).(1)請作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；(2)△A1B1C1的面積是______.26．分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數低于分母的次數，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數不低于分母的次數，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和．例如，．（1）將假分式化為一個整式與一個真分式的和是；（2）將假分式化為一個整式與一個真分式的和；（3）若分式的值為整數，求整數x的值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】A、在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB，故本選項正確；B、在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB，故本選項正確；C、∵∴在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB，故本選項正確；D、根據兩邊和其中一邊的對角不能判斷兩三角形全等；故本選項錯誤；故選：D．【點睛】本題主要考查對全等三角形的判定的理解和掌握，能熟練地根據等腰三角形的性質及全等三角形的判定定理進行證明是解此題的關鍵．2、B【分析】只要證明，推出，①正確；，由，推出，推出，可得，②正確；不能判斷，③錯誤．【詳解】在和中∴∴，，①正確∵∴∴∴，②正確在△BRP與△QSP中，只能得到，，不能判斷三角形全等，因此只有①②正確故答案為：B．【點睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質以及判定定理、平行線的性質以及判定定理是解題的關鍵．3、D【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，即可作出判斷．【詳解】解：方程變形得去分母得：故選：【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，注意去分母時不要漏乘．4、C【分析】根據分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．即可判斷．【詳解】解：分式中的a和b都變為原來的2倍可得，則該分式的值不變．

故選：C．【點睛】本題考查的知識點是分式的基本性質，解題的關鍵是熟練的掌握分式的基本性質．5、C【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10-n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】將0.00000085用科學記數法表示為8.5×10-1．

故選：C．【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．6、C【解析】試題解析：分式方程去分母得：m-1=x-1，解得：x=m-2，由方程的解為非負數，得到m-2≥0，且m-2≠1，解得：m≥2且m≠1．故選C.考點：分式方程的解．7、B【分析】直接利用三角板的特點，結合平行線的性質得出∠ABD=45°，進而得出答案．【詳解】由題意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故選B.【點睛】本題考查的是平行線的性質，熟練掌握這一點是解題的關鍵.8、D【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴12=×AB×DE+×AC×DF，∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故選D.9、A【分析】根據三角形的中線的性質得：的面積是2.5，再根據三角形的面積公式，即可求解．【詳解】∵是的中線，的面積是5，∴的面積是2.5，∵，，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查三角形的中線的性質以及三角形的面積公式，掌握三角形的中線把三角形的面積平分，是解題的關鍵．10、D【分析】連接PB，PC，根據角平分線性質求出PM=PN，根據線段垂直平分線求出PB=PC，根據HL證Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．【詳解】∵AP是∠BAC的平分線，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，②正確；∵P在BC的垂直平分線上，∴PC=PB，④正確；在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．⑤正確；∴，∵，，∴，∴，①正確；∵，∴，③正確.故選D.【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，線段垂直平分線性質，角平分線性質等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．11、B【分析】根據無理數的定義進行解答，無理數即為無限不循環小數．【詳解】解：由無理數的定義可知，這一組數中無理數有：共2個.故選B.【點睛】本題考查的是無理數的定義，解答此類題目時一定要注意π是無理數，這是此題的易錯點．12、B【分析】根據方程的解滿足方程，把解代入方程，可得一元一次方程，根據解方程，可得答案．【詳解】把代入得：，解得．故選：B．【點睛】本題考查二元一次方程的解，理解解的概念，熟練掌握解方程．二、填空題（每題4分，共24分）13、1.1【分析】根據眾數的定義求解可得．【詳解】因為1.1萬步的人數最多為10人，所以這組數據的眾數是1.1萬步，故答案為：1.1．【點睛】考查的是眾數的定義及其求法，牢記定義是關鍵．14、1【分析】首先根據多邊形內角和公式可得多邊形的邊數，再計算分成三角形的個數．【詳解】解：設此多邊形的邊數為，由題意得：，

解得；，

從這個多邊形的一個頂點引對角線，可以把這個多邊形分成的三角形個數：9-2=1，

故答案為：1．【點睛】此題主要考查了多邊形的內角，關鍵是掌握多邊形的內角和公式．15、【分析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，此題得解．【詳解】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．如圖，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，∴BQ＝＝，即PC+PQ的最小值是．故答案為．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題、等腰三角形的性質以及三角形的面積，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．16、2【詳解】∵，的算術平方根是2，∴的算術平方根是2.【點睛】這里需注意：的算術平方根和的算術平方根是完全不一樣的；因此求一個式子的平方根、立方根和算術平方根時，通常需先將式子化簡，然后再去求，避免出錯.17、1【分析】根據已知得到，代入所求式子中計算即可．【詳解】∵，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查了求分式的值，利用已知得到，再整體代入是解題的關鍵．18、93分【分析】按3：3：4的比例算出本學期數學學期平均成績即可．【詳解】小紅一學期的數學平均成績是＝93（分），故填：93.【點睛】本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義．三、解答題（共78分）19、見解析【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質，可得AD與BC的關系，根據MD與NC的關系，可得證明結論；（2）根據根據等邊三角形的判定與性質，可得∠DNC的度數，根據三角形外角的性質，可得∠DBC的度數，根據正切函數，可得答案．證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M、N分別是AD、BC的中點，∴MD=NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四邊形；（2）如圖：連接ND，∵MNCD是平行四邊形，∴MN=DC．∵N是BC的中點，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等邊三角形．∴ND=NC，∠DNC=60°．∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=NB，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．∵tan，∴DB=DC=MN．點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質，利用了一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，等邊三角形的判定與性質，正切函數．20、（1）①AP；②證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）①根據點P是BC的中點，利用等腰三角形三線合一的性質得AP⊥BC，再利用勾股定理即可求得答案；②根據軸對稱的性質，證得∠NCE=∠PCE=，從而證得結論；（2）作∠CBF=60°，BF與MC的延長線相交于點F，連接PF，證明△BFC是等邊三角形，證得△ABP△FBP，PM=PF，∠PMC=∠PFC，根據三角形外角的性質可得結論．【詳解】（1）①在等邊△ABC中，∵點P是BC的中點，，∴AP⊥BC，，∴AP=；②∵且，∴點N與點P關于直線AC對稱，∴∠NCE=∠PCE=，∴∠NCD=180∠NCE∠PCE=，∴∠NCD=∠B=，∴；（2）作∠CBF=60°，BF與MC的延長線相交于點F，連接PF，如圖：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60，

∴∠ACD=120，

∵CM平分∠ACD，

∴∠DCM=∠BCF=60，

∵∠CBF=60，

∴∠FBC=∠BCF=∠BFC=60，

∴△BFC是等邊三角形，∵△ABC和△BFC都是等邊三角形，

∴AB=BC=BF，

在△ABP和△FBP中，，∴△ABP△FBP，∴AP=PF，∠BAP=∠BFP，

∵AP=PM，

∴PM=PF，

∴∠PMC=∠PFC，∵∠MCD=∠PMC+∠CPM=60，

∠BFC=∠BFP+∠PFC=60，

∴∠CPM=∠BFP=∠BAP，

∵∠APC=∠ABC+∠BAP=∠APM+∠CPM，

∴∠APM=60．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定與性質，三角形的外角性質等知識；熟練掌握等邊三角形的性質，通過作輔助線構造三角形全等是解本題的關鍵．21、△DEF的面積是1【解析】試題分析：根據軸對稱的性質，可知兩個三角形全等，所以對應邊相等，再由題中給出條件易得所求三角形的面積.試題解析：如圖所示，∵AB=10，∴DE=AB=10，∴.答：△DEF的面積是1．22、（1）5元（1）1元．【分析】（1）設第一次購買的圖書的進價為x元/本，則第二次購買圖書的進價為1.1x元/本，根據數量＝總價÷單價結合第二次比第一次多購進10本，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（1）根據數量＝總價÷單價可求出第一次購進圖書的數量，將其＋10可求出第二次購進圖書的數量，設每本降價y元，根據利潤＝銷售收入一進價結合兩次銷售的總利潤不低于1100元，即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．【詳解】（1）設第一次購買的圖書的進價為x元/本，則第二次購買圖書的進價為1.1x元/本，根據題意得：解得：x＝5，經檢驗，x＝5是原分式方程的解，且符合題意．答：第一次購買的圖書，每本進價為5元．（1）第一次購進數量為1100÷5＝140（本），第二次購進數量為140＋10＝150（本）．設每本降價y元，根據題意得：140×10＋100×10＋（150?100）（10?y）?1100?1500≥1100，解得：y≤1．答：每本至多降價1元．【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（1）根據各數量間的關系，正確列出一元一次不等式．23、（1）每件甲種玩具的進價是40元，每件乙種玩具的進價是35元；（2）當時，；當時，【分析】（1）先找出等量關系：4件甲種玩具的進價與2件乙種玩具的進價的和為230元，2件甲種玩具的進價與3件乙種玩具的進價的和為185元，再列出方程組求解即得．（2）先將的取值范圍分兩段：和，再根據“總費用=數量進價”列出對應范圍的函數關系式．【詳解】解：（1）設每件甲種玩具的進價是元，每件乙種玩具的進價是元．由題意得解得：答：每件甲種玩具的進價是40元，每件乙種玩具的進價是35元．（2）∵每件甲種玩具的進價是40元∴當時，；∵購進甲種玩具超過20件，超出部分可以享受7折優惠∴當時，即綜上所述：當時，；當時，【點睛】本題主要考查二元一次方程組和函數關系式，根據等量關系列出方程組及根據自變量的取值范圍分段確定函數關